高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 第1節(jié) 集合1教案 新人教A版必修1

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1、 第一章第一節(jié)集合第一課時(shí) 通過本章的學(xué)習(xí),使學(xué)生會(huì)使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象,并能在自然語言、圖形語言、集合語言之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換,體會(huì)用集合語言表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的簡潔性、準(zhǔn)確性,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用集合語言描述數(shù)學(xué)對象,發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力.通過本章的學(xué)習(xí),使學(xué)生不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系,同時(shí)還會(huì)用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù),為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心概念,本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí),強(qiáng)調(diào)結(jié)合實(shí)際問題,使學(xué)生感受運(yùn)用函數(shù)概念建立模型的過程與方法,從而發(fā)展學(xué)生對變量數(shù)學(xué)的認(rèn)識,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力,提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.

2、 課本力求緊密結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有數(shù)學(xué)知識,通過列舉豐富的實(shí)例,強(qiáng)調(diào)從實(shí)例出發(fā),讓學(xué)生對集合和函數(shù)概念有充分的感性認(rèn)知基礎(chǔ),再用集合與對應(yīng)語言抽象出函數(shù)概念.課本突出了集合和函數(shù)概念的背景教學(xué),這樣比較符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律.教學(xué)中要高度重視數(shù)學(xué)概念的背景教學(xué).課本盡量創(chuàng)設(shè)使學(xué)生運(yùn)用集合語言和數(shù)學(xué)符號進(jìn)行表達(dá)和交流的情境和機(jī)會(huì),并注意運(yùn)用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算,用圖象表示函數(shù),幫助學(xué)生借助直觀圖示認(rèn)識抽象概念.課本在例題、習(xí)題的教學(xué)中注重運(yùn)用集合和函數(shù)的觀點(diǎn)研究、處理數(shù)學(xué)問題,這一觀點(diǎn),一直貫穿到以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中.在例題和習(xí)題的編排中,滲透了分類討論思想,讓學(xué)生體會(huì)到分類討論思想在生活

3、中和數(shù)學(xué)中的廣泛運(yùn)用,這是學(xué)生在初中階段所缺少的.函數(shù)的表示是本章的主要內(nèi)容之一,課本重視采用不同的表示法(列表法、圖象法、分析法),目的是豐富學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)識,幫助理解抽象的函數(shù)概念.在教學(xué)中,既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用,又要適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度研究圖象,使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)方法.課本將函數(shù)推廣到了映射,體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律,有利于學(xué)生對函數(shù)概念學(xué)習(xí)的連續(xù)性. 在教學(xué)中,要堅(jiān)持循序漸進(jìn),逐步滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論這方面的訓(xùn)練.對函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實(shí)質(zhì)上要求理解,而對定義域、值域的繁難計(jì)算,特別是人為的過于技巧化的訓(xùn)練不作提倡,要準(zhǔn)確把握這方面的要求,防止拔

4、高教學(xué).重視函數(shù)與信息技術(shù)整合的要求,通過電腦繪制簡單函數(shù)動(dòng)態(tài)圖象,使學(xué)生初步感受到信息技術(shù)在函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要作用.為了體現(xiàn)課本的選擇性,在練習(xí)題安排上加大了彈性,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生實(shí)際情況,合理地取舍. 本章教學(xué)時(shí)間約需14課時(shí),具體分配如下(僅供參考): 1.1.1 集合的含義與表示 約1課時(shí) 1.1.2 集合間的基本關(guān)系 約1課時(shí) 1.1.3 集合的基本運(yùn)算 約2課時(shí) 1.2.1 函數(shù)的概念 約2課時(shí) 1.2.2 函數(shù)的表示法 約3課時(shí) 1.3.1 單調(diào)性與最大(小)值 約2課時(shí) 1.3.2 奇偶性 約1課時(shí) 實(shí)習(xí)作業(yè) 約1課時(shí) 本章復(fù)習(xí)

