（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第11講 函數(shù)與方程學(xué)案 理 新人教A版.docx

第11講函數(shù)與方程1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于函數(shù)y=f(x)(xD),把使的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f(x)(xD)的零點(diǎn).(2)等價(jià)關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖像與有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有.(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),即存在c(a,b),使得,這個(gè)也就是方程f(x)=0的根.2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系>0=0<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像與x軸的交點(diǎn)無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)常用結(jié)論1.在區(qū)間D上單調(diào)的函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).2.周期函數(shù)如果存在零點(diǎn),則必有無窮個(gè)零點(diǎn).題組一常識題1.教材改編 函數(shù)f(x)=ln x+2x-6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.2.教材改編 如果函數(shù)f(x)=ex-1+4x-4的零點(diǎn)在區(qū)間(n,n+1)(n為整數(shù))內(nèi),則n=.3.教材改編 函數(shù)f(x)=x3-2x2+x的零點(diǎn)是.4.教材改編 若函數(shù)f(x)=x2-4x+a存在兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.題組二常錯(cuò)題索引:錯(cuò)用零點(diǎn)存在性定理;誤解函數(shù)零點(diǎn)的定義;忽略限制條件;二次函數(shù)在R上無零點(diǎn)的充要條件(判別式小于零).5.函數(shù)f(x)=x+1x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.6.函數(shù)f(x)=x2-3x的零點(diǎn)是.7.若二次函數(shù)f(x)=x2-2x+m在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.8.若二次函數(shù)f(x)=x2+kx+k在R上無零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷例1 (1)函數(shù)f(x)=ex-x-2在下列哪個(gè)區(qū)間上必有零點(diǎn)()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3) (2)已知函數(shù)f(x)=lg x+54x-5在區(qū)間(n,n+1)(nZ)上存在零點(diǎn),則n=.總結(jié)反思 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法:(1)解方程法,當(dāng)對應(yīng)方程易解時(shí),可直接解方程;(2)零點(diǎn)存在性定理;(3)數(shù)形結(jié)合法,畫出相應(yīng)函數(shù)圖像,觀察與x軸交點(diǎn)來判斷,或轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像在所給區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷.變式題 2018南昌模擬 函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)探究點(diǎn)二函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論例2 (1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-32+x=f32+x,當(dāng)x0,32時(shí),f(x)=ln(x2-x+1),則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.3B.5C.7D.9(2)2018河南中原名校模擬 函數(shù)f(x)=sin2x+2-log3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.總結(jié)反思 函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論,基本解法有:(1)直接法,令f(x)=0,有多少個(gè)解則有多少個(gè)零點(diǎn);(2)定理法,利用定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等;(3)圖像法,一般是把函數(shù)分拆為兩個(gè)簡單函數(shù),依據(jù)兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式題 (1)2018重慶巴蜀中學(xué)月考 函數(shù)f(x)=3x-2e-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3(2)已知函數(shù)f(x)=lnx,x>0,ex,x0,則函數(shù)g(x)=f(x)2-3f(x)+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.探究點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用例3 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=g(b)=0,則()A.f(b)<0<g(a)B.g(a)<0<f(b)C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0(2)2019安徽肥東高級中學(xué)調(diào)研 已知函數(shù)f(x)=x+1x-1,x>1,2-ex,x1,若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是() A.(-2,0)B.(-1,0)C.(-2,0)(0,+)D.(-1,0)(0,+)總結(jié)反思 函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在三類問題中:一是函數(shù)中不含參數(shù),零點(diǎn)又不易直接求出,考查各零點(diǎn)的和或范圍問題;二是函數(shù)中含有參數(shù),根據(jù)零點(diǎn)情況求函數(shù)中參數(shù)的范圍;三是函數(shù)中有參數(shù),但不求參數(shù),仍是考查零點(diǎn)的范圍問題.這三類問題一般是通過數(shù)形結(jié)合或分離參數(shù)求解.