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第1講直線與圓
考向預(yù)測
1．直線方程、圓的方程、兩直線的平行與垂直、直線與圓的位置關(guān)系是高考的重點(diǎn)；
2．考查的主要內(nèi)容包括求直線(圓)的方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系判斷、簡單的弦長與切線問題，多為選擇題、填空題．
1．兩條直線平行與垂直的判定
若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1．若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．
2．兩個(gè)距離公式
(1)兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝．
(2)點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝．
3．圓的方程
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r．
(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝．
4．直線與圓的位置關(guān)系的判定
(1)幾何法：把圓心到直線的距離d和半徑r的大小加以比較：d
r?相離．
(2)代數(shù)法：將圓的方程和直線的方程聯(lián)立起來組成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系：Δ>0?相交；
Δ＝0?相切；Δ<0?相離．
熱點(diǎn)一 直線的方程
【例1】(2018江南十校)已知點(diǎn)M(a,b)，a>0，b>0是圓C:x2+y2=1內(nèi)一點(diǎn)，直線ax+by=1，ax+by=-1，ax-by=1，ax-by=-1圍成的四邊形的面積為S，則下列說法正確的是（）
A．S>4 B．S≥4 C．S<4 D．S≤4
解析由已知a2+b2<1，四條直線圍成的四邊形面積S=42ab≥4a2+b2>4．
答案A
探究提高 1．求解兩條直線平行的問題時(shí)，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性．
2．求直線方程時(shí)應(yīng)根據(jù)條件選擇合適的方程形式利用待定系數(shù)法求解，同時(shí)要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意．
【訓(xùn)練1】(2017貴陽質(zhì)檢)已知直線l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，則“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析 “l(fā)1⊥l2”的充要條件是“m(m－3)＋12＝0?m＝1或m＝2”，因此“m＝1”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件．
答案 A
熱點(diǎn)二 圓的方程
【例2】(2019江西名校聯(lián)盟)已知點(diǎn)A(-2,-1)，B(1,3)，則以線段AB為直徑的圓的方程為（）
A．(x-12)2+(y+1)2=25 B．(x+12)2+(y-1)2=25
C．(x-12)2+(y+1)2=254 D．(x+12)2+(y-1)2=254
解析圓心為AB的中點(diǎn)-12,1，半徑為(-12+2)2+(1+1)2=52，
則以線段AB為直徑的圓的方程為(x+12)2+(y-1)2=254．
答案D．
探究提高 1．直接法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．
2．待定系數(shù)法求圓的方程．
【訓(xùn)練2】圓心在直線x－2y＝0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓C截x軸所得的弦的長為2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
解析 設(shè)圓心(a>0)，半徑為a．
由勾股定理得()2＋＝a2，解得a＝2．
所以圓心為(2，1)，半徑為2，
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝4
熱點(diǎn)三 直線與圓的位置關(guān)系
【例3】(1)(2019銀川一中)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，且|OA+OB|=|OA-OB|，
其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（）
A．2 B．2 C．－2 D．2
(2)(2017菏澤二模)已知圓C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直線l：y＝a(x－3)被圓C截得的弦長最短時(shí)，直線l方程為________．
解析 (1)由|OA+OB|=|OA-OB|得OA+OB2=OA-OB2，OA?OB=0，OA⊥OB，
三角形AOB為等腰直角三角形，圓心到直線的距離為2，即a2=2，a＝2，
故選B．
(2)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圓C的圓心C(4，1)，半徑r＝3．
又直線l：y＝a(x－3)過定點(diǎn)P(3，0)，
則當(dāng)直線y＝a(x－3)與直線CP垂直時(shí)，被圓C截得的弦長最短．
因此akCP＝a＝－1，∴a＝－1．
故所求直線l的方程為y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0．
答案 (1)B，(2)x＋y－3＝0
探究提高 1．研究直線與圓的位置關(guān)系最常用的解題方法為幾何法，將代數(shù)問題幾何化，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．
2．與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，及半弦長，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理．
【訓(xùn)練3】(2016江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2，4)．
(1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且|BC|＝|OA|，求直線l的方程；
(3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得＋＝，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解 (1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6，7)，半徑r＝5，
由題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，
且＝b＋5．
解得b＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y－1)2＝1．
(2)∵kOA＝2，∴可設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0．
又|BC|＝|OA|＝＝2，
由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d＝＝＝2，
即＝2，解得m＝5或m＝－15．
∴直線l的方程為2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0．
(3)由＋＝，則四邊形AQPT為平行四邊形，
又∵P，Q為圓M上的兩點(diǎn)，∴|PQ|≤2r＝10．
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2．
故所求t的范圍為[2－2，2＋2]．
1．(2016全國Ⅱ卷)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝（）
A．－ B．－ C． D．2
