江蘇省2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 應(yīng)用題 第2講 解三角形、幾何中的應(yīng)用題學(xué)案.doc
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第2講 解三角形、幾何中的應(yīng)用題 [考情考向分析] 和三角形有關(guān)的應(yīng)用題,可以利用正弦定理、余弦定理解三角形,進(jìn)而解決實際問題;和幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用題,可以利用平面幾何知識或者建立平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成解析幾何問題,利用直線或者曲線方程解決. 熱點(diǎn)一 和解三角形有關(guān)的應(yīng)用題 例1 如圖所示,在某東西公交路線的南側(cè)有一個臨時??空九_,為了方便乘客,打算在站臺的一面東西方向的長方形墻體ABHG上用AB=5 m,BC=1 m的矩形角鋼焊接成一個簡易的遮陽棚(將AB放在墻上).當(dāng)太陽光線與水平線的夾角θ分別滿足下列情況時,要使此時遮陽棚的遮陰面積最大,應(yīng)將遮陽棚ABCD所在的平面與矩形HEFG所在的路面所成的α設(shè)置為多大角度? (1)θ=90; (2)θ=80. 解 (1)如圖1,當(dāng)θ=90時,太陽光線垂直于地面, 遮陽棚只有與地面平行時,遮陰面積最大, 故遮陽棚ABCD所在的平面與水平面所成角α=0. (2)如圖2,在平面CBHE內(nèi),過點(diǎn)C作直線IJ,與直線HE交于I,與直線HB的延長線交于J,并使得∠CIH=80, 由題意可知,∠CBH=α+90. 在Rt△IHJ中,tan 80==,即HI=, 欲使得HI取到最大值,只需HB+BJ取到最大值, 而站臺高HB為定長,故只需BJ取到最大值即可. 在△BCJ中,∠BJC=10,∠BCJ=α+80,由正弦定理得, ==, 即BJ=, 故當(dāng)α=10時,BJ取到最大值,此時HI也取到最大值, 又S陰=GHHI=5HI,所以此時遮陽棚的遮陰面積最大. 思維升華 用正、余弦定理去解決具體設(shè)計問題時,應(yīng)關(guān)注圖形的特點(diǎn),找出已知量及所求的量,轉(zhuǎn)化為三角形的邊角,再利用正弦、余弦定理構(gòu)造方程或三角函數(shù)式求解. 跟蹤演練1 如圖,某公園有三條觀光大道AB,BC,AC圍成直角三角形,其中直角邊BC=200 m,斜邊AB=400 m.現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在AB,BC,AC大道上嬉戲,所在位置分別記為點(diǎn)D,E,F(xiàn). (1)若甲、乙都以每分鐘100 m的速度從點(diǎn)B出發(fā)在各自的大道上奔走,到大道的另一端時即停,乙比甲晚2分鐘出發(fā),當(dāng)乙出發(fā)1分鐘后,求此時甲、乙兩人之間的距離; (2)設(shè)∠CEF=θ,乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍,且∠DEF=,請將甲、乙之間的距離y表示為θ的函數(shù),并求甲、乙之間的最小距離. 解 (1)依題意得BD=300 m,BE=100 m, 在△ABC中,cos B==,∴B=, 在△BDE中,由余弦定理,得 DE2=BD2+BE2-2BDBEcos B =3002+1002-2300100=70 000, ∴DE=100 m, 答 甲、乙兩人之間的距離為100 m. (2)由題意得EF=2DE=2y,∠BDE=∠CEF=θ, 在Rt△CEF中,CE=EFcos∠CEF=2ycos θ, 在△BDE中,由正弦定理得=, 即=, ∴y==,0<θ<, ∴當(dāng)θ=時,y有最小值50. 答 甲、乙之間的最小距離為50 m. 熱點(diǎn)二 和立體幾何有關(guān)的應(yīng)用題 例2 (2018淮安四市模擬)某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計,可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形ABC繞底邊BC上的高所在直線AO旋轉(zhuǎn)180而成,如圖2.已知圓O的半徑為10 cm,設(shè)∠BAO=θ,0<θ<,圓錐的側(cè)面積為S cm2. (1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式; (2)為了達(dá)到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時腰AB的長度. 