2020版高考物理一輪復(fù)習(xí) 第一章 第3節(jié) 運(yùn)動(dòng)圖像 追及和相遇問題講義.doc

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第3節(jié) 運(yùn)動(dòng)圖像 追及和相遇問題 一、運(yùn)動(dòng)圖像[注1] 1．xt圖像 (1)物理意義：反映了物體做直線運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。 (2)斜率的意義：圖線上某點(diǎn)切線斜率的大小表示物體此時(shí)速度的大小，斜率正負(fù)表示物體速度的方向。[注2] 2．vt圖像 (1)物理意義：反映了物體做直線運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。 (2)斜率的意義：圖線上某點(diǎn)切線斜率的大小表示物體此時(shí)加速度的大小，斜率正負(fù)表示物體加速度的方向。 (3)“面積”的意義 ①圖線與時(shí)間軸圍成的面積表示相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的位移。 ②若面積在時(shí)間軸的上方，表示位移方向?yàn)榉较?；若面積在時(shí)間軸的下方，表示位移方向?yàn)榉较颉? 二、追及和相遇問題 1．追及問題的兩類情況[注3] (1)若后者能追上前者，追上時(shí)，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。 (2)若后者追不上前者，則當(dāng)后者速度與前者速度相等時(shí)，兩者相距最近。 2．相遇問題[注4] 相向運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體間的距離時(shí)即相遇。 【注解釋疑】 [注1] 無論vt圖像還是xt圖像，描述的一定是直線運(yùn)動(dòng)。 [注2] 斜率是數(shù)學(xué)語言，表示直線的傾斜程度；斜率具有物理意義，可表示物體運(yùn)動(dòng)的速度或加速度。 [注3] 速度相等是判斷追上或追不上的切入點(diǎn)。 [注4] 同向追及時(shí)，當(dāng)追趕者位移等于被追趕者位移與初始間距之和時(shí)即相遇。 [深化理解] 1．識(shí)圖中常見的三類錯(cuò)誤 (1)錯(cuò)誤地認(rèn)為圖像就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。 (2)錯(cuò)將圖線的交點(diǎn)都當(dāng)成相遇，而vt圖線的交點(diǎn)表示該時(shí)刻速度相同。 (3)錯(cuò)誤理解圖線斜率的意義，比如認(rèn)為vt圖像斜率為正，則質(zhì)點(diǎn)一定做加速運(yùn)動(dòng)，斜率為負(fù)，則質(zhì)點(diǎn)一定做減速運(yùn)動(dòng)。 2．追及和相遇問題 分兩類，一類為一定能追上，直接列位移方程，找位移關(guān)系；另一類為可能追上，需根據(jù)速度關(guān)系判斷能否追上。 [基礎(chǔ)自測(cè)] 一、判斷題 (1)xt圖像和vt圖像都表示物體運(yùn)動(dòng)的軌跡。() (2)xt圖像和vt圖像都只能描述直線運(yùn)動(dòng)。(√) (3)xt圖像上兩圖線的交點(diǎn)表示兩物體此時(shí)相遇。(√) (4)vt圖像上兩圖線的交點(diǎn)表示兩物體此時(shí)相遇。() (5)同一直線上運(yùn)動(dòng)的兩物體，后者若追上前者，后者速度必須大于前者。(√) (6)同一直線上運(yùn)動(dòng)的兩物體，速度相等時(shí)，兩物體相距最近或最遠(yuǎn)。(√) (7)兩物體同向運(yùn)動(dòng)恰好不相碰，則此時(shí)兩物體速度相等。(√) 二、選擇題 1．[滬科版必修1 P43T6改編](多選)如圖所示為甲、乙兩物體在同一直線上運(yùn)動(dòng)的位置坐標(biāo)x隨時(shí)間t變化的圖像，已知甲對(duì)應(yīng)的是圖像中的直線，乙對(duì)應(yīng)的是圖像中的曲線，則下列說法正確的是(　　) A．甲做勻減速直線運(yùn)動(dòng) B．乙做變速直線運(yùn)動(dòng) C．0～t1時(shí)間內(nèi)兩物體平均速度大小相等 D．兩物體的運(yùn)動(dòng)方向相反 解析：選BD　結(jié)合題意分析題圖易知，題圖中圖像的斜率等于速度，知甲沿負(fù)方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；乙圖線切線的斜率不斷增大，說明乙的速度不斷增大，做變速直線運(yùn)動(dòng)，故B項(xiàng)正確；根據(jù)坐標(biāo)的變化量等于位移知，0～t1時(shí)間內(nèi)兩物體位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)圖像的斜率等于速度可知，甲的速度為負(fù)，乙的速度為正，即兩物體的運(yùn)動(dòng)方向相反，故D項(xiàng)正確。 