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(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 概率 課時(shí)分層作業(yè) 五十八 10.2 古典概型 文.doc

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(全國(guó)通用版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 概率 課時(shí)分層作業(yè) 五十八 10.2 古典概型 文.doc

課時(shí)分層作業(yè) 五十八 古 典 概 型一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2018汕頭模擬)一袋中裝有大小相同,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球,從中有放回地每次取一個(gè)球,共取2次,則取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率為()A.B.C.D.【解析】選C.一袋中裝有大小相同,編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6,7,8的八個(gè)球,從中有放回地每次取一個(gè)球,共取2次,基本事件總數(shù)n=88=64,取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15包含的基本事件有:(7,8),(8,7),(8,8),共3個(gè),所以取得兩個(gè)球的編號(hào)之和不小于15的概率P=.【誤區(qū)警示】注意區(qū)別兩類問題(1)有序、無(wú)序的問題在進(jìn)行某些試驗(yàn)(如摸球)中,在摸取過程中要考慮球的先后順序(有序),有時(shí)就不需要考慮先后順序(無(wú)序),前后要保持一致.(2)放回抽取與不放回抽取的問題摸球等問題有“取后放回”和“取后不放回”兩種情況,取后放回的可以繼續(xù)選取已取到過的球.2.(2017山東高考)從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張,則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.B.C.D.【命題意圖】本題考查古典概型概率及互斥事件的概率的求解,意在考查考生分析問題、解決問題的能力.【解析】選C.奇偶性不同可能先抽到奇數(shù)卡片再抽到偶數(shù)卡片,或者先抽到偶數(shù)卡片再抽到奇數(shù)卡片,由于二者為互斥事件,故所求的概率為P=+=.【變式備選】(2018合肥模擬)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng),每天一人,則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為()A.B.C.D.【解析】選A.設(shè)2名男生記為A1,A2,2名女生記為B1,B2,任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng),共有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B1共12種情況,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2共4種情況,則發(fā)生的概率P=.3.從集合2,3,4,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a,從集合1,3,5中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b,則向量m=(a,b)與向量n=(1,-1)垂直的概率為()A.B.C.D.【解析】選A.由題意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12種情況.因?yàn)閙n,即mn=0,所以a1+b(-1)=0,即a=b,滿足條件的有(3,3),(5,5)共2個(gè),故所求的概率為.【變式備選】(2018唐山模擬)在集合A=2,3中隨機(jī)取一個(gè)元素m,在集合B=1,2,3中隨機(jī)取一個(gè)元素n,得到點(diǎn)P(m,n),則點(diǎn)P在圓x2+y2=9內(nèi)部的概率為()A.B.C.D.【解析】選B.點(diǎn)P(m,n)共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),6種情況,只有(2,1),(2,2)這2個(gè)點(diǎn)在圓x2+y2=9的內(nèi)部,所求概率為=.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閃,從W中隨機(jī)取點(diǎn)M(x,y).若xZ,yZ,則點(diǎn)M位于第二象限的概率為 ()A.B.C.1-D.1-【解析】選A.畫出平面區(qū)域,列出平面區(qū)域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)有:(-1,0),(-1,1), (-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),共12個(gè),其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2),共2個(gè),所以所求概率P=.5.(2018長(zhǎng)沙模擬)設(shè)b,c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù),則函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點(diǎn)的概率為()A.B.C.D.【解析】選C.所有的(b,c)共有66=36(個(gè)),函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點(diǎn)等價(jià)于b2-4c0,故滿足條件的(b,c)有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共計(jì)19個(gè).故函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點(diǎn)的概率為.【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)易將事件“函數(shù)f(x)=x2+bx+c有零點(diǎn)”的個(gè)數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤而誤選.