解 (1)設(shè)AO的延長線交BC于點(diǎn)D,過O作OE⊥AB,垂足為E, 在△AOE中,AE=10cos θ, AB=2AE=20cos θ, 在△ABD中, BD=ABsin θ=20cos θsin θ, 所以S=400πsin θcos2θ,0<θ<. (2)要使側(cè)面積最大,由(1)得 S=400πsin θcos2θ=400π(sin θ-sin3θ) 令x=sin θ,所以得f(x)=x-x3, 由f′(x)=1-3x2=0得x=, 當(dāng)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈時,f′(x)<0, 所以f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減, 所以f(x)在x=時取得極大值,也是最大值; 所以當(dāng)sin θ=時,側(cè)面積S取得最大值, 此時等腰三角形的腰長 AB=20cos θ=20=20=. 答 側(cè)面積S取得最大值時,等腰三角形的腰AB的長度為 cm. 思維升華 和立體幾何有關(guān)的應(yīng)用題,主要通過研究空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征和面積、體積的計算解決實際問題,解題的關(guān)鍵是抓住物體的幾何特征,將實際中的物體抽象成立體幾何中的柱、錐、臺、球等規(guī)則幾何體. 跟蹤演練2 (2018南通等六市模擬)將一鐵塊高溫融化后制成一張厚度忽略不計、面積為100 dm2的矩形薄鐵皮(如圖),并沿虛線l1,l2裁剪成A,B,C三個矩形(B,C全等),用來制成一個柱體.現(xiàn)有兩種方案: 方案①:以l1為母線,將A作為圓柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個圓形作為圓柱的兩個底面; 方案②:以l1為側(cè)棱,將A作為正四棱柱的側(cè)面展開圖,并從B,C中各裁剪出一個正方形(各邊分別與l1或l2垂直)作為正四棱柱的兩個底面. (1)設(shè)B,C都是正方形,且其內(nèi)切圓恰為按方案①制成的圓柱的底面,求底面半徑; (2)設(shè)l1的長為x dm,則當(dāng)x為多少時,能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大? 解 (1)設(shè)所得圓柱的半徑為r dm,則 4r=100, 解得r=. (2)設(shè)所得正四棱柱的底面邊長為a dm,則 即 所得正四棱柱的體積V=a2x≤ 記函數(shù)p= 則p在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. ∴當(dāng)x=2時, pmax=20. ∴當(dāng)x=2, a=時, Vmax= 20 dm3. 又2a≤x≤,從而a≤. 所得正四棱柱的體積V=a2x≤a2=20a≤20. ∴當(dāng)a=, x=2時, Vmax= 20dm3. 答 (1)圓柱的底面半徑為 dm; (2)當(dāng)x為2時,能使按方案②制成的正四棱柱的體積最大. 熱點(diǎn)三 和解析幾何有關(guān)的應(yīng)用題 例3 如圖所示,某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心,其中AE=30米.活動中心東西走向,與居民樓平行.從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD,上部分是以DC為直徑的半圓.為了保證居民樓住戶的采光要求,活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米,其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足tan θ=. (1)若設(shè)計AB=18米,AD=6米,問能否保證上述采光要求? (2)在保證上述采光要求的前提下,如何設(shè)計AB與AD的長度,可使得活動中心的截面面積最大? (注:計算中π取3) 解 如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系. (1)因為AB=18米, AD=6米, 所以半圓的圓心為H(9,6),半徑r=9. 設(shè)太陽光線所在直線方程為y=-x+b, 即3x+4y-4b=0,則由=9, 解得b=24或b=(舍). 故太陽光線所在直線方程為y=-x+24, 令x=30,得EG=1.5<2.5. 