廣西2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)規(guī)范練47 拋物線 文.docx

考點(diǎn)規(guī)范練47拋物線一、基礎(chǔ)鞏固1.(2018吉林省吉林市調(diào)研)以拋物線y2=8x上的任意一點(diǎn)為圓心作圓與直線x=-2相切,這些圓必過一定點(diǎn),則這一定點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)答案B解析由題意得,拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2,因?yàn)閯?dòng)圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動(dòng)圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,所以動(dòng)圓必過拋物線的焦點(diǎn),即過點(diǎn)(2,0).選B.2.拋物線y=-4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案B解析拋物線方程可化為x2=-y4,其準(zhǔn)線方程為y=116.設(shè)M(x0,y0),則由拋物線的定義,可知116-y0=1,y0=-1516.3.(2018北京朝陽一模)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),若|AB|=8,則線段AB的中點(diǎn)M到直線x+1=0的距離為()A.2B.4C.8D.16答案B解析如圖,拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,即x+1=0,分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為C,D,則有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,過AB的中點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N,則MN為直角梯形ABDC的中位線,則|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到直線x+1=0的距離為4.故選B.4.已知拋物線x2=ay與直線y=2x-2相交于M,N兩點(diǎn),若MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則此拋物線方程為()A.x2=32yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3y答案D解析設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2).由x2=ay,y=2x-2消去y,得x2-2ax+2a=0,所以x1+x22=2a2=3,即a=3,因此所求的拋物線方程是x2=3y.5.(2018山東菏澤期末)已知等邊三角形AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線:y2=2px(p>0)上,且AOB的面積為93,則p=()A.3B.3C.32D.332答案C解析根據(jù)拋物線和等邊三角形的對(duì)稱性可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,不妨設(shè)直線OB:y=33x,與y2=2px聯(lián)立得B(6p,23p),因?yàn)锳OB的面積為93,所以34(43p)2=93,解得p=32.故選C.6.已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M(1,m)(m>0)到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線x2a-y2=1的左頂點(diǎn)為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行,則實(shí)數(shù)a=()A.19B.14C.13D.12答案A解析因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-p2,所以1+p2=5,解得p=8,所以m=4.又雙曲線的左頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-a,0),所以41+a=1a,解得a=19,故選A.7.若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是.答案9解析設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(xM,yM).拋物線y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,由拋物線的定義知xM+1=10,即xM=9.8.已知拋物線y2=4x,過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作y軸的垂線,垂足分別為C,D,則|AC|+|BD|的最小值為.答案2解析由題意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)|AB|取得最小值.依拋物線定義知當(dāng)|AB|為通徑,即|AB|=2p=4時(shí),為最小值,所以|AC|+|BD|的最小值為2.9.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若OC=OA+OB,求的值.解(1)由題意得直線AB的方程為y=22x-p2,與y2=2px聯(lián)立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=5p4+p=9,所以p=4,從而該拋物線的方程為y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,則x1=1,x2=4,于是y1=-22,y2=42,從而A(1,-22),B(4,42).設(shè)C(x3,y3),則OC=(x3,y3)=(1,-22)+(4,42)=(4+1,42-22).又y32=8x3,所以22(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.10.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程;(2)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0),且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有FAFB<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.解(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P(x,y)滿足(x-1)2+y2-x=1(x>0),化簡得y2=4x(x>0).(2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).設(shè)l的方程為x=ty+m.由x=ty+m,y2=4x,得y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)>0,于是y1+y2=4t,y1y2=-4m.因?yàn)镕A=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),所以FAFB=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又FAFB<0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+1<0,因?yàn)閤=y24,所以不等式可變形為y124y224+y1y2-y124+y224+1<0,即(y1y2)216+y1y2-14(y1+y2)2-2y1y2+1<0.