2．(多選)物體做直線運(yùn)動(dòng)的vt圖像如圖所示，根據(jù)圖像提供的信息可知(　　) A．第4 s初物體運(yùn)動(dòng)的加速度為2 m/s2 B．前8 s內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的位移為32 m C．在0～4 s內(nèi)與4～6 s內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的加速度方向相反 D．在0～4 s內(nèi)與4～6 s內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度相等 解析：選BC　圖像的斜率表示加速度，則第4 s初物體運(yùn)動(dòng)的加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；圖像與坐標(biāo)軸圍成面積代表位移，前8 s內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的位移x＝(4＋8)4 m＋82 m＝32 m，故B項(xiàng)正確；在0～4 s 內(nèi)與4～6 s內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的速度都為正，加速度方向相反，故C項(xiàng)正確；在0～4 s內(nèi)的平均速度v1＝ m/s＝6 m/s,4～6 s內(nèi)的平均速度v2＝ m/s＝4 m/s，故D項(xiàng)錯(cuò)誤。 3．[粵教版必修1 P47T17改編]一步行者以6.0 m/s的速度跑去追趕被紅燈阻停的公共汽車，在跑到距汽車25 m處時(shí)，綠燈亮了，汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動(dòng)前進(jìn)，則(　　) A．人能追上公共汽車，追趕過程中人跑了36 m B．人不能追上公共汽車，人、車最近距離為7 m C．人能追上公共汽車，追上車前人共跑了43 m D．人不能追上公共汽車，且車開動(dòng)后，人車距離越來越遠(yuǎn) 解析：選B　在跑到距汽車25 m處時(shí)，綠燈亮了，汽車以1.0 m/s2的加速度勻加速啟動(dòng)前進(jìn)，當(dāng)汽車加速到6.0 m/s時(shí)二者相距最近。汽車加速到6.0 m/s所用時(shí)間t＝6 s，人運(yùn)動(dòng)距離為66 m＝36 m，汽車運(yùn)動(dòng)距離為18 m，二者最近距離為18 m＋25 m－36 m＝7 m，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤，B正確。人不能追上公共汽車，且車開動(dòng)后，人車距離先減小后增大，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，主要集中在xt圖像、vt圖像及追及相遇問題。其中對(duì)xt圖像和vt圖像的考查，主要以選擇題的形式呈現(xiàn)，難度中等，而對(duì)追及相遇問題的考查，常結(jié)合具體的生活情景，題型有選擇題，也有計(jì)算題，難度更大一些。 考點(diǎn)一　運(yùn)動(dòng)圖像的理解和應(yīng)用[多維探究類] 1．讀圖——獲取解題信息 第一層 (1)確認(rèn)縱、橫坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的物理量及其單位 (2)注意縱、橫坐標(biāo)是否從零刻度開始 關(guān)注坐標(biāo)軸 第二層 圖線在坐標(biāo)軸上的截距表示運(yùn)動(dòng)的初始情況 理解截距、斜率、面積 斜率通常能夠體現(xiàn)某個(gè)物理量(如vt圖像的斜率反映了加速度)的大小、方向及變化情況 最常見的是vt圖像中面積表示位移，但要注意時(shí)間軸下方的面積為負(fù)，說明這段位移與正方向相反 第三層 交點(diǎn)往往是解決問題的切入點(diǎn)，注意交點(diǎn)表示物理量相等，不一定代表物體相遇 分析交點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、漸近線 轉(zhuǎn)折點(diǎn)表示物理量發(fā)生突變，滿足不同的函數(shù)關(guān)系式，如vt圖像中速度由增變減，表明加速度突然反向 利用漸近線可以求出該物理量的極值或確定它的變化趨勢(shì) 2．