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2018撫州模擬)如圖所示是某市2017年4月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖,空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市,并停留3天.該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率為_.【解析】某同志隨機(jī)選擇4月1日至4月12日中的某一天到達(dá)該市,并停留3天,基本事件總數(shù)n=12,4月1日至4月12日空氣質(zhì)量重度污染的天數(shù)有5天,即該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染包含的基本事件個(gè)數(shù)m=5,所以該同志到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量重度污染的概率P=.答案:7.從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字,分別記為a,b,則為整數(shù)的概率是_.【解析】從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)記為a,b,作為分?jǐn)?shù)的分母與分子,有,共12個(gè)不同的基本事件,其中為整數(shù)的只有,兩個(gè)基本事件,所以其概率P=.答案:8.(2018池州模擬)小明忘記了微信登錄密碼的后兩位,只記得最后一位是字母A,a,B,b中的一個(gè),另一位是數(shù)字4,5,6中的一個(gè),則小明輸入一次密碼能夠成功登錄的概率是_.【解析】由題意得,登錄密碼的后兩位可能有:(4,A),(4,a),(4,B),(4,b),(5,A),(5,a),(5,B),(5,b),(6,A),(6,a),(6,B),(6,b),共12種可能,故小明輸入一次密碼能夠成功登錄的概率是.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018周口模擬)按照國(guó)家環(huán)保部發(fā)布的新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn),規(guī)定:PM2.5的年平均濃度不得超過35微克/立方米.國(guó)家環(huán)保部門在2016年10月1日到2017年1月28日這120天對(duì)全國(guó)的PM2.5平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:組別PM2.5濃度(微克/立方米)頻數(shù)(天)第一組(0,3532第二組(35,7564第三組(75,11516第四組115以上8(1)在這120天中抽取30天的數(shù)據(jù)做進(jìn)一步分析,每一組應(yīng)抽取多少天?(2)在(1)中所抽取的樣本PM2.5的平均濃度超過75(微克/立方米)的若干天中,隨機(jī)抽取2天,求恰好有一天平均濃度超過115(微克/立方米)的概率.【解析】(1)這120天中抽取30天,應(yīng)采取分層抽樣,第一組抽取32=8天;第二組抽取64=16天;第三組抽取16=4天;第四組抽取8=2天.(2)設(shè)PM2.5的平均濃度在(75,115內(nèi)的4天記為A1,A2,A3,A4,PM2.5的平均濃度在115以上的兩天記為B1,B2.所以6天任取2天的情況有:A1A2,A1A3,A1A4, A1B1,A1B2,A2A3,A2A4,A2B1,A2B2,A3A4,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2,B1B2共15種.記“恰好有一天平均濃度超過115(微克/立方米)”為事件A,其中符合條件的有:A1B1, A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,A4B1,A4B2共8種,所求事件A的概率P(A)=.【變式備選】(2018衡水模擬)隨機(jī)抽取某中學(xué)高三年級(jí)甲、乙兩班各10名同學(xué),測(cè)量出他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖,其中甲班有一個(gè)數(shù)據(jù)被污損.(1)若已知甲班同學(xué)身高平均數(shù)為170 cm,求污損處的數(shù)據(jù).(2)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173 cm的同學(xué),求身高為176 cm的同學(xué)被抽中的概率.【解析】(1)設(shè)甲班的未知數(shù)據(jù)為a,由=(158+162+163+168+168+170+171+a+179+182)=170,解得a=179,所以污損處的數(shù)據(jù)是9.(2)設(shè)“身高為176 cm的同學(xué)被抽中”為事件A,從乙班10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173 cm的同學(xué)有:181,173,181,176,181,178,181,179,179,173,179,176,179,178,178,173,178,176,176,173,共10個(gè)基本事件,而事件A有181,176,179,176,178,176,176,173,共4個(gè)基本事件,所以P(A)=.即身高為176 cm的同學(xué)被抽中的概率為.10.(2018聊城模擬)元旦前夕,某校高三某班舉行慶祝晚會(huì),人人準(zhǔn)備了才藝,由于時(shí)間限制不能全部展示,于是找四張紅色紙片和四張綠色紙片上分別寫1,2,3,4,確定由誰(shuí)展示才藝的規(guī)則如下:每個(gè)人先分別抽取紅色紙片和綠色紙片各一次,并將上面的數(shù)字相加的和記為X;當(dāng)X3或X6時(shí),即有資格展示才藝;當(dāng)3<X<6時(shí),即被迫放棄展示.(1)請(qǐng)你寫出紅綠紙片所有可能的組合(例如(紅2,綠3),(紅3,綠2).(2)求甲同學(xué)能取得展示才藝資格的概率.【解析】(1)取得這些可能的值的紅綠卡片可能的組合為:(2)從(1)中可知紅綠卡片所有可能組合對(duì)共有16個(gè).滿足當(dāng)X3或X6的紅綠卡片組合對(duì)有:(紅1,綠1),(紅1,綠2),(紅2,綠1),(紅2,綠4),(紅3,綠3),(紅3,綠4),(紅4,綠2),(紅4,綠3),(紅4,綠4)共9個(gè).所以甲同學(xué)取得展示才藝資格的概率為.1.