陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分 4.1.1 定積分的實(shí)際背景教案 北師大版選修2-2.doc

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1.1 定積分的實(shí)際背景—面積和路程問(wèn)題2 課標(biāo)要求 了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念。 三維目標(biāo) （一）知識(shí)與能力： 了解求曲邊梯形面積的過(guò)程和解決有關(guān)汽車(chē)行駛路程問(wèn)題的過(guò)程的共同點(diǎn)； （二）過(guò)程與方法： 1.體會(huì)求汽車(chē)行駛的路程有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程； 2.感受在其過(guò)程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）。 （三）情感態(tài)度與價(jià)值觀： 認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在日常生產(chǎn)生活中的重要作用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，完善數(shù)學(xué)的正確數(shù)學(xué)意識(shí)。 教材分析 本節(jié)的主要內(nèi)容是展現(xiàn)定積分的實(shí)際背景，形成定積分的概念.教材設(shè)計(jì)了3個(gè)實(shí) 例求曲邊梯形面積、根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的速度求路程、求物體拉力做的功，通過(guò)這些問(wèn)題的解決，總結(jié)這些問(wèn)題的解決思路即通過(guò)分割求和、加細(xì)、減小誤差，然后再研究提 高精確度的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是定積分思想的核心，為定積分概念的引人奠定了背景和方 法的基礎(chǔ)。 學(xué)情分析 學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了求曲邊梯形面積、根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的速度求路程、求物體拉力做的功，為定積分概念的引人奠定了背景和方法的基礎(chǔ)。 教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)：掌握過(guò)程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）． 難點(diǎn)：過(guò)程的理解． 提煉的課題 定積分的概念 教學(xué)手段運(yùn)用 教學(xué)資源選擇 專(zhuān)家伴讀 教學(xué)過(guò)程 四、教學(xué)過(guò)程 （一）、創(chuàng)設(shè)情景 復(fù)習(xí)：1．連續(xù)函數(shù)的概念；2．求曲邊梯形面積的基本思想和步驟； 利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體運(yùn)動(dòng)速度”的問(wèn)題．反之，如果已知物體的速度與時(shí)間的關(guān)系，如何求其在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程呢？ （二）、新課探析 問(wèn)題：汽車(chē)以速度組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間所行駛的路程為．如果汽車(chē)作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類(lèi)似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題．把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車(chē)作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車(chē)在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無(wú)窮大就得到（單位：km）的精確值．（思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無(wú)限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）． 解：（1）．分割 在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間： ，，…， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為 把汽車(chē)在時(shí)間段，，…，上行駛的路程分別記作： ，，…， 顯然， （2）近似代替 當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車(chē)在時(shí)間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻處的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 ① （3）求和 由①， == == 從而得到的近似值 （4）取極限 當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有 思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程，你認(rèn)為汽車(chē)行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？ 結(jié)合上述求解過(guò)程可知，汽車(chē)行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積． 一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無(wú)限逼近的思想，求出它在a≤≤b內(nèi)所作的位移． 例、彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)所作的功． 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解． 解： 將物體用常力沿力的方向移動(dòng)距離，則所作的功為． 1．分割 在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間： ，，…， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為 把在分段，，…，上所作的功分別記作：，，…， （2）近似代替 有條件知： （3）求和 = 從而得到的近似值 （4）取極限 所以得到彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)所作的功為： （四）、課堂小結(jié)：求汽車(chē)行駛的路程有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程。