將代入整理得m2-6m+1<4t2.因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0,即3-22<m<3+22.由此可知,存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0),且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有FAFB<0,且m的取值范圍是(3-22,3+22).二、能力提升11.設(shè)F為拋物線y2=6x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn).若FA+FB+FC=0,則|FA|+|FB|+|FC|=()A.4B.6C.9D.12答案C解析由題意得拋物線的焦點(diǎn)為F32,0,準(zhǔn)線方程為x=-32.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).FA+FB+FC=0,點(diǎn)F是ABC的重心,x1+x2+x3=92.由拋物線的定義可得|FA|=x1-32=x1+32,|FB|=x2-32=x2+32,|FC|=x3-32=x3+32,|FA|+|FB|+|FC|=x1+32+x2+32+x3+32=9.12.(2018山東威海期末)設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,A(x1,2),B(x2,8)是C上兩點(diǎn),且x2>x1>0,若|BF|=3|AF|,則x1+x2=()A.32B.6C.62D.8答案C解析3|FA|=|FB|,根據(jù)拋物線的定義,可得32+p2=8+p2,解得p=2,拋物線方程為x2=4y,將y1=2,y2=8代入方程,得x1=22,x2=42,x1+x2=62.故選C.13.已知雙曲線y24-x2=1的兩條漸近線分別與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OAB的面積為1,則p的值為()A.1B.2C.22D.4答案B解析雙曲線y24-x2=1的兩條漸近線方程是y=2x.又拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x=-p2,故A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是y=p.AOB的面積為1,12p22p=1.p>0,p=2.14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF|=54|PQ|.(1)求C的方程;(2)過F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.解(1)設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=8p.所以|PQ|=8p,|QF|=p2+x0=p2+8p.由題設(shè)得p2+8p=548p,解得p=-2(舍去)或p=2.所以C的方程為y2=4x.(2)依題意知l與坐標(biāo)軸不垂直,故可設(shè)l的方程為x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中點(diǎn)為D(2m2+1,2m),|AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率為-m,所以l的方程為x=-1my+2m2+3.將上式代入y2=4x,并整理得y2+4my-4(2m2+3)=0.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),則y3+y4=-4m,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中點(diǎn)為E2m2+2m2+3,-2m,|MN|=1+1m2|y3-y4|=4(m2+1)2m2+1m2.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于|AE|=|BE|=12|MN|,從而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m2+1)2+2m+2m2+2m2+22=4(m2+1)2(2m2+1)m4,化簡得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.15.已知拋物線x2=2py(p>0)的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1,過點(diǎn)P(0,p)作直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),其中x1>x2.(1)若直線AB的斜率為12,過A,B兩點(diǎn)的圓C與拋物線在點(diǎn)A處有共同的切線,求圓C的方程.(2)若AP=PB,是否存在異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q,使得對(duì)任意,都有QP(QA-QB)?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.解(1)由已知得p=2,直線和y軸交于點(diǎn)(0,2),則直線AB的方程為y-2=12x,即x-2y+4=0.由x-2y+4=0,x2=4y,得A,B的坐標(biāo)分別為(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=14x2,故y=12x,故拋物線在點(diǎn)A處切線的斜率為2.設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則b-4a-4=-12,(a+2)2+(b-1)2=(a-4)2+(b-4)2,解得a=-1,b=132,r2=1254,故圓的方程為(x+1)2+y-1322=1254,即為x2+y2+2x-13x+12=0.(2)依題意可設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,代入拋物線方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2=-8.由已知AP=PB得-x1=x2.若k=0,這時(shí)=1,要使QP(QA-QB),點(diǎn)Q必在y軸上.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(0,m),從而QP=(0,2-m),QA-QB=(x1,y1-m)-(x2,y2-m)=(x1-x2,y1-m-(y2-m),故QP(QA-QB)=(2-m)y1-y2-m(1-)=0,即y1-y2-m(1-)=0,即x124+x1x2x224-m1+x1x2=0,即14x2(x1+x2)(x1x2-4m)=0,將代入得m=-2.所以存在點(diǎn)Q(0,-2)使得QP(QA-QB).三、高考預(yù)測(cè)16.已知點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的焦點(diǎn),傾斜角為3的直線l過焦點(diǎn)F且與拋物線在第一象限交于點(diǎn)A,當(dāng)|AF|=2時(shí),拋物線方程為()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案B解析過點(diǎn)A作ABx軸于點(diǎn)B,則RtABF中,AFB=60,|AF|=2,所以|BF|=|AF|cosAFB=12|AF|=1,|AB|=|AF|sinAFB=3.設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,3)x0>p2,由x0+p2=2,3=2px0,解得p=1.所以拋物線的方程為y2=2x.故選B.