5、 約1課時(shí) 作者:唐洵 教學(xué)分析      集合語言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語言,同時(shí)也是一種抽象的數(shù)學(xué)語言.教材將集合的初步知識作為初、高中數(shù)學(xué)課程的銜接,既體現(xiàn)出集合在高中數(shù)學(xué)課程中舉足輕重的作用,又體現(xiàn)出集合在數(shù)學(xué)中的奠基性地位. 課本除了從學(xué)生熟悉的集合(自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等)出發(fā),結(jié)合實(shí)例給出元素、集合的含義、性質(zhì)、表示方法之外,還特別注意滲透了“概括”與“類比”這兩種常用的邏輯思考方法.因此,建議教學(xué)時(shí),應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從大量的實(shí)例中概括出集合的含義;多創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生運(yùn)用集合語言進(jìn)行表達(dá)和交流的情境和機(jī)會(huì),以便學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中逐漸熟悉自然語言、集合語言和圖形語言各自的特點(diǎn)和表

6、示方法,能進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換并且靈活應(yīng)用,充分掌握集合語言.與此同時(shí),本小節(jié)作為高一數(shù)學(xué)教學(xué)的第一節(jié)新授課,知識體系中的新概念、新符號較多,建議教學(xué)時(shí)先引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本,然后進(jìn)行交流、討論,讓學(xué)生在閱讀與交流中理解概念并熟悉新符號的使用.這樣,既能夠培養(yǎng)學(xué)生自我閱讀、共同探究的能力,又能提高學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作交流的精神. 三維目標(biāo) 1.了解集合含義;理解元素與集合“屬于”關(guān)系;熟記常用數(shù)集專用符號. 2.深刻理解集合元素的確定性、互異性、無序性;能夠用其解決有關(guān)問題. 3.能選擇不同的形式表示具體的問題中的集合. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):集合的基本概念與表示方法. 教學(xué)難點(diǎn):選擇適當(dāng)?shù)姆椒?/p>

7、表示具體問題中的集合. 課時(shí)安排 1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1.集合對我們來說可謂是“最熟悉的陌生人”.說它熟悉,是因?yàn)槲覀冊诂F(xiàn)實(shí)生活中常常用到“集合”這個(gè)名詞;比如說,軍訓(xùn)的時(shí)候,教官是不是經(jīng)常喊:“高一(4)班的同學(xué),集合啦!”那么說它陌生,是因?yàn)槲覀冞€未從數(shù)學(xué)的角度理解集合,從數(shù)學(xué)的層面挖掘集合的內(nèi)涵.那么,在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中,集合究竟是什么呢?集合又有著怎樣的含義呢?就讓我們通過今天這堂課的學(xué)習(xí),一起揭開“集合”神秘的面紗. 思路2.你經(jīng)常會(huì)談?wù)撃愕募彝?,你的班級.其?shí)在講到你的家庭、班級的時(shí)候,你必定在聯(lián)想構(gòu)成家庭、班級的成員,例如:家庭成員就是被你稱為父親、母親、哥哥、姐姐、

8、妹妹、弟弟……的人;班級成員就是與你在同一個(gè)教室里一起上課、一起學(xué)習(xí)的人;一些具有特定屬性的人構(gòu)成的群體,在數(shù)學(xué)上就是一個(gè)集合.那么,在數(shù)學(xué)中,一些對象的總體怎樣才可以構(gòu)成集合、集合中的元素有哪些特性?集合又有哪些表示方法呢? 這就是本節(jié)課我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 思路3.“同學(xué)們,在小學(xué)和初中的學(xué)習(xí)過程中,我們已經(jīng)接觸過一些集合的例子,比如說:有理數(shù)集合,到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(圓),那么大家是否能夠舉出更多關(guān)于集合的例子呢?”(通過兩個(gè)簡單的例子,引導(dǎo)大家進(jìn)行類比,運(yùn)用發(fā)散性思維思考說出更多的關(guān)于集合的實(shí)例,然后教師予以點(diǎn)評.) “那么,集合的含義究竟是什么?它又該如何表示呢

