（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 第五章 數列 課時分層作業(yè) 三十 5.2 等差數列及其前n項和 文.doc

課時分層作業(yè) 三十 等差數列及其前n項和一、選擇題(每小題5分,共25分)1.若數列an的通項公式是an=2(n+1)+3,則此數列()A.是公差為2的等差數列B.是公差為3的等差數列C.是公差為5的等差數列D.不是等差數列【解析】選A.由題意可得,an=2n+5=7+2(n-1),即此數列是公差為2的等差數列.2.設數列an是等差數列,其前n項和為Sn,若a6=2且S5=30,則S8等于()A.31B.32C.33D.34【解析】選B.由已知可得解得所以S8=8a1+d=32.【變式備選】若等差數列an的前n項和為Sn且S4=S18,則S22等于()A.0B.12C.-1D.-12【解析】選A.設等差數列的公差為d,由S4=S18得4a1+d=18a1+d,a1=-d,所以S22=22a1+d=22+22d=0.3.(2018錦州模擬)已知an為等差數列,若a1+a5+a9=4,則cos a5的值為()A.-B.-C.D.【解析】選A.因為an為等差數列,a1+a5+a9=4,所以3a5=4,解得a5=.所以cos a5=cos =-.4.(2018武漢模擬)九章算術是我國古代內容極為豐富的一部數學專著,書中有如下問題:今有女子善織,日增等尺,七日織二十八尺,第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺,則第九日所織尺數為()A.8B.9C.10D.11【解析】選B.該數列為等差數列,且S7=28,a2+a5+a8=15,即7a1+21d=28,3a1+12d=15,解得a1=1,d=1,a9=a1+8d=9.5.(2016全國卷)已知等差數列an前9項的和為27,a10=8,則a100=()A.100B.99C.98D.97【解析】選C.由題意可知,解得a1=-1,d=1,所以a100=-1+991=98.【一題多解】選C.由等差數列性質可知:S9=9a5=27,故a5=3,而a10=8,因此公差d=1,所以a100=a10+90d=98.二、填空題(每小題5分,共15分)6.設等差數列an,bn的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意正整數n都有=,則+的值為_.【解析】因為an,bn為等差數列,所以+=+=,因為=.所以=.答案:7.(2018銀川模擬)在等差數列an中,已知a3=7,a6=16,依次將等差數列的各項排成如圖所示的三角形數陣,則此數陣中,第10行從左到右的第5個數是_.【解析】由題知公差d=3,所以an=7+(n-3)d=3n-2,第10行從左到右的第5個數是原等差數列中第1+2+9+5=50項,即為a50=350-2=148.答案:1488.(2018鄭州模擬)在等差數列an中,a1=-2 018,其前n項的和為Sn,若-=2,則S2 018=_.【解析】因為=a1+(n-1)d,所以數列也成等差數列,由-=2得公差為1,因此=+(2 018-1)1=-1,則S2 018=-2 018.答案:-2 018三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知等差數列的前三項依次為a,4,3a,前n項和為Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值.(2)已知數列bn滿足bn=,證明數列bn是等差數列,并求其前n項和Tn.【解析】(1)設該等差數列為an,則a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+d=2k+2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn=n(n+1),則bn=n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即數列bn是首項為2,公差為1的等差數列,所以Tn=.10.(2018太原模擬) 設等差數列an的前n項和為Sn,若a1<0,S2 015=0. (1)求Sn的最小值及此時n的值.(2)求n的取值集合,使其滿足anSn.【解析】(1)設公差為d,則由S2 015=02 015a1+d=0a1+1 007d=0,d=-a1,a1+an=a1,所以Sn=(a1+an)=a1=(2 015n-n2).因為a1<0,nN*,所以當n=1 007或1 008時,Sn取最小值504a1.(2)an=a1,Snan(2 015n-n2)a1.因為a1<0,所以n2-2 017n+2 0160,即(n-1)(n-2 016)0,解得1n2 016.故所求n的取值集合為n|1n2 016,nN*.1.(5分)(2018銀川模擬)已知等差數列an中,a2,a2 016是方程x2-2x-2=0的兩根,則S2 017=()A.-2 017B.-1 008C.1 008D.2 017【解析】選D.由題意得:a2+a2 016=2,S2 017=2 017.2.(5分)九章算術之后,人們學會了用等差數列知識來解決問題,張丘建算經卷上第22題為:“今有女善織,日益功疾(注:從第2天開始,每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布,現在一月(按30天計)共織390尺布”,則從第2天起每天比前一天多織_尺布.()A. B.C. D.【解析】選D.設從第2天起每天比前一天多織d尺布,則由題意知305+d=390,解得d=.3.(5分)(2018長沙模擬)已知函數f(x)=cos x(x(0,2)有兩個不同的零點x1,x2(x1<x2),且方程f(x)=m有兩個不同的實根x3,x4(x3<x4),若把這四個數按從小到大排列構成等差數列,則實數m的值為_.【解題指南】函數f(x)=cos x(x(0,2)有兩個不同的零點x1,x2,可知x1=,x2=,因為方程f(x)=m有兩個不同的實根x3,x4,若把這四個數按從小到大排列構成等差數列,需要分兩種情況進行討論:m>0和m<0,再利用等差數列的性質進行求解.【解析】函數f(x)=cos x(x(0,2)有兩個不同的零點x1,x2(x1<x2),所以x1=,x2=,因為方程f(x)=m有兩個不同的實根x3,x4,若把這四個數按從小到大排列構成等差數列,若m>0,則由余弦函數的圖象知x3,x4構成等差數列,可得公差d=-=,則x3=-=-<0,顯然不可能;若m<0,則由余弦函數的圖象知,x3,x4,構成等差數列,可得3d=-,解得d=,所以x3=+=,m=cos x3=cos=-.答案:-【變式備選】已知等差數列an中,an0,若n2且an-1+an+1-=0,S2n-1=38,則n等于_.【解析】因為2an=an-1+an+1,又an-1+an+1-=0,所以2an-=0,即an(2-an)=0.因為an0,所以an=2.所以S2n-1=2(2n-1)=38,解得n=10.答案:104.(12分)已知數列an滿足a1=6,an+1=4-(n為正整數). (1)求證:數列為等差數列.(2)若bn=,求數列bn的前n項和Sn.【解析】(1)因為-=-=-=-=2,所以數列為等差數列.(2)a1=6,=2,則=2+2(n-1)=2n,則an=,bn=-,則Sn=b1+b2+bn=+=.5.(13分)在公差為d的等差數列an中,已知a1=10,且5a3a1=(2a2+2)2.(1)求d,an.(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.【解析】(1)由題意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4,所以an=-n+11,nN*或an=4n+6,nN*.(2)設數列an的前n項和為Sn,因為d<0,由(1)得d=-1,an=-n+11,則當n11時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-n2+n,當n12時,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=n2-n+110.綜上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=