變式題 (1)2018山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)二模 若函數(shù)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x0,2恰有兩個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍為()A.(0,1B.1C.0(1,3D.0,3(2)若x1,x2分別是函數(shù)f(x)=x-2-x,g(x)=xlog2x-1的零點(diǎn),則下列結(jié)論成立的是()A.x1=x2B.x1>x2C.x1+x2=1D.x1x2=1第11講函數(shù)與方程考試說明 結(jié)合二次函數(shù)的圖像,了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系,判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).【課前雙基鞏固】知識聚焦1.(1)f(x)=0(2)x軸零點(diǎn)(3)f(a)f(b)<0(a,b)f(c)=0c2.(x1,0),(x2,0)(x1,0)210對點(diǎn)演練1.1解析 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(2)<0,f(3)>0,故存在唯一零點(diǎn).2.0解析 函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,且f(0)<0,f(1)>0,故其零點(diǎn)在區(qū)間(0,1)內(nèi),則n=0.3.0,1解析 由f(x)=x3-2x2+x=0,解得x1=0,x2=1,所以函數(shù)的零點(diǎn)是0,1.4.(-,4)解析 =16-4a>0,解得a<4.5.0解析 函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0,當(dāng)x<0時(shí),f(x)<0,所以函數(shù)沒有零點(diǎn).6.0,3解析 由f(x)=x2-3x=0,得x=0或x=3.7.(-8,1解析 二次函數(shù)f(x)圖像的對稱軸方程為x=1.若在區(qū)間(0,4)上存在零點(diǎn),只需f(1)0且f(4)>0即可,即-1+m0且8+m>0,解得-8<m1.8.(0,4)解析 =k2-4k<0,解得0<k<4.【課堂考點(diǎn)探究】例1思路點(diǎn)撥 (1)利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可求出n.(1)C(2)3解析 (1)f(-1)=1e-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,故選C.(2)f(x)=lg x+54x-5是定義在(0,+)上的增函數(shù),根據(jù)零點(diǎn)存在性定理,可得f(n)<0,f(n+1)>0.因?yàn)閒(1)=54-5<0,f(2)=lg 2+52-5<0,f(3)=lg 3+154-5<0,f(4)=lg 4+5-5=lg 4>0,所以函數(shù)f(x)在(3,4)上存在零點(diǎn),故n=3.變式題B解析 f(x)=ln(x+1)-2x2在(0,+)上單調(diào)遞增,且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-12>0,則f(1)f(2)<0,所以函數(shù)f(x)=ln(x+1)-2x2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2). 例2思路點(diǎn)撥 (1)由已知可得函數(shù)是奇函數(shù),周期為3,且f-32=f(-1)=f(0)=f(1)=f32=0,即可得函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點(diǎn)個(gè)數(shù);(2)函數(shù)f(x)=sin2x+2-log3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=log3x與y=cos 2x(x>0)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù),利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.(1)D(2)6解析 (1)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f-32+x=f32+x,f-32+x+32=f32+x+32,可得f(x+3)=f(x),則函數(shù)f(x)的周期為3.當(dāng)x0,32時(shí),f(x)=ln(x2-x+1),令f(x)=0,則x2-x+1=1,解得x=0(舍去)或1,又函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),在區(qū)間-32,32上,有f(-1)=-f(1)=0,f(0)=0.由f-32+x=f32+x,取x=0,得f-32=f32,又f32=-f-32,f32=f-32=0,f-32=f(-1)=f(0)=f(1)=f32=0.又函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù),函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點(diǎn)有0,1,32,2,3,4,92,5,6,共9個(gè).(2)函數(shù)f(x)=sin2x+2-log3x=cos 2x-log3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y=log3x與y=cos 2x(x>0)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log3x與y=cos 2x(x>0)的圖像,如圖,由圖可知,y=log3x與y=cos 2x(x>0)的圖像有6個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)f(x)=sin2x+2-log3x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.變式題(1)B(2)3解析 (1)y=3x單調(diào)遞增,y=-2e-x單調(diào)遞增,f(x)=3x-2e-x單調(diào)遞增.f(0)=-2<0,f(8)=2-2e8>0,由零點(diǎn)存在性定理可得,f(x)=3x-2e-x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1,故選B.(2)函數(shù)g(x)=f(x)2-3f(x)+2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程f(x)2-3f(x)+2=0的解的個(gè)數(shù),解方程得f(x)=1或f(x)=2.由f(x)=1得ln x=1(x>0)或ex=1(x0),解得x=e或x=0;同理,由f(x)=2得ln x=2(x>0)或ex=2(x0),解得x=e2.所以函數(shù)g(x)共有3個(gè)零點(diǎn).例3思路點(diǎn)撥 (1)首先確定函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性,然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可;(2)先轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),數(shù)形結(jié)合即可得答案.