所以此時能保證上述采光要求. (2)設(shè)AD=h米,AB=2r米, 則半圓的圓心為H(r,h),半徑為r. 方法一 設(shè)太陽光線所在直線方程為y=-x+b, 即3x+4y-4b=0, 由=r,解得b=h+2r或b=h-(舍). 故太陽光線所在直線方程為y=-x+h+2r, 令x=30,得EG=2r+h-, 由EG≤,得h≤25-2r. 所以S=2rh+πr2=2rh+r2≤2r(25-2r)+r2 =-r2+50r=-(r-10)2+250≤250. 當(dāng)且僅當(dāng)r=10時取等號. 所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時, 可使得活動中心的截面面積最大. 方法二 欲使活動中心內(nèi)部空間盡可能大, 則影長EG恰為2.5米,則此時點(diǎn)G為(30,2.5), 設(shè)過點(diǎn)G的上述太陽光線為l1, 則l1所在直線方程為y-=-(x-30), 即3x+4y-100=0. 由直線l1與半圓H相切,得r=. 而點(diǎn)H(r,h)在直線l1的下方,則3r+4h-100<0, 即r=-,從而h=25-2r. 又S=2rh+πr2=2r(25-2r)+r2=-r2+50r=-(r-10)2+250≤250.當(dāng)且僅當(dāng)r=10時取等號. 所以當(dāng)AB=20米且AD=5米時, 可使得活動中心的截面面積最大. 思維升華 以解析幾何為背景的應(yīng)用題,一般要建立坐標(biāo)系,然后轉(zhuǎn)化為三角知識或二次函數(shù)或用基本不等式來求解.解析幾何型應(yīng)用題是高考的冷點(diǎn),但在復(fù)習(xí)時要引起重視. 跟蹤演練3 如圖是一塊地皮OAB,其中OA,AB是直線段,曲線段OB是拋物線的一部分,且點(diǎn)O是該拋物線的頂點(diǎn),OA所在的直線是該拋物線的對稱軸.經(jīng)測量,OA=2 km,AB= km,∠OAB=.現(xiàn)要從這塊地皮中劃一個矩形CDEF來建造草坪,其中點(diǎn)C在曲線段OB上,點(diǎn)D,E在直線段OA上,點(diǎn)F在直線段AB上,設(shè)CD=a km,矩形草坪CDEF的面積為f(a) km2. (1)求f(a),并寫出定義域; (2)當(dāng)a為多少時,矩形草坪CDEF的面積最大? 解 (1)以O(shè)為原點(diǎn),OA邊所在的直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,過點(diǎn)B作BG⊥OA于點(diǎn)G, 在Rt△ABG中,AB=,∠OAB=, 所以AG=BG=1,又因為OA=2, 所以O(shè)G=1,則B(1,1), 設(shè)拋物線OCB的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0), 代入點(diǎn)B的坐標(biāo),得p=, 所以拋物線的方程為y2=x. 因為CD=a,所以AE=EF=a,則DE=2-a-a2, 所以f(a)=a(2-a-a2)=-a3-a2+2a, 定義域為(0,1). (2)由(1)可知,f(a)=-a3-a2+2a, 則f′(a)=-3a2-2a+2,令f′(a)=0,得a=. 當(dāng)0<a<時, f′(a)>0,f(a)在上單調(diào)遞增; 當(dāng)<a<1時, f′(a)<0,f(a)在上單調(diào)遞減. 所以當(dāng)a=時,f(a)取得極大值,也是最大值 答 當(dāng)a=時,矩形草坪CDEF的面積最大. 1.(2016江蘇)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫,它由上下兩部分組成,上部分的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1,下部分的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示),并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO1的4倍. (1)若AB=6 m,PO1=2 m,則倉庫的容積是多少? (2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m,則當(dāng)PO1為多少時,倉庫的容積最大? 解 (1)V=622+6224=312(m3). (2)設(shè)PO1=x, 則O1B1=(0- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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