泰勒公式及其應(yīng)用畢業(yè)論文1

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1、泰勒公式及其應(yīng)用 摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要知識(shí),在某些題目中運(yùn)用泰勒公式會(huì)達(dá)到快速解題的目的.本文主要闡述了利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算和誤差分析、求極限、求函數(shù)在某點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)、求定積分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判斷函數(shù)極值與拐點(diǎn)、判斷級(jí)數(shù)與廣義積分的斂散性、證明不等式、證明根的唯一性等方面的應(yīng)用及技巧. 關(guān)鍵字：泰勒公式；應(yīng)用；極限；不等式；斂散性；根的唯一存在性；極值. 一.引言 泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容,它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),這種化繁為簡(jiǎn)的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿.本文主要探索的是泰勒公式的一些重

2、要應(yīng)用,并對(duì)不同的應(yīng)用進(jìn)行相應(yīng)的分析,并且通過(guò)例題分析說(shuō)明泰勒公式的應(yīng)用及注意事項(xiàng)和應(yīng)用技巧. 二.泰勒公式及其余項(xiàng) 1.泰勒公式的基本概述 若函數(shù)在處存在階導(dǎo)數(shù),則對(duì),有 , (1) ,,即是比的高階無(wú)窮小. (1)式稱為在處的泰勒展開(kāi)式. 2.泰勒公式的重要形式 泰勒定理中給出的余項(xiàng)稱為佩亞諾余項(xiàng).佩亞諾余項(xiàng)只是給出來(lái)余項(xiàng)的定性描述,它不能估算余項(xiàng)的數(shù)值,還需要進(jìn)一步的進(jìn)行定量描述. （1）拉格朗日余項(xiàng) 若函數(shù)在內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對(duì)有 , (2) 稱為拉格朗日余項(xiàng),其中在與之間,稱(2)式為在的帶拉格朗日余

3、項(xiàng)的泰勒公式. 當(dāng)時(shí), (2)式變成 , ,其中在0與之間,稱此式為帶拉格朗日余項(xiàng)的麥克勞林公式. （2）柯西余項(xiàng) 若函數(shù)在內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對(duì)有 , (3) ,其中在與之間,稱(3)式為在帶柯西余項(xiàng)的泰勒公式. 當(dāng)時(shí), (3)式變成 , ,其中,稱此式為帶柯西余項(xiàng)的麥克勞林公式. （3）積分余項(xiàng) 若函數(shù)在內(nèi)存在階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則對(duì)有 , (4) ,稱(4)式為在帶積分余項(xiàng)的泰勒公式. 3.常見(jiàn)函數(shù)的展開(kāi)式 ； ； ； ； ； . 三.泰勒公式的應(yīng)用 1.利用泰勒公式近似計(jì)算和誤差估計(jì) 在研究

4、學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們經(jīng)常因?yàn)橐恍?shù)據(jù)是無(wú)理數(shù)而無(wú)法得出具體的數(shù)值,但是通過(guò)泰勒公式就可以將這些數(shù)表示成容易計(jì)算并且可以計(jì)算的形式,進(jìn)而得出具體的數(shù)值來(lái)近似該數(shù).另外絕大多數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果都會(huì)有誤差,但是通過(guò)合理的計(jì)算方法就能最大限度的減少誤差,同時(shí)減少計(jì)算的復(fù)雜程度.泰勒公式在近似計(jì)算和誤差估計(jì)中應(yīng)用就顯得十分突出.下面在具體例子展示泰勒公式計(jì)算的方便與精確. 例1 計(jì)算的值,使其誤差不超過(guò). 解 ,由,得到 . 有: , 故,當(dāng)時(shí),便有 , 從而略去而求得的近似值為 例2 估計(jì)近似公式,的絕對(duì)誤差. 解 設(shè),則因?yàn)? , , ,

5、 , , 所以帶有拉格朗日型余項(xiàng)的二階麥克勞林公式為： ,. 從而： ,. 2.利用泰勒公式求極限 正如我們所知的一樣,有一些特殊的極限通過(guò)一些常規(guī)的方法是沒(méi)有辦法直接計(jì)算得出來(lái)的,比如常見(jiàn)的、型等,而通過(guò)利用泰勒公式將其中的一些項(xiàng)用泰勒展式替換將函數(shù)的極限化為類似于多項(xiàng)式有理式的極限,就可以解決這些問(wèn)題的極限計(jì)算. 例3 求的極限. 解 因?yàn)榉帜笧?故分子的泰勒展開(kāi)式中取. , . . 例4 設(shè)函數(shù)在上二次連續(xù)可微,如果存在,且在上有界. 求證：. 證明 要證明,即要證明:, ,當(dāng)時(shí), . 利用泰勒公式,, 即

6、 , (5) 記,因有界,所以,使得, 故由(5)知, (6) 對(duì),首先可取,充分小,使得,然后將固定. 因,所以,當(dāng)時(shí) , 從而由(6)式即得 3.利用泰勒公式判斷函數(shù)極值拐點(diǎn) 例5 設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在處二階可導(dǎo),且,.證明 (i)若,則在取得極大值； (ii) 若,則在取得極小值. 證明 由條件,可得在處的二階泰勒公式 . 由于,因此 .