作圖和用圖——快速解題 依據(jù)物體的狀態(tài)或物理過程所遵循的物理規(guī)律，做出與之對(duì)應(yīng)的示意圖或數(shù)學(xué)函數(shù)圖像，往往可以快速、直觀地研究和處理問題。 考法(一)　圖像信息類問題 [例1]　(多選)(2018全國卷Ⅲ)甲、乙兩車在同一平直公路上同向運(yùn)動(dòng)，甲做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，乙做勻速直線運(yùn)動(dòng)。甲、乙兩車的位置x隨時(shí)間t的變化如圖所示。下列說法正確的是(　　) A．在t1時(shí)刻兩車速度相等 B．從0到t1時(shí)間內(nèi)，兩車走過的路程相等 C．從t1到t2時(shí)間內(nèi)，兩車走過的路程相等 D．在t1到t2時(shí)間內(nèi)的某時(shí)刻，兩車速度相等 [解析]　xt圖像斜率表示兩車速度，則可知t1時(shí)刻乙車速度大于甲車速度，故A錯(cuò)誤。由兩圖線的縱截距知，出發(fā)時(shí)甲車在乙車前面，t1時(shí)刻圖線相交表示兩車相遇，可得0到t1時(shí)間內(nèi)乙車比甲車多走了一段距離，故B錯(cuò)誤。t1和t2時(shí)刻兩圖線相交，表明兩車均在同一位置，從t1到t2時(shí)間內(nèi)，兩車走過的路程相等；在t1到t2時(shí)間內(nèi)，兩圖線有斜率相等的一個(gè)時(shí)刻，即該時(shí)刻兩車速度相等，故C、D正確。 [答案]　CD 考法(二)　圖像選擇類問題 [例2]　從塔頂由靜止釋放一個(gè)小球A的時(shí)刻為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，t0時(shí)刻，在與A球t0時(shí)刻所在位置的同一水平高度，由靜止釋放小球B，若兩球都只受重力作用，設(shè)小球B下落時(shí)間為t，在A、B兩球落地前，A、B兩球之間的距離為Δx，則 t0的圖線為(　　) [解析]　A、B兩球釋放后都做自由落體運(yùn)動(dòng)，B球釋放時(shí)，A球的速度vA＝gt0，B球釋放后t時(shí)間時(shí)，A、B兩球之間的距離Δx＝vAt＋gt2－gt2＝gt0t，則＝gt0，所以 t0的圖線為一條過原點(diǎn)的傾斜直線，斜率為g，故B正確。 [答案]　B [題型技法] 解決這類問題時(shí)，首先要將題目給出的情景分析透徹，然后根據(jù)情景分析圖像中物理量之間的關(guān)系，或者直接將圖像與題目所描述的情景相對(duì)照，看是否吻合進(jìn)行判斷。 考法(三)　圖像轉(zhuǎn)換類問題 [例3]　一物體由靜止開始沿直線運(yùn)動(dòng)，其加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖所示。取物體開始運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?，則下列關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)的vt圖像正確的是(　　) [解析]　根據(jù)加速度隨時(shí)間變化的圖像可得，0～1 s內(nèi)為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，速度v＝at＝t，速度為正方向，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。第1 s末的速度v＝1 m/s,1～2 s內(nèi)加速度變?yōu)樨?fù)值，而速度為正方向，因此為減速運(yùn)動(dòng)，v′＝1 m/s－a(t－1)，到2 s末，速度減小為0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。2～3 s，加速度為正方向，初速度為0，物體做正方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，v＝a(t－2)＝t－2，即從第2 s開始又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)C正確，A錯(cuò)誤。 [答案]　C [題型技法] 解決圖像轉(zhuǎn)換類問題的一般流程： 考法(四)　圖像應(yīng)用類問題 [例4]　某同學(xué)欲估算飛機(jī)著陸時(shí)的速度，他假設(shè)飛機(jī)在平直跑道上做勻減速運(yùn)動(dòng)，飛機(jī)在跑道上滑行的距離為x，從著陸到停下來所用的時(shí)間為t，實(shí)際上，飛機(jī)的速度越大，所受的阻力越大，則飛機(jī)著陸時(shí)的速度應(yīng)是(　　) A．v＝　　　　　　　　　 B．v＝ C．v＞ D.