2．(2018全國III卷)直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓x-22+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（）
A．2?，??6 B．4?，??8 C．2?，??32 D．22?，??32
3．(2016全國Ⅰ卷)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為________．
4．(2018全國I卷)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A?，??B兩點(diǎn)，則AB=________．
1．(2018聊城一中)已知斜率為k的直線l平分圓x2+y2-2x+3y=0且與曲線y2=x恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的k值有（）個(gè)
A．1 B．2 C．3 D．0
2．過點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為（）
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
3．(2015全國Ⅱ卷)已知三點(diǎn)A(1，0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為（）
A． B． C． D．
4．(2017北京卷)已知點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，O為原點(diǎn)，則的最大值為________．
5．(2015全國Ⅰ卷)已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．
(1)求k的取值范圍；
(2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|．
1．(2018成都月考)直線l:x+4y=2與圓C:x2+y2=1交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA、OB的傾斜角分別為α、β，則cosα+cosβ=（）
A．1817 B．-1217 C．-417 D．417
2．(2017濟(jì)南調(diào)研)若直線x－y＋m＝0被圓(x－1)2＋y2＝5截得的弦長為2，則m的值為（）
A．1 B．－3 C．1或－3 D．2
3．(2017廣安調(diào)研)過點(diǎn)(1，1)的直線l與圓(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|＝4時(shí)，直線l的方程為________．
4．(2017池州模擬)某學(xué)校有2 500名學(xué)生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，為了了解學(xué)生的身體健康狀況，采用分層抽樣的方法，若從本校學(xué)生中抽取100人，從高一和高三抽取樣本數(shù)分別為a，b，且直線ax＋by＋8＝0與以A(1，－1)為圓心的圓交于B，C兩點(diǎn)，且∠BAC＝120，則圓C的方程為________．
5．已知點(diǎn)A(3，3)，B(5，2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點(diǎn)，求直線l的方程．
參考答案
1．【解題思路】點(diǎn)到直線距離公式d＝．
【答案】圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，故圓心為(1，4)．
由題意，得d＝＝1，解得a＝－．故選A．
2．【解題思路】先求出A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)得到AB，再計(jì)算圓心到直線距離，得到點(diǎn)P到直線距離范圍，由面積公式計(jì)算即可
【答案】∵直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴A-2,0,B(0,-2),則AB=22，
∵點(diǎn)P在圓（x-2）2+y2=2上，∴圓心為（2，0），則圓心到直線距離d1=|2+0+2|2=22，
故點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離d2的范圍為[2,32]，
則S△ABP=12ABd2=2d2∈[2,6]，
故答案選A．
點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題．
3．【解題思路】利用弦心距結(jié)合勾股定理求弦長列方程求半徑．
【答案】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，
點(diǎn)C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝．
又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓C的面積為π(a2＋2)＝4π．故填4π．
4．【解題思路】首先將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和圓的半徑的大小，之后應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離求得弦心距，借助于圓中特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求得弦長．
【答案】根據(jù)題意，圓的方程可化為x2+(y+1)2=4，
所以圓的圓心為(0,-1)，且半徑是2，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求得d=0+1+112+(-1)2=2，
結(jié)合圓中的特殊三角形，可知AB=24-2=22，故答案為22．
點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，熟練應(yīng)用圓中的特殊三角形半弦長、弦心距和圓的半徑構(gòu)成的直角三角形，借助于勾股定理求得結(jié)果．
1．【解題思路】直線平分圓可知，直線經(jīng)過圓心，從而可得直線的方程，然后和曲線的方程聯(lián)立，根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，確定k的值．
【答案】圓x2+y2-2x+3y=0的圓心為(1,-32)，所以設(shè)直線為y+32=k(x-1)．
聯(lián)立y+32=k(x-1)y2=x，得ky2-y-k-32=0．
因?yàn)榍∮幸粋€(gè)公共點(diǎn)，所以k=0或者k≠01-4k(-k-32)=0，解得k=-354．
綜上可得，k的值有3個(gè)，故選C．
2．【解題思路】過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條．
【答案】依題意知，點(diǎn)(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，且為切點(diǎn)．
∵圓心(1，0)與切點(diǎn)(3，1)連線的斜率為，所以切線的斜率k＝－2．
故圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0．故選B．
3．【解題思路】待定系數(shù)法求圓的方程．
【答案】設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∴∴
∴△ABC外接圓的圓心為，
因此圓心到原點(diǎn)的距離d＝＝．故選B．
4．【解題思路】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用向量數(shù)量積定義即可．
【答案】由題意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，
則＝(2，0)(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故的最大值為6．故填6．
5．【解題思路】(1)直線與圓相交，可得d
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專題四
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