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第一章 常用邏輯用語
章末復習
學習目標 1.掌握充分條件、必要條件的判定方法.2.理解全稱量詞、存在量詞的含義，會判斷全稱命題、特稱命題的真假，會求含有一個量詞的命題的否定．
1．充分條件、必要條件和充要條件
(1)定義
一般地，若p則q為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件．
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q.此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件．
(2)特征
充分條件與必要條件具有以下兩個特征：
①對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件；
②傳遞性：若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的充分條件．即若p?q，q?r，則p?r.必要條件和充分條件一樣具有傳遞性，但若p是q的充分條件，q是r的必要條件，則p與r的關系不能確定．
2．量 詞
(1)短語“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞在邏輯中通常稱為全稱量詞，通常用符號“?x”表示“對任意x”．
(2)短語“有一個”“有些”“存在一個”“至少一個”等表示部分的量詞在邏輯中通常稱為存在量詞，通常用符號“?x0”表示“存在x0”．
3．含有全稱量詞的命題叫做全稱命題，含有存在量詞的命題叫做特稱命題．
(1)“所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)”的否定“至少有一個奇數(shù)不是質(zhì)數(shù)”是真命題．(√)
(2)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立．(√)
(3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(√)
類型一 充要條件
例1 (1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 (1)A (2)A
解析 (1)當b＜0，且x＝－＞0時，f(x)取得最小值－，則f(x)的值域為，則當f(x)＝－時，f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等，故是充分條件；當b＝0時，f(x)＝x2，f(f(x))＝x4的最小值都是0，故不是必要條件．故選A.
(2)當兩個平面內(nèi)的直線相交時，這兩個平面有公共點，
即兩個平面相交；但當兩個平面相交時，兩個平面內(nèi)的直線不一定有交點．
反思與感悟 分清條件與結論，準確判斷p?q，還是q?p.
跟蹤訓練1 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若q是p的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．
解 由x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，
得1－m≤x≤1＋m.
由≤2，得－2≤x≤10.
由q是p的必要不充分條件知，
p是q的充分不必要條件，∴
且不等式組中的等號不能同時成立，得m≥9.
類型二 含有一個量詞的命題
例2 下列命題中的假命題是( )
A．?x∈R,2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2
答案 B
解析 當x∈N*時，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，當且僅當x＝1時取等號，故B不正確；易知A，C，D正確，故選B.
反思與感悟 判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個x＝x0，使p(x0)成立．
跟蹤訓練2 下列命題中的真命題是( )
A．?x0∈R，使得sin x0＋cos x0＝
B．?x∈R，－1≤sin x≤1
C．?x0∈(－∞，0)，2x0<3x0
D．?x∈(0，π)，sin x>cos x
答案 B
解析 因為sin x＋cos x＝sin≤<，故A錯誤；由正弦函數(shù)的值域可知B正確；當x<0時，y＝2x的圖象在y＝3x的圖象上方，故C錯誤；因為當x∈時，sin x
”的否定是“≤”．
(2)命題“?x0∈R,1＜f(x0)≤2”的否定形式是( )
A．?x∈R,1＜f(x)≤2
B．?x0∈R,1＜f(x0)≤2
C．?x0∈R，f(x0)≤1或f(x0)＞2
D．?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2
答案 D
解析 特稱命題的否定是全稱命題，原命題的否定形式為“?x∈R，f(x)≤1或f(x)＞2”．
反思與感悟 對全(特)稱命題進行否定的方法
(1)找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞；
(2)對原命題的結論進行否定．
跟蹤訓練3 已知命題p：“?x0∈R，－x0－1≤0”，則命題p的否定為( )
A．?x0∈R，－x0－1≥0
B．?x0∈R，－x0－1>0
C．?x∈R，ex－x－1>0
D．?x∈R，ex－x－1≥0
答案 C
解析 根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定關系，可得命題p的否定為“?x∈R，ex－x－1>0”，故選C.
1．設x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
答案 C
解析 x＞y?x＞|y|(如x＝1，y＝－2)，
但當x＞|y|時，能有x＞y.
∴“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分條件．
2．“0≤m≤1”是“函數(shù)f(x)＝cos x＋m－1有零點”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 方法一 若0≤m≤1，則0≤1－m≤1，
∴cos x＝1－m有解．
要使函數(shù)f(x)＝cos x＋m－1有零點，
只需|m－1|≤1，解得0≤m≤2，故選A.
方法二 函數(shù)f(x)＝cos x＋m－1有零點，
則|m－1|≤1，解得0≤m≤2，
∵{m|0≤m≤1}{m|0≤m≤2}．
∴“0≤m≤1”是“函數(shù)f(x)＝cos x＋m－1”有零點的充分不必要條件．
3．已知命題“?x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,3)
C．(－3，＋∞) D．(－3,1)
答案 B
解析 原命題的否定為?x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由題意知，其為真命題，即Δ＝(a－1)2－42＜0，
則－2＜a－1＜2，即－1＜a＜3.