＜v＜ [解析]　 該同學(xué)假設(shè)飛機(jī)做勻減速運(yùn)動(dòng)，所用的時(shí)間為t，畫出相應(yīng)的vt圖像大致如圖所示的虛線。根據(jù)圖像的意義可知，虛線下方的“面積”表示位移。因?yàn)槲灰茷閤，則得出初速度為。實(shí)際上，當(dāng)飛機(jī)的速度減小時(shí)，所受的阻力減小，因而它的加速度會(huì)逐漸變小，vt圖像切線的斜率減小，畫出相應(yīng)的vt圖像大致如圖所示的實(shí)線。根據(jù)圖像的意義可知，實(shí)線下方的“面積”表示位移。所以飛機(jī)著陸時(shí)的速度v＞，故選項(xiàng)C正確。 [答案]　C [題型技法] 此類問題看似與圖像無關(guān)，但常規(guī)解法晦澀難懂，掌握構(gòu)圖技巧，則難題迎刃而解。 (1)認(rèn)真審題，根據(jù)需要確定縱、橫坐標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的物理量。 (2)結(jié)合具體的物理過程和相應(yīng)的物理規(guī)律，找出兩物理量的制約關(guān)系，作出函數(shù)圖像。 (3)根據(jù)圖像結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析、判斷。 [題點(diǎn)全練] 1．[根據(jù)xt圖像分析兩車的運(yùn)動(dòng)] 在平直公路上行駛的a車和b車，其位移—時(shí)間(x t)圖像分別為圖中直線a和曲線b，已知b車的加速度恒定且等于－2 m/s2，t＝3 s時(shí)，直線a和曲線b剛好相切，則(　　) A．a(chǎn)車做勻速運(yùn)動(dòng)且其速度為va＝ m/s B．t＝3 s時(shí)a車和b車相遇但此時(shí)速度不等 C．t＝1 s時(shí)b車的速度為10 m/s D．t＝0時(shí)a車和b車的距離x0＝9 m 解析：選D　x t圖像的斜率等于速度，由題圖可知，a車的速度不變，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為：va＝＝ m/s＝2 m/s，故A錯(cuò)誤。t＝3 s 時(shí)，直線a和曲線b剛好相切，位置坐標(biāo)相同，兩車相遇，斜率相等，此時(shí)兩車的速度相等，故B錯(cuò)誤。t＝3 s時(shí)，b車的速度為：vb＝va＝2 m/s，設(shè)b車的初速度為v0，對(duì)b車，由v0＋at＝vb，解得：v0＝8 m/s，則t＝1 s時(shí)b車的速度為：vb′＝v0＋at1＝8 m/s－21 m/s＝6 m/s，故C錯(cuò)誤。t＝3 s時(shí)，a車的位移為：xa＝vat＝6 m，b車的位移為：xb＝t＝3 m＝15 m，t＝3 s 時(shí)，a車和b車到達(dá)同一位置，得：x0＝xb－xa＝9 m，故D正確。 2．[根據(jù)vt圖像選擇at圖像] 質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖像如圖所示，下圖中表示質(zhì)點(diǎn)加速度—時(shí)間圖像正確的是(　　) 解析：選B　在速度—時(shí)間圖像中，斜率的正負(fù)和大小表示加速度的正負(fù)和大小，在0～1 s和3～5 s內(nèi)斜率為正，加速度為2 m/s2,1～3 s和5～6 s內(nèi)斜率為負(fù)，加速度為－2 m/s2，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。 3．[根據(jù)滑塊的運(yùn)動(dòng)情況選擇運(yùn)動(dòng)圖像] 如圖所示，滑塊以初速度v0沿表面粗糙且足夠長(zhǎng)的固定斜面，從頂端下滑，直至速度為零。對(duì)于該運(yùn)動(dòng)過程，若用h、s、v、a分別表示滑塊的下降高度、位移、速度和加速度的大小，t表示時(shí)間，則下列圖像最能正確描述這一運(yùn)動(dòng)規(guī)律的是(　　) 解析：選B　在下滑的過程中，根據(jù)牛頓第二定律可得：mgsin θ－μmgcos θ＝ma，故加速度保持不變，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤；滑塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，vt圖像應(yīng)為一條傾斜直線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得s＝v0t＋at2，所以st圖像應(yīng)為過原點(diǎn)的拋物線的一部分，故選項(xiàng)B正確；下降的高度h＝ssin θ，故ht圖像與st圖像相似，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤。 