（天津?qū)０妫?018年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題16 應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形 文.doc

母題十五 應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形【母題原題1】【2018天津，文16】在中，內(nèi)角所對的邊分別為已知（I）求角的大小；（II）設(shè)，求和的值【考點分析】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力滿分13分【答案】（I）；（II）由，可得，故因此， 【名師點睛】在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用解決三角形問題時，注意角的限制范圍【母題原題2】【2017天津，文15】在中，內(nèi)角所對的邊分別為已知，（I）求的值；（II）求的值【答案】（I） ；（II）試題解析：（）由及得，由及余弦定理得【考點】1正余弦定理；2三角恒等變換【名師點睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理實現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式【母題原題3】【2016天津，文15】在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別為，已知（I）求B；（II）若，求sinC的值【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）利用正弦定理，將邊化為角：，再根據(jù)三角形內(nèi)角范圍化簡得，；（）問題為“已知兩角，求第三角”，先利用三角形內(nèi)角和為，將考點：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦公式、兩角和的正弦公式以及正弦定理【名師點睛】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換角的變換涉及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當(dāng)?shù)墓?，是解決三角問題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負(fù)取舍是解題正確的保證【母題原題4】【2015天津，文16】ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為， （I）求a和sinC的值；（II）求 的值【答案】（I）a=8，；（II）（II），【考點定位】本題主要考查三角變換及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查基本運算求解能力【名師點睛】解三角形問題實質(zhì)是附加條件的三角變換，因此在解三角形問題的處理中，正弦定理、余弦定理就起到了適時、適度轉(zhuǎn)化邊角的作用，分析近幾年的高考試卷，有關(guān)的三角題，大部分以三角形為載體考查三角變換【命題意圖】考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，考查三角函數(shù)中同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式在恒等變形中的應(yīng)用，考查化簡變形能力、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)換思想【命題規(guī)律】解三角形是高考的必考內(nèi)容，重點是正弦定理、余弦定理和三角形面積公式，考題靈活多樣，選擇題、填空題和解答題都有考到，難度中低中檔題均有以求邊長、求角（三角函數(shù)值）或研究三角形的面積為目標(biāo)，往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面積公式進行有效的邊角轉(zhuǎn)換，利用和差倍半的三角函數(shù)公式，對等式進行恒等變形，有時會結(jié)合角的范圍，研究三角函數(shù)式的取值范圍等 【答題模板】(1)通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；（II）通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(4)通過三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進行討論；(5)若涉及兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)求解【方法總結(jié)】1三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法：(1)通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；（II）通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(4)通過三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進行討論；(5)若涉及兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)求解2三角形的有關(guān)性質(zhì)在解三角形問題中起著重要的作用，如利用“三角形的內(nèi)角和等于”和誘導(dǎo)公式可得到sin(AB)sin C，sincos 等，利用“大邊對大角”可以解決解三角形中的增解問題，如：在斜三角形中，用正弦定理求角時，若已知小角求大角，則有兩解；若已知大角求小角，則只有一解，注意確定解的個數(shù)3 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到已知兩角和一邊或兩邊及夾角，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性4 在解決三角形的問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來1【2018天津部分區(qū)二?！恳阎膬?nèi)角所對的邊分別為，且（I）求和的值；（II）求的值【答案】（I）， （II） 【解析】分析：（I）根據(jù)題意，利用余弦定理和正弦定理，即可求得c和sinA的值；（II）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系和三角恒等變換，計算即可詳解：（I）由余弦定理，得，又，所以，解得【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化第三步：求結(jié)果2【2018天津河?xùn)|區(qū)二?！吭谥校茿、B、C所對的邊分別為，已知， ，角A為銳角（I）求與的值；（II）求的值及三角形面積【答案】（I） ；（II） 【解析】 分析：第一問首先利用題中的條件，利用倍角公式，結(jié)合A為銳角的條件，求得的值，之后可以借助于同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，在求邊長的時候，就利用正弦定理可以求得結(jié)果；第二問結(jié)合題中所給的條件，利用余弦定理建立邊所滿足的等量關(guān)系式，求得結(jié)果，之后應(yīng)用面積公式求得三角形的面積詳解：（I）由正弦定理，代入，解得，角A為銳角，（II），代入為 ，解為，【名師點睛】該題考查的是有關(guān)解三角形的問題，在解題的過程中，需要把握正弦定理、余弦定理、倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角形的面積公式，在做題的過程中，在求的時候，也可以應(yīng)用倍角公式求解3【2018天津河北區(qū)二?！