（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題8 立體幾何與空間向量 第57練 空間角的問題練習(xí)（含解析）.docx

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第57練 空間角的問題 [基礎(chǔ)保分練] 1.(2019麗水模擬)已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝120，AB＝1，BC＝CC1＝2，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 2.平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A.B.C.D. 3.(2019湖州模擬)如圖，已知三棱錐D—ABC滿足AC>AB>BC，D在底面的投影O為△ABC的外心，分別記直線DO與平面ABD，ACD，BCD所成的角為α，β，γ，則(　　) A.α<β<γB.α<γ<βC.β<γ<αD.β<α<γ 4.(2019紹興柯橋模擬)如圖，二面角α—l—β中，P∈l，射線PA，PB分別在平面α，β內(nèi)，點A在平面β內(nèi)的射影恰好是點B，設(shè)二面角α—l—β、PA與平面β所成的角、PB與平面α所成的角的大小分別為δ，φ，θ，則(　　) A.δ≥φ≥θ B.δ≥θ≥φ C.φ≥δ≥θ D.θ≥δ≥φ 5.(2019嘉興模擬)已知兩個平面α，β和三條直線m，a，b，若α∩β＝m，a?α且a⊥m，b?β，設(shè)α和β所成的一個二面角的大小為θ1，直線a和平面β所成的角的大小為θ2，直線a，b所成的角的大小為θ3，則(　　) A.θ1＝θ2≥θ3 B.θ3≥θ1＝θ2 C.θ1≥θ3，θ2≥θ3 D.θ1≥θ2，θ3≥θ2 6.(2019杭州模擬)在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90，D，E分別是BC，AB的中點，AB≠AC，且AC>AD.設(shè)PC與DE所成的角為α，PD與平面ABC所成的角為β，二面角P—BC—A為γ，則(　　) A.α<β<γ B.α<γ<β C.β<α<γ D.γ<β<α 7.如圖，四邊形ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝2，O，M分別為CD，BC的中點，則異面直線OM與PD所成角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 8.(2019紹興上虞區(qū)模擬)點P為棱長是2的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動點，點M為B1C1的中點，若滿足DP⊥BM，則B1P與平面CDP所成角的正切值的最小值是(　　) A.B.C.D. 9.(2019嘉興模擬)已知三棱錐D—ABC的底面ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝AB＝4，DA⊥平面ABC，E是BD的中點.若此三棱錐的體積為，則異面直線AE與DC所成角的大小為________. 10.(2019溫州模擬)如圖1，在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120，＝2，過點D作DE⊥AC交AC于點E，連接CD.現(xiàn)將△ADE與△BCD分別沿DE與CD翻折，使DA與DB重合(如圖2)，則二面角E－A′D－C的平面角的余弦值為________. [能力提升練] 1.△ABC是邊長為1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝，點A關(guān)于平面PBC的對稱點為A′，則異面直線A′C與AB所成的角等于(　　) A.B.C.D. 2.(2019學(xué)軍中學(xué)模擬)已知在矩形ABCD中，AD＝AB，沿直線BD將△ABD折成△A′BD，使得點A′在平面BCD上的射影在△BCD內(nèi)(不含邊界)，設(shè)二面角A′—BD—C的大小為θ，直線A′D，A′C與平面BCD所成的角分別為α，β，則(　　) A.α<θ<β B.β<θ<α C.β<α<θ D.α<β<θ 3.(2019金華十校聯(lián)考)已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1，點E，O分別在線段B1D1和BD上，EB1＝B1D1，DO＝BO，動點F在線段AA1上，且滿足AF＝λA1A，分別記二面角F—OB1—E，F(xiàn)—OE—B1，F(xiàn)—EB1—O的平面角為α，β，γ，則(　　) A.α>γ>β B.γ>β>α C.γ>α>β D.β>α>γ 4.如圖，已知點E是正方形ABCD的邊AD上一動點(端點除外)，現(xiàn)將△ABE沿BE所在直線翻折成△A′BE，并連接A′C，A′D，記二面角A′—BE—C的大小為α(0<α<180)，則(　　) A.存在α，使得BA′⊥平面A′DE B.存在α，使得BA′⊥平面A′CD C.存在α，使得EA′⊥平面A′CD D.存在α，使得EA′⊥平面A′BC 5.