(5分)(2018中山模擬)從3雙不同的鞋中任取2只,則取出的2只鞋不能成雙的概率為()A.B.C.D.【解析】選C.從3雙不同的鞋中任取2只,基本事件總數(shù)n=15,取出的2只鞋不能成雙的對(duì)立事件是取出的2只鞋能成雙,共有3種情況,所以取出的2只鞋不能成雙的概率P=1-=.2.(5分)已知集合A=2,5,在A中可以重復(fù)地、隨機(jī)地依次取出三個(gè)數(shù)a,b,c,則“以a,b,c為邊可以構(gòu)成三角形”的概率是()A.B.C.D.【解析】選A.從集合A中可重復(fù)地、隨機(jī)地取出三個(gè)數(shù):2,2,2;2,2,5;2,5,2;2,5,5;5,2,2;5,2,5;5,5,2;5,5,5;共有8種情況,“以a,b,c為邊可以構(gòu)成三角形”的有2,2,2;2,5,5; 5,2,5;5,5,2;5,5,5,共5個(gè)基本事件,由概率計(jì)算公式得可以構(gòu)成三角形的概率為P=.3.(5分)(2018南昌模擬)如圖,在三棱錐S-ABC中,SA平面ABC,ABBC,現(xiàn)從該三棱錐的6條棱中任選2條,則這2條棱互相垂直的概率為()A.B.C.D.【解析】選A.由已知SA平面ABC,ABBC,可推得SBBC,從該三棱錐的6條棱中任選2條共有15種不同的選法,而其中互相垂直的2條棱有(SA,AB), (SA,BC),(SA,AC),(SB,BC),(AB,BC),共5種情況,所以這2條棱互相垂直的概率P=.【變式備選】(2018廈門模擬)已知|p|3,|q|3,當(dāng)p,qZ,則方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根的概率是_.【解析】由方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,可得=(2p)2-4(-q2+1)>0,即p2+q2>1.當(dāng)p,qZ時(shí),設(shè)點(diǎn)M(p,q),如圖,直線p=-3,-2,-1,0,1,2,3和直線q=-3,-2,-1,0,1,2,3的交點(diǎn),即為點(diǎn)M,共有49個(gè),其中在圓上和圓內(nèi)的點(diǎn)共有5個(gè)(圖中黑點(diǎn)).當(dāng)點(diǎn)M(p,q)落在圓p2+q2=1外時(shí),方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,所以方程x2+2px-q2+1=0有兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根的概率P=.答案:4.(12分)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋.游戲規(guī)則為以O(shè)為起點(diǎn),再?gòu)腁1,A2,A3,A4,A5,A6(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量,記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值.(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.【解析】(1)由題意可得:X的所有可能取值為:-2,-1,0,1,(2)數(shù)量積為-2的有,共1種,數(shù)量積為-1的有, ,共6種,數(shù)量積為0的有,共4種,數(shù)量積為1的有,共4種,故所有的可能共15種,所以小波去下棋的概率P1=,去唱歌的概率P2=,故不去唱歌的概率P=1-P2=1-=.5.(13分)(2018日照模擬)某中學(xué)高三年級(jí)有學(xué)生500人,其中男生300人,女生200人.為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān),采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),然后按照性別分為男、女兩組,再將兩組的分?jǐn)?shù)分成5組:100,110),110,120),120,130), 130,140),140,150分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)從樣本分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰為一男一女的概率.(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件列出22列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.100的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?附表:P(K2k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828【解析】(1)由已知得,抽取的100名學(xué)生中,男生60名,女生40名,分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中,男生有600.05=3(人),記為A1,A2,A3;女生有400.05=2(人),記為B1,B2,從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,所有的可能結(jié)果共有10種,它們是:(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2);其中,兩名學(xué)生恰好為一男一女的可能結(jié)果共有6種,它們是:(A1,B1),(A1,B2), (A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2);故所求的概率為P=.(2)由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名學(xué)生中,分?jǐn)?shù)不小于130分的男生 600.25=15(人),女生400.375=15(人);據(jù)此可得22列聯(lián)表如下:數(shù)學(xué)尖子生非數(shù)學(xué)尖子生總計(jì)男生154560女生152540總計(jì)3070100所以得K2的觀測(cè)值k=1.79;因?yàn)?.79<2.706,所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.100的前提下認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”.【方法技巧】破解概率與統(tǒng)計(jì)圖表綜合問題的“三步法”

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