9、?這就是我們今天要研究的課題.” 推進(jìn)新課 ①中國有許多傳統(tǒng)的佳節(jié),那么這些傳統(tǒng)的節(jié)日是否能構(gòu)成一個(gè)集合?如果能,這個(gè)集合由什么組成? ②全體自然數(shù)能否構(gòu)成一個(gè)集合?如果能,這個(gè)集合由什么組成? ③方程x2-3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根能否構(gòu)成一個(gè)集合?如果能,這個(gè)集合由什么組成? ④你能否根據(jù)上述幾個(gè)問題總結(jié)出集合的含義? 討論結(jié)果:①能.這個(gè)集合由春節(jié)、元宵節(jié)、端午節(jié)等有限個(gè)種類的節(jié)日組成,稱為有限集. ②能.這個(gè)集合由0、1、2、3、……等無限個(gè)元素組成,稱為無限集. ③能.這個(gè)集合由1、2兩個(gè)數(shù)組成. ④我們把研究對象統(tǒng)稱為“元素”

10、,把一些元素組成的總體叫做“集合”. 通過以上的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道集合是由一些元素組成的總體,那么是否所有的元素都能構(gòu)成集合呢?請看下面幾個(gè)問題 ①近視超過300度的同學(xué)能否構(gòu)成一個(gè)集合? ②“眼神很差”的同學(xué)能否構(gòu)成一個(gè)集合? ③比較問題①②,說明集合中的元素具有什么性質(zhì)? ④我們知道冬蟲夏草既是一種植物,又是一種動(dòng)物那么在所有動(dòng)植物構(gòu)成的集合中,冬蟲夏草出現(xiàn)的次數(shù)是一次呢還是兩次? ⑤組成英文單詞every的字母構(gòu)成的集合含有幾個(gè)元素?分別是什么? ⑥問題④⑤說明集合中的元素具有什么性質(zhì)? ⑦在玩斗地主的時(shí)候,我們都知道3、4、5、6、7是一個(gè)順子,那比如說老師出牌的時(shí)候

11、把這五張牌的順序擺成了5、3、6、7、4,那么這還是一個(gè)順子么?類比集合中的元素,一個(gè)集合中的元素是3、4、5、6、7,另外一個(gè)集合中的元素是5、3、6、7、4,這兩個(gè)集合中的元素相同么?集合相同嗎?這體現(xiàn)了集合中的元素的什么性質(zhì)? 討論結(jié)果:①能. ②不能. ③確定性.問題②對“眼神很差”的同學(xué)沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn),到底怎樣才算眼神差,是近視300度?400度?還是說“眼神很差”只是寓意?我們不得而知.因此通過問題①②我們了解到,對于給定的集合,它的元素必須是確定的,即任何一個(gè)元素要么在這個(gè)集合中,要么不在這個(gè)集合中,這就是集合中元素的確定性. ④一次. ⑤4個(gè)元素.e、v、r、y這

12、四個(gè)字母. ⑥互異性.一個(gè)集合中的元素是互不相同的,也就是說,集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn). ⑦是.元素相同.集合相同.體現(xiàn)集合中元素的無序性,即集合中的元素的排列是沒有順序的.只要構(gòu)成兩個(gè)集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相等的. ①如果用A表示所有的自然數(shù)構(gòu)成的集合,B表示所有的有理數(shù)構(gòu)成的集合,a=1.58,那么元素“和集合A、B分別有著怎樣的關(guān)系? ②大家能否從問題①中總結(jié)出元素與集合的關(guān)系? ③A表示“1~20內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合,那么3________A,4________A. 討論結(jié)果:①a是集合B中的元素,a不是集合A中的元素. ②a是集合B中的元素,就

13、說a屬于集合B,記作a∈B;a不是集合A中的元素,就說a不屬于集合A,記作a?A.因此元素與集合的關(guān)系有兩種,即屬于和不屬于. ③3∈A,4?A. ①從這堂課的開始到現(xiàn)在,你們注意到了我用了幾種方法表示集合? ②字母表示法中有哪些專用符號? ③除了自然語言法和字母表示法之外,課本還為我們提供了幾種集合的表示方法?分別是什么? ④列舉法的含義是什么?你能否運(yùn)用列舉法表示一些集合?請舉例! ⑤能用列舉法把下列集合表示出來嗎? (ⅰ)小于10的質(zhì)數(shù); (ⅱ)不等式x-2>5的解集. ⑥描述法的含義是什么?你能