吭贏BC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若B=2C，2b=3c（I）求cosC的值；（II）求sin(2C+)的值【答案】（）（）（）由（）得， ， 【名師點睛】解三角形的問題和三角變換常常綜合在一起考查，解題時要根據(jù)所給出的條件利用正弦定理、余弦定理將邊角之間進行合理的轉(zhuǎn)化，然后再根據(jù)題意進行求解，進行變換時要注意對所用公式的選擇4【2018天津市十二校二?！吭阡J角中，角，的對邊分別為，且（）求角的大?。唬ǎ┮阎?，的面積為，求邊長的值【答案】（I）；（II）【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，結(jié)合兩角和的正弦公式以及誘導(dǎo)公式可得，進而可得結(jié)果；（）利用（I），由已知及正弦定理可得 ，結(jié)合的面積為，可得 ，由余弦定理可得結(jié)果由余弦定理 ，得 【名師點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題 正弦定理是解三角形的有力工具，其常見用法有以下三種：（1）知道兩邊和一邊的對角，求另一邊的對角（一定要注意討論鈍角與銳角）；（2）知道兩角與一個角的對邊，求另一個角的對邊；（3）證明化簡過程中邊角互化；（4）求三角形外接圓半徑5【2018四川南充三?！吭谥校瑑?nèi)角的對邊分別為，已知（）若，求邊；（）若，求角【答案】（）（）【解析】分析：（）利用正弦定理和余弦定理代入可得邊；（）由正弦定理得，將代入，結(jié)合可得的方程，解方程即可得解因為，所以【名師點睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實施邊角之間的互化第三步：求結(jié)果6【2018天津濱海新區(qū)七校模擬】銳角中， 分別為角的對邊， ，（I）若求的面積；（II）求的值 【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由正弦定理化角，可得，再由角A的余弦定理，可求得，進一步求得三角形面積；（II）由正弦和角公式和倍角公式可求值試題解析：（I） ， ， ， 是銳角， 【名師點睛】（1）一般是根據(jù)正弦定理求邊或列等式余弦定理揭示的是三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系，若題目中給出的關(guān)系式是“平方”關(guān)系，此時一般考慮利用余弦定理進行轉(zhuǎn)化（2）在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到（3）在解三角形的問題中，三角形內(nèi)角和定理起著重要作用，在解題中要注意根據(jù)這個定理確定角的范圍及三角函數(shù)值的符號，防止出現(xiàn)增解或漏解7【2018天津十二校重點模擬一】已知函數(shù)（I）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（II）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，若 ，求的面積【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可確定的單調(diào)遞增區(qū)間；（II）根據(jù)，求出，利用正弦定理及余弦定理，結(jié)合題設(shè)條件即可求出， ，從而可求出的面積試題解析：（I） 由，得由解得，8【2018天津十二校重點模擬二】在中，角的對邊分別為，的面積為（I）求及的值； （II）求的值【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由，的面積為可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（II）利用（I）的結(jié)論，由同角三角函數(shù)之間的關(guān)系可求得，再利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角差的正弦公式可得的值試題解析：（I）由已知，且 ， ， 在中， （II），又， 9【2018天津上學(xué)期期末考】在中，角的對邊分別為，且滿足（I）求；（II）若，求的值【答案】（I）；（II）整理得，由余弦定理得，又，所以（II）由知為銳角，又，所以 ，故 ， ，所以10【2018天津紅橋區(qū)學(xué)期期末考】在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知， ， （I）求的值；（II）求的值【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由正弦定理可得a=3c，再由余弦定理可得b；（II）由已知得cosB和sinB，利用二倍角公式求得， ，將展開代入求解即可11【2018天津靜海一中模擬】已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足（I）若，求的值；（II）若的面積為3，求證為等腰三角形【答案】（I）；（II）見解析那么，由此得，所以為等腰三角形【名師點睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，判斷三角形形狀問題，屬于中檔題判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷；（II）利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進而知其為鈍角三角形12【2018天津河西模擬】在中， ， ， 分別是角， ， 的對邊，若， （I）求的值（II）若，求的面積【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由正弦定理求得，進而得，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式可求得；（II）由已知計算出，再由（I）計算出，最后由三角形面積公式可得面積試題解析：（I），（II）， ， ，13【2018天津一中月考五】的內(nèi)角、的對邊分別為、，已知（I）求；（II）如圖，為外一點，若在平面四邊形中，且，求的長【答案】(1)；（II）【解析】分析：（I）直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦定理求出cosB的值（II）利用（I）的結(jié)論，進一步利用余弦定理求出結(jié)果（II），又在中，由余弦定理可得 ，在中，由余弦定理可得，即，化簡得，解得故的長為【名師點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用對公式靈活運用與結(jié)合是解題關(guān)鍵14【2018天津耀華中學(xué)模擬】設(shè)函數(shù)，其中向量，（I）求的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；（II）若，求函數(shù)的值域；（III）在中，求與的值【答案】（I），；（II），【解析】試題分析：（I），令即所以單調(diào)減區(qū)間為：（II）當(dāng)時由（I）易知在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，則在上值域為（III）又，則，由余弦定理，得即，得或（舍），