(1)B(2)D解析 (1)易知f(x)是增函數(shù),g(x)在(0,+)上也是增函數(shù).由于f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,所以0<a<1.又g(1)=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,所以1<b<2,所以f(b)>f(1)>0,g(a)<g(1)<0,據(jù)此可知g(a)<0<f(b).(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-m(x-1)有兩個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=f(x)的圖像與y=m(x-1)的圖像,如圖所示.由圖像可得,當(dāng)m>0時(shí),滿足條件;當(dāng)m=-1時(shí),直線y=m(x-1)與y=2-ex(x1)的圖像相切,可得當(dāng)-1<m<0時(shí),滿足條件.故m(-1,0)(0,+).變式題(1)C(2)D解析 (1)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x0,2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是y=cos x+2|cos x|=3cosx,x0,232,2,-cosx,x2,32的圖像與y=m的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出y=cos x+2|cos x|,x0,2的圖像,如圖,由圖像可知,當(dāng)m=0或1<m3時(shí),函數(shù)y=cos x+2|cos x|,x0,2的圖像與y=m的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)=cos x+2|cos x|-m,x0,2恰有兩個(gè)零點(diǎn),故m的取值范圍為0(1,3,故選C.(2)因?yàn)閒(0)0,所以x10.當(dāng)x0時(shí),由x-2-x=0,得2x=1x,則x1就是曲線y=1x與曲線y=2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由xlog2x-1=0,得log2x=1x,則x2就是曲線y=1x(x>0)與曲線y=log2x交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 因?yàn)榍€y=1x關(guān)于直線y=x對稱,且曲線y=2x與曲線y=log2x關(guān)于直線y=x對稱,所以點(diǎn)x1,1x1與點(diǎn)x2,1x2關(guān)于直線y=x對稱,所以1x2-1x1x2-x1=-1,可得x1x2=1,故選D.【備選理由】 例1考查將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題,通過分析交點(diǎn)橫坐標(biāo)得零點(diǎn)所在區(qū)間;例2結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性,考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),需要數(shù)形結(jié)合處理,綜合性強(qiáng);例3為有關(guān)方程的解的問題,考查換元法、數(shù)形結(jié)合思想等.例1配合例1使用 2018運(yùn)城二模 已知x0是函數(shù)f(x)=2sin x-ln x(x(0,)的零點(diǎn),則()A.x0(0,1)B.x0(1,e)C.x0(e,3)D.x0(e,)解析 B設(shè)h(x)=2sin x(x(0,),g(x)=ln x(x(0,),則g(1)=0,g(e)=>2,作出函數(shù)h(x)與g(x)的圖像(圖略)可知,交點(diǎn)在區(qū)間(1,e)內(nèi),即x0(1,e).例2配合例2使用 2018茂名模擬 已知定義在R上的函數(shù)y=f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱,且函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù).若當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=sin2x,則函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間-2018,2018上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2017B.2018C.4034D.4036解析 D函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間-2018,2018上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),就是y=f(x)的圖像與y=e-|x|的圖像在區(qū)間-2018,2018上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).函數(shù)y=f(x+2)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱,函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸為直線x=0,故y=f(x)是偶函數(shù),即f(-x)=f(x).又函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù),f(x+1)=f(-x+1),故f(x+2)=f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)是周期為2的偶函數(shù).又當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=sin2x,畫出y=f(x)與y=1e|x|的部分圖像如圖所示,由圖像可知,在每個(gè)周期內(nèi)兩函數(shù)的圖像有2個(gè)交點(diǎn),函數(shù)g(x)=f(x)-e-|x|在區(qū)間-2018,2018上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為20182=4036.故選D.例3配合例3使用 函數(shù)y=g(x)(xR)的圖像如圖所示,若關(guān)于x的方程g(x)2+mg(x)+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍是.答案 -32,-43解析 設(shè)g(x)=t, 關(guān)于x的方程g(x)2+mg(x)+2m+3=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,關(guān)于t的方程t2+mt+2m+3=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且一個(gè)在(0,1)上,一個(gè)在1,+)上.設(shè)h(t)=t2+mt+2m+3,當(dāng)有一個(gè)根為1時(shí),h(1)=1+m+2m+3=0,解得m=-43,此時(shí)另一個(gè)根為13,符合題意;當(dāng)沒有根為1時(shí),則h(0)=2m+3>0,h(1)=1+m+2m+3<0,解得-32<m<-43.綜上可得,m的取值范圍是-32,-43.