14、否運(yùn)用描述法表示一些集合?請舉例! ⑦集合的表示方法共有幾種? 討論結(jié)果:①兩種,自然語言法和字母表示法. ②非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集),記作N; 除0的非負(fù)整數(shù)集,也稱正整數(shù)集,記作N*或N+; 整數(shù)集,記作Z;有理數(shù)集,記作Q;實(shí)數(shù)集,記作R. ③兩種,列舉法與描述法. ④把集合中的元素一一列舉出來,并用花括號“{ }”括起來表示集合的方法叫做列舉法.例如“地球上的四大洋”組成的集合可以用列舉法表示為{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋},方程x2-3x+2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合可以用列舉法表示為{1,2}. ⑤“小于10的質(zhì)數(shù)”可以用列舉法表示出來;“不等式x-2&

15、gt;5的解集”不能夠用列舉法表示出來,因?yàn)檫@個(gè)集合是一個(gè)無限集.因此,當(dāng)集合是無限集或者其元素?cái)?shù)量較多而不便于無一遺漏地列舉出來的時(shí)候,如果我們再用列舉法來表示集合就顯得不夠簡潔明了. ⑥用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.具體方法是:在花括號內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.例如,不等式x-2>5的解集可以表示為{x∈R|x>7};所有的正方形的集合可以表示為{x|x是正方形},也可寫成{正方形}. ⑦自然語言法、字母表示法、列舉法、描述法. 例1下列所給對象不能構(gòu)成集合的是

16、__________. (1)高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題; (2)某一班級16歲以下的學(xué)生; (3)某中學(xué)的大個(gè)子; (4)某學(xué)校身高超過1.80米的學(xué)生. 活動(dòng)探究:教師首先引導(dǎo)學(xué)生通過讀題、審題,了解本題考查的基本知識點(diǎn)——集合中元素的確定性;然后指導(dǎo)學(xué)生對4個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷;判斷所給元素是否能構(gòu)成集合,關(guān)鍵是看是否滿足集合元素的確定性. 解析:(1)不能構(gòu)成集合.“難題”的概念是模糊的,不確定的,無明確的標(biāo)準(zhǔn),對于一道數(shù)學(xué)題是否是“難題”無法客觀地判斷.實(shí)際上一道數(shù)學(xué)題是“難者不會(huì),會(huì)者不難”,因而“高一數(shù)學(xué)課本中所有的難題”不能構(gòu)成集合. (2)能構(gòu)成集合,其中的元素是某

17、班級16歲以下的學(xué)生. (3)因?yàn)槲匆?guī)定大個(gè)子的標(biāo)準(zhǔn),所以(3)不能組成集合. (4)由于(4)中的對象具備確定性,因此,能構(gòu)成集合. 答案:(1)(3) 變式訓(xùn)練 1.下列幾組對象可以構(gòu)成集合的是(  ) A.充分接近π的實(shí)數(shù)的全體 B.善良的人 C.某校高一所有聰明的同學(xué) D.某單位所有身高在1.7 m以上的人 答案:D 2.已知集合S的三個(gè)元素a、b、c是△ABC的三邊長,那么△ABC一定不是(  ) A.銳角三角形         B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 答案:D 3.由a2,2-a,4組成一個(gè)集合

18、A,A中含有3個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的取值可以是(  ) A.1      B.-2 C.6       D.2 答案:C 點(diǎn)評:本題主要考查集合元素的性質(zhì).當(dāng)所描述的對象明確的時(shí)候就能構(gòu)成集合,若元素不明確就不能構(gòu)成集合,稱為元素的確定性;同時(shí),一個(gè)集合中的元素是互不相同的,稱為元素的互異性;此外還要注意元素的無序性. 例2 用列舉法表示下列集合: (1)小于10的所有自然數(shù)組成的集合; (2)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合; (3)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合. 活動(dòng)探究:講解例2的過程中,可以設(shè)計(jì)如下問題引導(dǎo)學(xué)生: 針對例2(1):①自然數(shù)中是否含