4．[應(yīng)用運(yùn)動(dòng)圖像分析豎直上拋運(yùn)動(dòng)] 在地面上以初速度2v0豎直上拋一物體A后，又以初速度v0從同一地點(diǎn)豎直上拋另一物體B。若要使兩物體能在空中相遇，則兩物體拋出的時(shí)間間隔Δt必須滿足的條件是(不計(jì)空氣阻力)(　　) A.＜Δt＜ B.＜Δt＜ C.＜Δt＜ D.＜Δt＜ 解析：選D　依據(jù)x＝v0t－gt2作出xt圖像，如圖所示，顯然，兩條圖線相交表示A、B相遇。由圖線可直接看出，當(dāng)Δt滿足關(guān)系式＜Δt＜時(shí)，A、B可在空中相遇，選項(xiàng)D正確。 考點(diǎn)二　追及和相遇問題[師生共研類] 1．解答追及和相遇問題的三種方法 情景分析法 抓住“兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置”這一關(guān)鍵，認(rèn)真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立一幅物體運(yùn)動(dòng)關(guān)系的情景圖 函數(shù)判斷法 設(shè)相遇時(shí)間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于位移x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系，由此判斷兩物體追及或相遇情況 圖像分析法 將兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間關(guān)系或位移—時(shí)間關(guān)系畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關(guān)問題 2．情景分析法的基本思路 [典例]　汽車A以vA＝4 m/s的速度向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)前方相距x0＝7 m處、以vB＝10 m/s的速度同向運(yùn)動(dòng)的汽車B正開始勻減速剎車直到靜止后保持不動(dòng)，其剎車的加速度大小a＝2 m/s2。從此刻開始計(jì)時(shí)。求： (1)A追上B前，A、B間的最遠(yuǎn)距離是多少？ (2)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間A恰好追上B? [解題指導(dǎo)]　汽車A和B的運(yùn)動(dòng)過程如圖所示。 [解析]　(1)當(dāng)A、B兩汽車速度相等時(shí)，兩車間的距離最遠(yuǎn)，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3 s 此時(shí)汽車A的位移xA＝vAt＝12 m 汽車B的位移xB＝vBt－at2＝21 m 故最遠(yuǎn)距離Δxmax＝xB＋x0－xA＝16 m。 (2)汽車B從開始減速直到靜止經(jīng)歷的時(shí)間t1＝＝5 s 運(yùn)動(dòng)的位移xB′＝＝25 m 汽車A在t1時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移xA′＝vAt1＝20 m 此時(shí)相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12 m 汽車A需再運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2＝＝3 s 故A追上B所用時(shí)間t總＝t1＋t2＝8 s。 [答案]　(1)16 m　(2)8 s [延伸思考] (1)若某同學(xué)應(yīng)用關(guān)系式vBt－at2＋x0＝vAt解得經(jīng)過t＝7 s(另解舍去)時(shí)A恰好追上B。這個(gè)結(jié)果合理嗎？為什么？ (2)若汽車A以vA＝4 m/s的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，其后方相距x0＝7 m處，以vB＝10 m/s的速度同方向運(yùn)動(dòng)的汽車B正向左開始勻減速剎車直到靜止后保持不動(dòng)，其剎車的加速度大小為a＝2 m/s2，則經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車恰好相遇？ 提示：(1)這個(gè)結(jié)果不合理，因?yàn)槠嘊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)為t＝＝5 s＜7 s，說明汽車A追上B時(shí)汽車B已停止運(yùn)動(dòng)。 (2)可由位移關(guān)系式：vBt－at2＝x0＋vAt，解得t1＝(3－)s，t2＝(3＋)s。 