7、 (7) 又因,故存在正數(shù),當(dāng)時(shí),與同號(hào). 所以,當(dāng)時(shí), (7)式取負(fù)值,從而對(duì)任意有 , 即在取得極大值.同樣對(duì),可得在取得極小值. 例6 判定是否是的拐點(diǎn)？ 解 ,； ,； ,； ,. 因?yàn)?所以不是的拐點(diǎn). 注： 用泰勒公式可證明：若在某個(gè)內(nèi)階可導(dǎo),且滿足,且,若： （1）為奇數(shù),則為拐點(diǎn)； （2）為偶數(shù),則不是拐點(diǎn). 4.利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性

8、 當(dāng)我們所要判斷的級(jí)數(shù)的表達(dá)式是由不同類型的函數(shù)構(gòu)成的較為復(fù)雜的形式的時(shí)候,我們直接是很難判斷該級(jí)數(shù)的斂散性的,但是如果利用泰勒公式將其形式化簡(jiǎn)成統(tǒng)一的形式,就可以利用相應(yīng)的收斂準(zhǔn)則快速地判斷級(jí)數(shù)的收斂性了.下面通過(guò)例題說(shuō)明如何利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的收斂性. 例7 討論級(jí)數(shù)的斂散性. 解 由比較判別法可知：若,, 則正項(xiàng)級(jí)數(shù)和正項(xiàng)級(jí)數(shù)同是收斂和發(fā)散.為了選取中的的值,可以用泰勒公式研究通項(xiàng),的階. . 因?yàn)楫?dāng)時(shí), 所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.故收斂.即證. 5.利用泰勒公式判斷廣義積分的斂散性. 為正值函數(shù),要判定的收斂性.若能找到恰當(dāng)?shù)?使,又比較判別法的極限形

9、式可判別出無(wú)窮積分的收斂性.這里的問(wèn)題也是如何選取,才能應(yīng)用判別法則呢？運(yùn)用泰勒公式通過(guò)研究的階,就可以解決這類問(wèn)題. 例8 研究廣義積分的斂散性. 解 因?yàn)? 所以是瑕點(diǎn). 由比較判別法可以知道 , 則時(shí),收斂；當(dāng)時(shí), 發(fā)散. 因?yàn)? . 所以 . 因?yàn)?所以廣義積分發(fā)散. 6.利用泰勒公式求函數(shù)在某點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù) 如果泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)是,從而可求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必依次求導(dǎo). 例9 寫(xiě)出的麥克勞林公式,并求與. 解 因，

10、 (8) 用替換(8)中的,得 , 由泰勒公式系數(shù)的定義,在上述的麥克勞林公式中,與的系數(shù)分別為 ,. 由此得到 ,. 例10 求函數(shù)在處的高階導(dǎo)數(shù). 解 設(shè),則 ,, 在的泰勒公式為 , 從而 , 而中的泰勒展開(kāi)式中含的項(xiàng)應(yīng)為,從的展開(kāi)式知的項(xiàng)為, 因此 ,, . 7.利用泰勒公式證明不等式 利用泰勒公式證明不等式主要是因?yàn)楫?dāng)我們證明的不等式中含有初等函數(shù)和多項(xiàng)式的混合物時(shí),我們可利用泰勒公式將其化為統(tǒng)一的形式,方便我們的證明. 例11 當(dāng)時(shí),證明. 證明 取,,則 ,,,,. 帶入泰

11、勒公式,其中,得 ,其中. 故當(dāng)時(shí),. 例12 設(shè)在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo),且,則 ， 其中均為正數(shù)；. 證明 記,則. 由于在區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo),故在點(diǎn)處一階泰勒公式成立. ,在與之間. 因?yàn)? ,, 所以 ，. 分別取,則有 ； ； 以上各式分別乘以,得 ； ； . 將上面?zhèn)€不等式相加得 因?yàn)? 所以. 即， 從而 . 即證. 注： 利用泰勒公式證明函數(shù)不等式,主要有兩步： (1)構(gòu)造一個(gè)函數(shù),選一個(gè)展開(kāi)點(diǎn),然后寫(xiě)出在處帶有拉格朗

