（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)分層作業(yè) 三十八 6.5 直接證明與間接證明 文.doc

課時(shí)分層作業(yè) 三十八直接證明與間接證明一、選擇題(每小題5分,共25分)1.要證明+<2,可選擇的方法有以下幾種,其中最合理的是 ()A.綜合法B.分析法C.反證法D.歸納法【解析】選B.從要證明的結(jié)論比較兩個(gè)無理數(shù)大小出發(fā),證明此類問題通常轉(zhuǎn)化為比較有理數(shù)的大小,這正是分析法的證明方法.2.(2018廣州模擬)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是()A.方程x2+ax+b=0沒有實(shí)根B.方程x2+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x2+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根【解析】選A. 因?yàn)椤胺匠蘹2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x2+ax+b=0有一個(gè)實(shí)根或兩個(gè)實(shí)根”,所以該命題的否定是“方程x2+ax+b=0沒有實(shí)根”.3.要證:a2+b2-1-a2b20,只要證明()A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0【解析】選D.因?yàn)橐Ca2+b2-1-a2b20,只需要證(a2-1)(b2-1)0.4.命題“如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n2-3n,那么數(shù)列an一定是等差數(shù)列”是否成立()A.不成立B.成立C.不能斷定D.能斷定【解析】選B. 因?yàn)镾n=2n2-3n,所以Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n2),所以an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1時(shí),a1=S1=-1符合上式).又因?yàn)閍n+1-an=4(n1),所以an是等差數(shù)列.【變式備選】(2018西安模擬) 不相等的三個(gè)正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,并且x是a,b的等比中項(xiàng),y是b,c的等比中項(xiàng),則x2,b2,y2三數(shù)()A.成等比數(shù)列而非等差數(shù)列B.成等差數(shù)列而非等比數(shù)列C.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D.既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列【解析】選B. 由已知條件,可得由得代入,得+=2b,即x2+y2=2b2.故x2,b2,y2成等差數(shù)列.5.設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),給出下列條件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一個(gè)大于1”的條件是 ()A.B.C.D.【解析】選C.若a=,b=,則a+b>1,但a<1,b<1,故推不出;若a=b=1,則a+b=2,故推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故推不出;對于,即a+b>2,則a,b中至少有一個(gè)大于1,反證法:假設(shè)a1且b1,則a+b2與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,則a,b中至少有一個(gè)大于1.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設(shè)a>b>0,m=-,n=,則m,n的大小關(guān)系是_.【解析】(分析法)-<+>a<b+2+a-b2>0,顯然成立.答案:m<n【巧思妙解】(取特殊值法)取a=2,b=1,得m<n.答案:m<n7.已知a,b,(0,+)且+=1,則使得a+b恒成立的的取值范圍是_.【解析】因?yàn)閍,b(0,+)且+=1,所以a+b=(a+b)=10+10+2=16,所以a+b的最小值為16.所以要使a+b恒成立,需16,所以0<16.答案:(0,168.(2018商丘模擬)若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在區(qū)間-1,1內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_.【解析】 (補(bǔ)集法)令解得p-3或p,故滿足條件的p的范圍為.答案:【一題多解】(直接法)依題意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得-<p<1或-3<p<.故滿足條件的p的取值范圍是.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知ab>0,求證:2a3-b32ab2-a2b.【證明】 要證明2a3-b32ab2-a2b成立,只需證:2a3-b3-2ab2+a2b0,即2a(a2-b2)+b(a2-b2)0,即(a+b)(a-b)(2a+b)0.因?yàn)閍b>0,所以a-b0,a+b>0,2a+b>0,從而(a+b)(a-b)(2a+b)0成立,所以2a3-b32ab2-a2b.10.已知四棱錐S-ABCD中,底面是邊長為1的正方形,又SB=SD=,SA=1. (1)求證:SA平面ABCD.(2)在棱SC上是否存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF平面SAD?若存在,確定F點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由.【解析】 (1)由已知得SA2+AD2=SD2,所以SAAD.同理SAAB.又ABAD=A,所以SA平面ABCD.(2)假設(shè)在棱SC上存在異于S,C的點(diǎn)F,使得BF平面SAD.因?yàn)锽CAD,BC平面SAD.所以BC平面SAD.而BCBF=B,所以平面FBC平面SAD.這與平面SBC和平面SAD有公共點(diǎn)S矛盾,所以假設(shè)不成立.所以不存在這樣的點(diǎn)F,使得BF平面SAD.1.(5分)設(shè)a,b,c均為正實(shí)數(shù),則三個(gè)數(shù)a+,b+,c+()A.都大于2B.都小于2C.至少有一個(gè)不大于2D.至少有一個(gè)不小于2【解析】選D.因?yàn)閍>0,b>0,c>0,所以+=+6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號成立,故三者不能都小于2,即至少有一個(gè)不小于2.2.(5分)(2018洛陽模擬) 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,若x1+x2>0,則f(x1)+f(x2)的值()A.恒為負(fù)值B.恒等于零C.恒為正值D.無法確定正負(fù)【解析】選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù),由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),則f(x1)+f(x2)<0.【變式備選】設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),對任意xR都有f (x)>f(x)成立,則()A.3f(ln 2)>2f(ln 3)B.3f(ln 2)<2f(ln 3)C.3f(ln 2)=2f(ln 3)D.3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定【解析】選B.令F(x)=(x>0),則F(x)=,因?yàn)閤>0,所以ln xR,因?yàn)閷θ我鈞R都有f (x)>f(x),所以f(ln x)>f(ln x),所以F(x)>0,所以F(x)為增函數(shù),因?yàn)?>2>0,所以F(3)>f(2),即>,所以3f(ln 2)<2f(ln 3).3.(5分)(2018合肥模擬)某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問題:函數(shù)f(x)在0,1上有意義,且f(0)=f(1),如果對于不同的x1,x20,1,當(dāng)|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|時(shí),求證:|f(x1)-f(x2)|<.那么他的反設(shè)應(yīng)該是_.【解析】根據(jù)反證法,寫出相反的結(jié)論是:存在x1,x20,1,當(dāng)|f(x1)-f(x2)| <|x1-x2|時(shí),則|f(x1)-f(x2)|.答案:存在x1,x20,1,當(dāng)|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|時(shí),則|f(x1)-f(x2)|4.(12分)已知非零向量a,b,且ab,求證:.【證明】因?yàn)閍bab=0,要證.只需證|a|+|b|a+b|,只需證|a|2+2|a|b|+|b|22(a2+2ab+b2),只需證|a|2+2|a|b|+|b|22a2+2b2,只需證|a|2+|b|2-2|a|b|0,即(|a|-|b|)20,上式顯然成立,故原不等式得證.5.(13分)已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1). (1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+)上為增函數(shù).(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.【證明】 (1)任取x1,x2(-1,+),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0.因?yàn)閍>1,所以>1且>0,所以-=(-1)>0.又因?yàn)閤1+1>0,x2+1>0,所以-=>0.于是f(x2)-f(x1)=-+->0,故函數(shù)f(x)在(-1,+)上為增函數(shù).(2)假設(shè)存在x0<0(x0-1)滿足f(x0)=0,則=-. 因?yàn)閍>1,所以0<<1,所以0<-<1,即<x0<2,與假設(shè)x0<0相矛盾,故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.