例題及延伸思考旨在培養(yǎng)考生“貼合實(shí)際、全面分析”運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的思維習(xí)慣： (1)如勻速運(yùn)動(dòng)的物體追勻減速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，注意判斷追上時(shí)被追的物體是否已停止。 (2)勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追勻速運(yùn)動(dòng)的物體時(shí)，有追不上、恰好追上、相撞或相遇兩次等多種可能。 [題點(diǎn)全練] 1．[與xt圖像相結(jié)合的追及相遇問題] 甲、乙兩人同時(shí)同地騎自行車出發(fā)做直線運(yùn)動(dòng)，前1 h內(nèi)的xt圖像如圖所示，下列表述正確的是(　　) A．0.2～0.5 h內(nèi)，甲的速度比乙的小 B．0.2～0.5 h內(nèi)，甲的加速度比乙的大 C．0.6～0.8 h內(nèi)，甲的位移比乙的小 D．0.8 h時(shí)，甲追上乙 解析：選D　xt圖像的斜率表示速度，0.2～0.5 h內(nèi)，甲的斜率大，則甲的速度比乙的大，故A錯(cuò)誤。由題圖知，0.2～0.5 h內(nèi)，甲、乙都做勻速直線運(yùn)動(dòng)，加速度均為零，故B錯(cuò)誤。物體的位移等于x的變化量，則知0.6～0.8 h內(nèi)，甲的位移比乙的大，故C錯(cuò)誤。0.8 h時(shí)，甲、乙位移相等，甲追上乙，故D正確。 2．[與vt圖像相結(jié)合的追及相遇問題] (多選)(2018全國卷Ⅱ)甲、乙兩汽車在同一條平直公路上同向運(yùn)動(dòng)，其速度—時(shí)間圖像分別如圖中甲、乙兩條曲線所示。已知兩車在t2時(shí)刻并排行駛。下列說法正確的是(　　) A．兩車在t1時(shí)刻也并排行駛 B．在t1時(shí)刻甲車在后，乙車在前 C．甲車的加速度大小先增大后減小 D．乙車的加速度大小先減小后增大 解析：選BD　t1～t2時(shí)間內(nèi)，v甲＞v乙，t2時(shí)刻相遇，則t1時(shí)刻甲車在乙車的后面，故A錯(cuò)誤、B正確。由圖像的斜率知，甲、乙兩車的加速度大小均先減小后增大，故C錯(cuò)誤、D正確。 3．[多種方法解決追及相遇問題] 在水平軌道上有兩列火車A和B相距s，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而B車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，兩車運(yùn)動(dòng)方向相同。要使兩車不相撞，求A車的初速度v0滿足什么條件。 解析：要使兩車不相撞，A車追上B車時(shí)其速度只能與B車相等。設(shè)A、B兩車從相距s到A車追上B車時(shí)，A車的位移為sA、末速度為vA、所用時(shí)間為t，B車的位移為sB、末速度為vB，兩者的運(yùn)動(dòng)過程如圖所示，現(xiàn)用三種方法解答如下： 法一：情景分析法 利用位移公式、速度公式求解 對(duì)A車有sA＝v0t＋(－2a)t2 vA＝v0＋(－2a)t 對(duì)B車有sB＝at2，vB＝at 對(duì)兩車有s＝sA－sB 追上時(shí)，兩車不相撞的臨界條件是vA＝vB 聯(lián)立以上各式解得v0＝ 故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0＜。 法二：函數(shù)判斷法 利用判別式求解，由法一可知 sA＝s＋sB，即v0t＋(－2a)t2＝s＋at2 整理得3at2－2v0t＋2s＝0 這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程，當(dāng)根的判別式Δ＝(－2v0)2－43a2s＜0時(shí)，t無實(shí)數(shù)解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0＜。 法三：圖像分析法 利用速度—時(shí)間圖像求解，先作A、B兩車的速度—時(shí)間圖像，其圖像如圖所示，設(shè)經(jīng)過t′時(shí)間兩車剛好不相撞，則 對(duì)A車有vA＝v′＝v0－2at′ 對(duì)B車有vB＝v′＝at′ 以上兩式聯(lián)立解得t′＝ 經(jīng)t′時(shí)間兩車發(fā)生的位移大小之差，即原來兩車間的距離s 它可用圖中的陰影面積表示，由圖像可知 s＝v0t′＝v0＝ 所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0＜。 