(2019金華模擬)過正四棱錐的頂點與四個側(cè)面所成的銳二面角都相等的平面有________個. 6.(2019余姚中學(xué)模擬)如圖，已知平面α⊥β，α∩β＝l，A，B是直線l上的兩點，C，D是平面β內(nèi)的兩點，且DA⊥l，CB⊥l，AD＝3，AB＝6，CB＝6.P是平面α上的一動點，且直線PD，PC與平面α所成的角相等，則二面角P—BC—D的余弦值的最小值是________. 答案精析 基礎(chǔ)保分練 1．D　2.A　3.D　4.A　5.D　6.A　7.C　8．C 9．60 解析　∵DA⊥平面ABC，S△ABC＝ABAC＝8， ∴三棱錐的體積V＝S△ABCDA＝DA＝，∴DA＝4， ∴BD＝＝4，CD＝＝4. 設(shè)BC的中點為F，連接EF，AF，如圖，則EF＝CD＝2， AF＝BC＝2，AE＝BD＝2， ∴△AEF是正三角形，∴∠AEF＝60. ∵E是DB的中點，則EF∥DC， ∴∠AEF是異面直線AE與DC所成的角，即異面直線AE與DC所成角的大小為60. 10. 解析　由題意得DE⊥A′E，DE⊥CE，A′E∩CE＝E， 則DE⊥平面A′EC，又DE?平面DEA′， 所以平面DEA′⊥平面A′EC，過點C作CG⊥EA′交EA′的延長線于點G，如圖所示， 則GC⊥平面A′DE，過點G作GH⊥DA′交DA′的延長線于點H，連接CH，可證得CH⊥HD，所以∠GHC即為二面角E－A′D－C的平面角．因為在△ABC中，BA＝BC＝6，∠ABC＝120，＝2，所以在Rt△B′HC中，∠B′HC＝90，∠HB′C＝60，B′C＝6，所以B′H＝3，CH＝3，在Rt△HA′G中，∠A′HG＝90，A′H＝1，∠HA′G＝30，所以HG＝A′Htan∠HA′G＝， 在Rt△CGH中，cos ∠GHC＝＝. 能力提升練 1．C　[由于點A，A′關(guān)于平面PBC對稱，則連線AA′⊥平面PBC，所以BC⊥AA′. 設(shè)AA′與平面PBC相交于點O，延長PO交BC于點E，連接AE， 因為PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，又AA′∩PA＝A，所以BC⊥平面PAE.所以BC⊥AE，可得E為BC的中點，因為AB＝AC＝BC＝1，所以AE＝. 在Rt△PAE中，利用等面積法可得AO＝＝＝， 在Rt△AEO中，OE＝＝. 取A′B的中點D，連接DE，DO， 由中位線的性質(zhì)知DE∥A′C，OD∥AB，且OD＝AB＝，因為AA′⊥平面PBC，OC?平面PBC，所以AA′⊥OC，且O為AA′的中點，所以A′C＝AC＝1，所以DE＝A′C＝，又OE＝，則在△ODE中，OD＝DE＝OE＝，所以∠ODE＝，又OD∥AB，DE∥A′C，則直線A′C與AB所成角的大小為∠ODE＝，故選C.] 2．D　[設(shè)點A′在平面BCD內(nèi)的射影為點O，過點A′作BD的垂線，垂足為點E，設(shè)AB＝1，則在Rt△A′BD中易得A′E＝，∠A′DO＝α，∠A′CO＝β，∠A′EO＝θ，且α，β，θ均為銳角，tan∠A′DO＝，tan∠A′CO＝，tan∠A′EO＝，又由翻折及解三角形，易得當點A′在平面BCD內(nèi)的射影在△BCD內(nèi)(不含邊界)時，有OEOF′>F′K>F′M，所以tanβ>tanα>tanγ，所以β>α>γ，故選D.] 4．D　[在正方形ABCD內(nèi)，過點A作AF⊥BE于點F，交DC于點G，易得在翻折過程中，點A′在平面BCDE內(nèi)的投影在線段AG上，設(shè)正方形ABCD的邊長為1，則A′B＝1，BD＝，∵A′E＋ED＝1>A′D，∴∠BA′D≠90，故A和B錯誤； ∵二面角A′—BE—C的大小為α(0<α<π)，不存在EA′⊥A′C，∴不可能存在α，使得EA′⊥平面A′CD，故C錯誤； Rt△ABE繞BE旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是兩個圓錐的組合體，∵∠A′BE<45，45<∠A′EB<90，∴某個位置存在母線A′E⊥AE，即A′E⊥BC， ∵二面角A′—BE—C的大小為α(0<α<180)，∴存在α，使得EA′⊥平面A′BC，故D正確，故選D.] 5．3 解析　如圖， 過正四棱錐的頂點與四個側(cè)面所成的銳二面角都相等的平面，根據(jù)對稱性可得，平面ABCD，平面PAC，平面PBD，故有三個面． 6. 解析　∵DA⊥l，α⊥β，α∩β＝l，AD?β， ∴AD⊥α，同理BC⊥α. ∴∠DPA為直線PD與平面α所成的角，∠CPB為直線PC與平面α所成的角． ∴∠DPA＝∠CPB， 又∠DAP＝∠CBP＝90， ∴△DAP∽△CBP，＝＝. 在平面α內(nèi)，以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系， 則A(－3,0)，B(3,0)，設(shè)P(x，y)(y>0)． ∴2＝， 整理可得(x＋5)2＋y2＝16. ∴P在α內(nèi)的軌跡為以M(－5,0)為圓心，以4為半徑的上半圓． ∵平面PBC∩平面β＝BC，PB⊥BC，AB⊥BC.∴∠PBA為二面角P—BC—D的平面角， ∴當PB與圓相切時，∠PBA最大， cos∠PBA取得最小值． 此時PM＝4，MB＝8，MP⊥PB，PB＝4， cos∠PBA＝＝＝.