19、有0?②小于10的自然數(shù)有哪些?③如何用列舉法表示小于10的所有自然數(shù)組成的集合? 針對例2(2):①解一元二次方程的方法有哪些?分別是什么?②方程x2=x的解是什么?③如何用列舉法表示方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合? 針對例2(3):①如何判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)(即質(zhì)數(shù)的定義是什么)?②1~20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有哪些?③如何用列舉法表示由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合? 在用列舉法表示集合的過程中,應(yīng)讓學(xué)生先明確集合中的元素,再把元素寫入“{ }”內(nèi),并用逗號隔開. 解:(1)小于10的自然數(shù)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,設(shè)小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A,那么A={0,

20、1,2,3,4,5,6,7,8,9}; (2)方程x2=x的兩個(gè)實(shí)根為x1=0、x2=1,設(shè)方程x2=x的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為B,那么B={0,1}; (3)1~20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19,設(shè)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合為C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 點(diǎn)評:本題主要考查了集合表示法中的列舉法,通過本題的教學(xué)可以體會(huì)利用集合表示教學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性. 變式訓(xùn)練 1.用列舉法表示下列集合: (1)一年之中的四個(gè)季節(jié)組成的集合; (2)滿足不等式1<1+2x<19的素?cái)?shù)組成的集合. 答案:(1){春季,夏季,秋季,冬

21、季}; (2){2,3,5,7}. 2.已知集合A={x∈N|∈N},試用列舉法表示集合A. 解:由題意可知6-x是8的正約數(shù),當(dāng)6-x=1時(shí),x=5;當(dāng)6-x=2時(shí),x=4;當(dāng)6-x=4時(shí),x=2;當(dāng)6-x=8時(shí),x=-2;而x≥0,∴x=2,4,5,即A={2,4,5}. 點(diǎn)評:變式訓(xùn)練1主要對列舉法進(jìn)行了考查;變式訓(xùn)練2考查了兩個(gè)方面的知識點(diǎn),一是元素與集合的關(guān)系,二是列舉法的應(yīng)用,體現(xiàn)了對知識綜合應(yīng)用的能力. 例3 試分別用列舉法和描述法表示下列集合: (1)方程x2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合; (2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合. 活動(dòng)探究:講

22、解例3的過程中,可以設(shè)計(jì)如下問題引導(dǎo)學(xué)生: 針對例3(1)——列舉法 ①方程x2-2=0的解是什么? ②如何用列舉法表示方程x2-2=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合? 針對例3(1)——描述法 ①描述法的定義是什么? ②所求集合中元素有幾個(gè)共同特征?分別是什么? ③如何用描述法表示所求集合? 針對例3(2)——列舉法 ①大于10小于20的所有整數(shù)有哪些? ②由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合用列舉法如何表示? 針對例3(2)——描述法 ①所求集合中元素有幾個(gè)共同特征?分別是什么? ②如何用描述法表示所求集合? 解:(1)設(shè)方程x2-2=0的實(shí)數(shù)根為x,并且滿足x2-2

23、=0,因此,用描述法表示為A={x∈R|x2-2=0};方程x2-2=0的兩個(gè)實(shí)根為x1=-、x2=,因此,用列舉法表示為A={-,}. (2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x,它滿足條件x∈Z且10<x<20,因此,用描述法表示為B={x∈Z|10<x<20};大于10小于20的整數(shù)有11、12、13、14、15、16、17、18、19,因此,用列舉法表示為{11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 點(diǎn)評:例2和例3是通過“問題引導(dǎo)”的方式,使學(xué)生逐步逼近答案的過程.在此過程中,既幫助學(xué)生理清了解答問題的基本思路,又使得列舉法和描述法在實(shí)例中得到進(jìn)一步

24、的鞏固. 變式訓(xùn)練 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)Welcome中的所有字母組成的集合; (2)由所有小于20的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的正整數(shù)組成的集合; (3)由所有非負(fù)偶數(shù)組成的集合; (4)直角坐標(biāo)系內(nèi)第三象限的點(diǎn)組成的集合; (5)不等式2x-3>2的解集. 解:(1)列舉法:{W,e,l,c,o,m}; (2)列舉法:{3,5,7,11,13,17,19}; (3)描述法:{x|x=2n,n∈N}; (4)描述法:{(x,y)|x<0且y<0}; (5)描述法:{x|x>2.5}. 課后練習(xí)1、2. 【補(bǔ)充練習(xí)】 本節(jié)學(xué)習(xí)了