答案：v0＜ “專項(xiàng)研究”拓視野——運(yùn)動(dòng)示意圖和運(yùn)動(dòng)圖像 運(yùn)動(dòng)學(xué)問題如果單獨(dú)作為考查點(diǎn)命制計(jì)算題，則往往涉及兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系問題，或者是一個(gè)物體的多過程、多情景的實(shí)際問題。對(duì)于這類問題，分析物理過程，作好運(yùn)動(dòng)示意圖或運(yùn)動(dòng)圖像，從而弄清運(yùn)動(dòng)物體運(yùn)動(dòng)過程中各階段運(yùn)動(dòng)量間的聯(lián)系，是尋找解題途徑的關(guān)鍵。 一、運(yùn)動(dòng)示意圖 運(yùn)動(dòng)示意圖就是根據(jù)文字?jǐn)⑹龆嫵龅挠靡孕蜗竺枋鑫矬w運(yùn)動(dòng)過程的一種簡(jiǎn)圖(或草圖)。同時(shí)在圖上標(biāo)明物體運(yùn)動(dòng)的速度、加速度等狀態(tài)量和位移、時(shí)間等過程量。 運(yùn)用運(yùn)動(dòng)示意圖解題時(shí)，要分過程恰當(dāng)選取運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律列方程，同時(shí)注意各過程間的位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系及速度關(guān)系，列出相應(yīng)的輔助方程，再將各式聯(lián)立求解，便可得出結(jié)果。 [例1]　一個(gè)氣球以4 m/s的速度勻速豎直上升，氣球下面系著一個(gè)重物，當(dāng)氣球上升到下面的重物離地面217 m時(shí)，系重物的繩子斷了，不計(jì)空氣阻力，問從此時(shí)起，重物經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間落到地面？重物著地時(shí)的速度多大？(g取10 m/s2) [解析]　繩子未斷時(shí)，重物隨著氣球以4 m/s的速度勻速上升，當(dāng)繩子斷后，由于慣性，物體將在離地面217 m處，以4 m/s的初速度豎直上拋。運(yùn)動(dòng)示意圖如圖所示： 重物由O →A做勻減速直線運(yùn)動(dòng)， h1＝＝0.8 m，t1＝＝0.4 s 重物由A→B做自由落體運(yùn)動(dòng)，h1＋h＝gt22 可解得：t2＝ ＝6.6 s， 故從繩子斷到重物落地的總時(shí)間t＝t1＋t2＝7 s 重物落地時(shí)的速度v＝gt2＝66 m/s。 [答案]　7 s　66 m/s [反思領(lǐng)悟] 由以上例題可以看出，對(duì)于較復(fù)雜的物體運(yùn)動(dòng)過程，畫出運(yùn)動(dòng)過程示意圖，綜合分析物理過程，尋找物體運(yùn)動(dòng)位移關(guān)系等帶來極大方便。在平時(shí)的練習(xí)中應(yīng)盡量養(yǎng)成畫運(yùn)動(dòng)示意圖的好習(xí)慣。 [針對(duì)訓(xùn)練] 1．甲、乙兩車在平直公路上比賽，某一時(shí)刻，乙車在甲車前方L1＝11 m處，乙車速度v乙＝60 m/s，甲車速度v甲＝50 m/s，此時(shí)乙車離終點(diǎn)線尚有L2＝600 m，如圖所示。若甲車加速運(yùn)動(dòng)，加速度a＝2 m/s2，乙車速度不變，不計(jì)車長(zhǎng)。求： (1)經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間甲、乙兩車間距離最大，最大距離是多少？ (2)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)甲車能否超過乙車。 解析：(1)當(dāng)甲、乙兩車速度相等時(shí)，兩車間距離最大，即 v甲＋at1＝v乙， 得t1＝＝ s＝5 s； 甲車位移x甲＝v甲t1＋at12＝275 m， 乙車位移x乙＝v乙t1＝605 m＝300 m， 此過程中，甲、乙兩車運(yùn)動(dòng)示意圖如圖所示： 故此時(shí)兩車之間的距離Δx＝x乙＋L1－x甲＝36 m。 (2)乙車勻速運(yùn)動(dòng)到達(dá)終點(diǎn)共需時(shí)間t2＝＝10 s， 此過程中甲車的位移x甲′＝v甲t2＋at22＝600 m， 運(yùn)動(dòng)示意圖如圖所示： 此時(shí)甲、乙兩車之間的距離Δx′＝L1＋L2－x甲′＝11 m， 故乙車到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲車沒有超過乙車。 答案：(1)5 s　36 m　(2)不能 二、運(yùn)動(dòng)圖像 圖像作為表示物理規(guī)律的方法之一，可以直觀地反映某一物理量隨另一物理量變化的函數(shù)關(guān)系，以形象地描述物理規(guī)律。 