12、日余項(xiàng)的泰勒公式； (2)根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小,函數(shù)的界或者三角不等式對(duì)進(jìn)行放縮. 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)附近二階可導(dǎo),由泰勒展式顯然有結(jié)論： （a）若,則有； （b）若,則有. 8.利用泰勒公式證明根的唯一存在性 例13 設(shè)在上二階可導(dǎo),且,,對(duì),,證明：在內(nèi)存在唯一實(shí)根. 分析：這里是抽象函數(shù),直接討論=0的根有困難,由題設(shè)在上二階可導(dǎo)且,可考慮將在點(diǎn)展開(kāi)一階泰勒公式,然后設(shè)法應(yīng)用介值定理證明. 證明 因?yàn)?所以單調(diào)減少,又,因此時(shí),,故在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在點(diǎn)展開(kāi)一階泰勒公式有 . 由題設(shè),,于是有,從而必存在,使得,又因?yàn)?在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由的嚴(yán)

13、格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根. 9.利用泰勒公式巧解行列式 若一個(gè)行列式可看做的函數(shù)（一般是的次多項(xiàng)式）,記作,按泰勒公式在某處展開(kāi),用這一方法可求得一些行列式的值. 例14 求階行列式 = . (9) 解 記,按泰勒公式在處展開(kāi)： , (10) 易知 (11) 由(11)得,. 根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有 ,,… ,,(因?yàn)?. 于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為 ,

14、 , … … … … , . 把以上各導(dǎo)數(shù)代入(10)式中,有 若,有, 若,有. 10.利用帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式求定積分 例15 計(jì)算. 解 設(shè)，則， . 注: 由帶積分余項(xiàng)的泰勒公式可得以下引理. 引理： 若函數(shù),在閉區(qū)間上存在連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，則有 ，. 11.利用泰勒公式求某些微分方程的解 泰勒公式在常微分方程數(shù)值求解中的應(yīng)用. 解析法很難求解的常微分方程,用數(shù)值方法求其特解是一種常見(jiàn)的方法,一般用逐步逼近法來(lái)進(jìn)行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就應(yīng)用泰勒公式求解具有給定和初值的聯(lián)立方程：

15、給出初值. 我們用如下形式表示一個(gè)和的聯(lián)立方程組： (12) 求方程組(12)通過(guò)點(diǎn)的特解,其中已知我們?cè)O(shè)想用一種逼近計(jì)算求出在下列各點(diǎn)處的近似值,其中為軸上選取的恰當(dāng)步長(zhǎng). 現(xiàn)在,設(shè)在處,已求出的近似值,且表示為 由泰勒公式可知： . (13) 令,即可得出計(jì)算值的公式 . (14) 其中 ,

16、 , , , …… 當(dāng)給定了初值條件時(shí),由方程(14),令,則得出： 其中,在取近似值時(shí)的保留項(xiàng)數(shù),取決于步長(zhǎng)及所需的精確度. 當(dāng)求出,后,再令,可求出,,后面依次類推.取近似值時(shí)所要保留的項(xiàng)數(shù),也可由上同樣處理. 為了說(shuō)明以上方法,下面舉個(gè)簡(jiǎn)單例子. 例16 求：的解,其初始條件為,處, ,. 解 首先,我們可選定步長(zhǎng),并依次計(jì)算等處的近似值,由逐次求導(dǎo)得出 , . 因此在處,有 , 令,則方程組(14)給出 =. . 接著在處,有 ； ； ； ； …… 令,由方程(14)： .

17、. 這個(gè)過(guò)程可以根據(jù)需要不斷地重復(fù)進(jìn)行. 四.總結(jié) 本文主要介紹了泰勒公式以及它的多個(gè)應(yīng)用,使我們對(duì)泰勒公式有了更深一層的理解,對(duì)怎樣應(yīng)用泰勒公式解題有了更深一層的認(rèn)識(shí).只要在解題訓(xùn)練中注意分析,研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn),并把握上述處理規(guī)則,就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧. 參考文獻(xiàn) [1]劉玉璉,傅沛仁編.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社,2003：233-234. [2]丁曉慶.工科數(shù)學(xué)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2001：191-192. [3]孫清華，孫昊.數(shù)學(xué)分析疑難分析與解題方法(上)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2009：140-1

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19、用舉例[J].高等函授學(xué)報(bào)，2005:14-15. Application of Taylor formula Name:Zhao Zaibiao Student ID:2009010287 Tutor:Cui Shuli (Shihezi University College of Science Department of mathematics Zip code:832000) Abstract: Taylor formula is one of the most important knowledge in mathematical analysis,which

20、 will achieve the goal to solve some of the math problems quickly.This paper mainly expounds the elaborated using the Taylor formula for approximate calculation and error analysis,limit and function at some point in some higher order derivative,definite integral and differential equation soluti

21、on,smart solution determinant, judgment of function extreme value and a inflection point, judging progression and improper integral of divergence, the inequality proof and prove the uniqueness of the root of the application and skill. Keywords: Taylor formula； application； limit； inequality； convergence； the existence and uniqueness of the maximum root. - 16 -