4．對任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．
答案 (－∞，0]
解析 由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.
5．已知命題“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是____________．
答案
解析 由“?x∈R，x2－5x＋a>0”的否定為假命題，可知原命題必為真命題，即不等式x2－5x＋a>0對任意實數(shù)x恒成立．設f(x)＝x2－5x＋a，則其圖象恒在x軸的上方，故Δ＝25－4a<0，
解得a>，即實數(shù)a的取值范圍為.
(1)判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個x＝x0，使p(x0)成立．
(2)對全(特)稱命題進行否定的方法
①找到命題所含的量詞，沒有量詞的要結合命題的含義先加上量詞，再改變量詞；
②對原命題的結論進行否定．
一、選擇題
1．“直線l垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線”是“直線l垂直于平面α”的( )
A．充要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
答案 C
2．下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是( )
A．有一個α，使tan(90－α)＝
B．存在實數(shù)x0，使sin x0＝
C．對一切α，sin(180－α)＝sin α
D．sin 15＝sin 60cos 45－cos 60sin 45
答案 A
3．命題“有些實數(shù)的絕對值是正數(shù)”的否定是( )
A．?x∈R，|x|＞0 B．?x0∈R，|x0|＞0
C．?x∈R，|x|≤0 D．?x0∈R，|x0|≤0
答案 C
4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，則“x＝4”是“|a|＝5”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 若x＝4，則a＝(4,3)，
∴|a|＝＝5，
若|a|＝5，則＝5，
∴x＝4，
故“x＝4”是“|a|＝5”的充分不必要條件．
5．王昌齡的《從軍行》中兩句詩為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的( )
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 B
解析 “攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要條件．故選B.
6．命題“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?x?R，x2≠x B．?x∈R，x2＝x
C．?x0?R，x≠x0 D．?x0∈R，x＝x0
答案 D
解析 全稱命題的否定是特稱命題，所以“?x∈R，x2≠x”的否定為“?x0∈R，x＝x0”．
二、填空題
7．若命題p：常數(shù)列是等差數(shù)列，則其否定為：______________________________________.
答案 存在一個常數(shù)列，不是等差數(shù)列
解析 全稱命題的否定是特稱命題．
8．設p：實數(shù)x，y滿足x>1且y>1，q：實數(shù)x，y滿足x＋y>2，則p是q的________條件．(選填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 當x>1，y>1時，x＋y>2一定成立，即p?q，
當x＋y>2時，可令x＝－1，y＝4，則x＞1且y＞1不成立，即qD?/p，
故p是q的充分不必要條件．
9．已知命題p：a≤x≤a＋1，命題q：x2－4x＜0，若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍是________．
答案 (0,3)
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，
N＝{x|x2－4x＜0}＝{x|0＜x＜4}．
∵p是q的充分不必要條件，∴MN，
∴解得0＜a＜3.
10．定義f(x)＝{x}({x}表示不小于x的最小整數(shù))為“取上整函數(shù)”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函數(shù)”在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用，諸如停車收費，出租車收費等都是按照“取上整函數(shù)”進行計費的．以下關于“取上整函數(shù)”的性質(zhì)是真命題的序號是________．
①f(2x)＝2f(x)；②若f(x)＝f(y)，則x－y<1；
③任意x，y∈R，f(x＋y)≤f(x)＋f(y)；④f(x)＋f＝f(2x)；⑤函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
答案 ②③
解析 根據(jù)新定義“取上整函數(shù)”的意義f(2x)＝2f(x)不一定成立，如x取1.5；f(x)＋f＝f(2x)不一定成立，如x取0；函數(shù)f(x)不滿足奇函數(shù)的關系，如f(1.6)＝f(2)，f(－1.6)＝f(－1)．故答案為②③.
三、解答題
11．設p：2x2－3x＋1≤0，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若q是p的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
解 由題意得，p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.
∵q是p的必要不充分條件，
∴或
∴0≤a≤.
故實數(shù)a的取值范圍為.
12．求證：函數(shù)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函數(shù)的充要條件是a＝0.
證明 先證充分性，若a＝0，則函數(shù)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函數(shù)．
因為a＝0，所以f(x)＝x2＋|x|＋1(x∈R)．
因為f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1，
所以f(x)是偶函數(shù)．
再證必要性，若f(x)＝x2＋|x＋a|＋1是偶函數(shù)，則a＝0.
因為f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，
即(－x)2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，
從而|x－a|＝|x＋a|，即(x－a)2＝(x＋a)2，
展開并整理，得ax＝0.因為x∈R，所以a＝0.
13．已知c>0，設p：函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集為R.如果p和q有且僅有一個為真命題，求c的取值范圍．
解 函數(shù)y＝cx在R上單調(diào)遞減等價于01的解集為R
等價于函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.
∵x＋|x－2c|＝
∴函數(shù)y＝x＋|x－2c|在R上的最小值為2c，
∴2c>1，得c>.
如果p真q假，則解得0
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