在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，作為分析物理問題的一種途徑，常用的運(yùn)動(dòng)圖像為v t圖像。v t圖像的物理意義主要通過“點(diǎn)”“線”“面”“斜”“截”五個(gè)方面體現(xiàn)出來，應(yīng)用圖像時(shí)應(yīng)從這五個(gè)方面入手，予以明確后才能準(zhǔn)確表達(dá)物理過程及物理量變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 [例2]　摩托車在平直公路上從靜止開始啟動(dòng)，加速度大小為a1＝1.6 m/s2，稍后做勻速運(yùn)動(dòng)，然后以大小為a2＝6.4 m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)，直到停止，共歷時(shí)130 s，行程1 600 m。試求： (1)摩托車行駛的最大速度vmax； (2)若摩托車從靜止啟動(dòng)，a1、a2不變，直到停止，行程不變，所需最短時(shí)間為多少？ [解析]　(1)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程分三個(gè)階段：勻加速運(yùn)動(dòng)、勻速運(yùn)動(dòng)、勻減速運(yùn)動(dòng)。 可借助vt圖像表示，如圖甲所示。 利用推論公式v2－v02＝2ax 有：＋vmax＋＝1 600 m。 其中a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2。 解得：vmax＝12.8 m/s(另一解舍去)。 (2)首先要分析得出摩托車以什么樣的方式運(yùn)動(dòng)可使得所需時(shí)間最短。借助圖乙所示的v t圖像可知：當(dāng)摩托車先以a1做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)速度達(dá)到vmax′時(shí)，緊接著以a2做勻減速運(yùn)動(dòng)直到停止時(shí)，行程不變，時(shí)間最短，如圖乙對(duì)應(yīng)圖線所示。 設(shè)最短時(shí)間為tmin，則tmin＝＋ ① ＋＝1 600 m ② 其中a1＝1.6 m/s2，a2＝6.4 m/s2。 由②式解得vmax′＝64 m/s，故tmin＝ s＋ s＝50 s。 即最短時(shí)間為50 s。 [答案]　(1)12.8 m/s　(2)50 s [反思領(lǐng)悟] 由以上例題可以看出，將物體復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程畫在vt圖像上，由圖像上各點(diǎn)的斜率表示物體的加速度，某段圖線下的“面積”數(shù)值上與該段位移大小相等，可將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。 [針對(duì)訓(xùn)練] 2．在光滑水平面上有一靜止的物體，現(xiàn)以水平恒力甲推這一物體，作用一段時(shí)間后，換成相反方向的水平恒力乙推這一物體，當(dāng)恒力乙作用時(shí)間與恒力甲作用時(shí)間相同時(shí)，物體恰好回到原處。求： (1)恒力甲作用過程中物體的加速度a1與恒力乙作用過程中物體的加速度a2之比； (2)恒力甲作用過程中物體的末速度v1與恒力乙作用過程中物體的末速度v2之比。 解析：對(duì)應(yīng)題中敘述，設(shè)A→B過程物體做初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，位移為x1，由勻變速運(yùn)動(dòng)位移公式和速度公式可以建立起方程。B→C→A過程，物體先向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，然后向左做勻加速運(yùn)動(dòng)。 下面從兩個(gè)角度求解本題。 法一：利用運(yùn)動(dòng)示意圖求解 A→B過程， x1＝a1t2，v1＝a1t B→C過程，x2＝v1t′－a2t′2， 0＝v1－a2t′ C→A過程，x1＋x2＝a2(t－t′)2，v2＝a2(t－t′) 由以上方程聯(lián)立可解得：＝，＝。 法二：利用v t圖像求解 畫出v t圖像如圖所示，由A→B→C過程的位移與C→B→A過程的位移大小相等。 即圖中S△OB′C′＝S△A′QC′得 (t＋t′)＝(t－t′) B→C與C→A過程加速度相同， 即圖線B′C′與圖線C′A′斜率相同，可得＝ 由以上兩式可解得t′＝t，＝ a1、a2的大小分別對(duì)應(yīng)圖線OB′的斜率與圖線B′C′的斜率，易得：＝＝。 答案：(1)1∶3　(2)1∶2