25、:(1)集合的含義;(2)集合中元素的性質(zhì);(3)元素與集合的關(guān)系;(4)集合的表示方法. 習(xí)題1.1A組3、4 本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)是以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求為指導(dǎo),結(jié)合生活中的一些實(shí)例,重視引導(dǎo)學(xué)生積極思考,主動(dòng)參與到教學(xué)中,體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.同時(shí)結(jié)合高考的要求適當(dāng)拓展了教材,使學(xué)生的發(fā)散性思維得到拓展,最大限度地挖掘了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,真正做到了對教材的“活學(xué)活用”. 集合論的誕生 集合論是德國著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.17世紀(jì),數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門新的分支:微積分.在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果.其推進(jìn)速度之快使人來不及檢查和鞏固它的理論基

26、礎(chǔ).19世紀(jì)初,許多迫切問題得到解決后,出現(xiàn)了一場重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng).正是在這場運(yùn)動(dòng)中,康托爾開始探討了前人從未碰過的實(shí)數(shù)點(diǎn)集,這是集合論研究的開端.到1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念.他對集合所下的定義是:把若干確定的有區(qū)別的(不論是具體的或抽象的)事物合并起來,看作一個(gè)整體,就稱為一個(gè)集合,其中各事物稱為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日. 康托爾把無窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué).對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子.“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡稱作自然數(shù)集,用字母N來表示.”學(xué)過集合的所有人應(yīng)

27、該對這句話不會(huì)感到陌生.但在接受這句話時(shí)我們根本無法想到當(dāng)年康托爾如此做時(shí)是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無窮觀念的工作.在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無限看作永遠(yuǎn)在延伸著的,一種變化著成長著的東西來解釋.無限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中,永遠(yuǎn)完成不了,是潛在的,而不是實(shí)在.這種關(guān)于無窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱為潛無限.18世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn).由于潛無限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利,康托爾的實(shí)無限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評與攻擊是不足為怪的.然而康托爾并未就此止步,他以前所未有的方式,繼續(xù)正面探討無窮.他提出用一一對應(yīng)準(zhǔn)則來比較無窮集元素的個(gè)數(shù).他把元素間能建立一一對應(yīng)的集合稱為個(gè)數(shù)相同,用他自己的概念是等勢

28、.由于一個(gè)無窮集可以與它的真子集建立一一對應(yīng)關(guān)系——也就是說無窮集可以與它的真子集等勢,即具有相同的個(gè)數(shù).這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾.而康托爾認(rèn)為這恰恰是無窮集的特征.在此意義上,自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個(gè)數(shù),他將其稱為可數(shù)集.又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢,因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來當(dāng)他又證明了實(shí)數(shù)集合也是可數(shù)集時(shí),一個(gè)很自然的想法是無窮集是清一色的,都是可數(shù)集.但出乎意料的是,他在1873年證明了實(shí)數(shù)集的勢大于自然數(shù)集.有人嘲笑集合論是一種“疾病”,有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”,稱“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”. 然而集合論前后經(jīng)歷二十余年,最終獲得了世界公認(rèn).在19

29、00年第二次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上,著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了.從康托爾提出集合論至今,時(shí)間已經(jīng)過去了一百多年,在這一段時(shí)間里,數(shù)學(xué)又發(fā)生了極其巨大的變化,包括對上述經(jīng)典集合論作出進(jìn)一步發(fā)展的模糊集合論的出現(xiàn)等等.而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的.因而當(dāng)現(xiàn)在回頭去看康托爾的貢獻(xiàn)時(shí),我們?nèi)匀豢梢砸卯?dāng)時(shí)著名數(shù)學(xué)家對他的集合論的評價(jià)作為我們的總結(jié).“它是對無限最深刻的洞察,它是數(shù)學(xué)天才的最優(yōu)秀作品,是人類純智力活動(dòng)的最高成就之一.康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數(shù)學(xué)的最令人不安的獨(dú)創(chuàng)性貢獻(xiàn).” 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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