（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 課時(shí)分層作業(yè) 三十一 5.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 文.doc

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課時(shí)分層作業(yè) 三十一 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2018重慶模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S3=14,a3=8,則a6= (　　) A.16 B.32 C.64 D.128 【解析】選C.由題意得,等比數(shù)列的公比為q,由S3=14,a3=8,則解得a1=2,q=2,所以a6=a1q5=225=64,故選C. 2.(2017全國(guó)卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{an}前6項(xiàng)的和為 (　　) A.-24 B.-3 C.3 D.8 【解析】選A.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,d≠0,=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d), d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=61+(-2)=-24. 3.(2017全國(guó)卷Ⅱ)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈 (　　) A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞 【解析】選B.設(shè)塔的頂層共有燈x盞,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列,由=381可得x=3. 4.(2018臨沂模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=a2n-1+,則a的值為 (　　) A.-　 B.　 C.-　 D. 【解析】選A.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=a2n-1-a2n-2=a2n-2,當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=a+,又因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以a+=,所以a=-. 5.在公比為的等比數(shù)列{an}中,若sin(a1a4)=,則cos(a2a5)的值是 (　　) A.- B. C. D. 【解析】選B.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos(a2a5)=1- 2sin2(a1a4)=1-2=. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(2017北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4=8,則=______. 【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.由題意得-1+3d= -q3=8?d=3,q=-2?==1. 答案:1 7.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=,則a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=________. 【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則q3==,解得q=,a1==4.易知數(shù)列{anan+1an+2}是首項(xiàng)為a1a2a3=421=8,公比為q3=的等比數(shù)列,所以a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2==(1-2-3n). 答案:(1-2-3n) 8.(2015湖南高考)設(shè)Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若a1=1且3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,則an=__________. 【解題指南】由3S1,2S2,S3成等差數(shù)列,可求得公比q=3,然后求an. 【解析】因?yàn)?S1,2S2,S3成等差數(shù)列, 所以22(a1+a2)=3a1+a1+a2+a3?a3=3a2?q=3, 所以an=a1qn-1=3n-1. 答案:3n-1 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(2018煙臺(tái)模擬)已知等差數(shù)列{an}中,a1=1,且a1,a2,a4+2成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn. (2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n. 【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)閍1=1,且a1,a2,a4+2成等比數(shù)列.所以=a1(a4+2), 即(1+d)2=1(1+3d+2),解得d=2或-1. 其中d=-1時(shí),a2=0,舍去. 所以d=2,可得an=1+2(n-1)=2n-1. Sn==n2. (2)bn==. 所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),==16.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),==. 所以數(shù)列{bn}的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列;偶數(shù)項(xiàng)是以8為首項(xiàng),16為公比的等比數(shù)列. 所以數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n=(b1+b3+…+b2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=+=(16n-16-n). 10.(2015廣東高考改編)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且當(dāng)n≥2時(shí),4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1. (1)求a4的值. (2)證明:為等比數(shù)列. 【解析】(1)當(dāng)n=2時(shí),4S4+5S2=8S3+S1, 即4+5 =8+1,解得a4=. (2)由4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2), 4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2), 即4an+2+an=4an+1(n≥2). 因?yàn)?a3+a1=4+1=6=4a2, 所以4an+2+an=4an+1, 所以= ===, 所以數(shù)列是以a2-a1=1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列. 1.(5分)(2018福州模擬)已知數(shù)列{an}滿足log3an+1=log3an+1(n∈N*),且a2+a4+a6=9,則lo(a5+a7+a9)的值是 (　　) A.-5　　　　　 B.- C.5　　　　　　D. 【解析】選A.因?yàn)閘og3an+1=log3an+1,所以an+1=3an. 所以數(shù)列{an}是公比q=3的等比數(shù)列, 所以a2+a4+a6=a2(1+q2+q4)=9. 所以a5+a7+a9=a5(1+q2+q4)=a2q3(1+q2+q4)=35. 所以lo35=-5. 【變式備選】等比數(shù)列{an}滿足an>0,n∈N*,且a3a2n-3=22n(n≥2),則當(dāng)n≥1時(shí),log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=________. 【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì),得a3a2n-3==22n,從而得an=2n.所以log2a1+log2a2+…+log2a2n-1=log2[(a1a2n-1)(a2a2n-2)…(an-1an+1)an]=log22n(2n-1)=n(2n-1)=2n2-n. 答案:2n2-n 2.(5分)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,若a4+a6=10,則a7(a1+2a3)+a3a9的值為(　　) A.10 B.20 C.100 D.200 【解析】選C.a7(a1+2a3)+a3a9=a7a1+2a7a3+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=102=100. 3.(5分)(2016全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為_(kāi)_______. 【解析】由于{an}是等比數(shù)列,設(shè)an=a1qn-1,其中a1是首項(xiàng),q是公比. 所以? 解得: 故an=, 所以a1a2…an= ==. 當(dāng)n=3或4時(shí),取到最小值-6, 此時(shí)取到最大值26=64. 所以a1a2…an的最大值為64. 答案:64 4.(12分)(2016全國(guó)卷Ⅲ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式. (2)若S5=,求λ. 【解析】(1)由題意得a1=S1=1+λa1,故a1=, 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,所以=, 因此數(shù)列{an}是以a1=為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,an=. (2)由(1)得Sn=1-,又因?yàn)镾5=, 所以=1-,即=,解得λ=-1. 5.(13分)(2018鄭州模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求證:{an+1+2an}是等比數(shù)列. (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. 【解析】(1)因?yàn)閍n+1=an+6an-1(n≥2), 所以an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). 因?yàn)閍1=5,a2=5, 所以a2+2a1=15, 所以an+2an-1≠0(n≥2), 所以=3(n≥2), 所以數(shù)列{an+1+2an}是以15為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)得an+1+2an=153n-1=53n, 則an+1=-2an+53n, 所以an+1-3n+1=-2(an-3n). 又因?yàn)閍1-3=2,所以an-3n≠0, 所以{an-3n}是以2為首項(xiàng),-2為公比的等比數(shù)列. 所以an-3n=2(-2)n-1, 即an=2(-2)n-1+3n.