湖南省長(zhǎng)沙市高二數(shù)學(xué) 暑假作業(yè)13 集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)單元檢測(cè)3 理 湘教版

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1、 作業(yè)13：集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)單元檢測(cè)三 參考時(shí)量：60分鐘 完成時(shí)間： 月 日 一、選擇題（每小題5分，共30分） 1、函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，若，設(shè)， ，，則（ B ） A． B． C． D． 2、設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1為函數(shù)f(x)ex的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖象不可能為y＝f(x)的圖象是(　　)D 3、由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cosx所圍成的封閉圖形的面積為(　　)D A. B．1 C. D. 4、若函數(shù)在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間

2、內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍 （ ）B A． B． C． D． 5、已知對(duì)R，函數(shù)都滿足，且當(dāng)時(shí)，，則 （ ）D 2,4,6 A． B． C． D． 6、已知α、β是三次函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋2bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，則的取值范圍是(　　)A A.　 B. C. D. 二、填空題（每小題5分，共25分） 7、設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，則的值為 -2 . 8、已知函數(shù)f(x)＝ex－2x＋a有零點(diǎn)，則a的取

3、值范圍是________．a(chǎn)∈(－∞，2ln2－2]． 9、函數(shù)f(x)＝x3－3x-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是 （－2,2） 10、如圖，從點(diǎn)P1(0,0)作x軸的垂線交曲線y＝ex于點(diǎn)Q1(0,1)，曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2.現(xiàn)從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk,0)(k＝1,2，…，n)． (1)xk與xk－1的關(guān)系(2≤k≤n)為 xk＝xk－1－1(2≤k≤n)． (2)|P1Q1|＋|P2Q2|＋

4、|P3Q3|＋…＋|PnQn|= 三、解答題（每小題15分，共45分） 11、設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b為常數(shù)，已知曲線y＝f(x)與y＝g(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線l. (1)求a、b的值，并寫出切線l的方程； (2)若方程f(x)＋g(x)＝mx有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、x1、x2，其中x1

5、(x)在點(diǎn)(2,0)處有相同的切線， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1. 由此得解得 所以a＝－2，b＝5，切線l的方程為x－y－2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2， 所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x. 依題意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三個(gè)互不相同的實(shí)根0、x1、x2， 故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的兩相異的實(shí)根． 所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－. 又對(duì)任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)

6、0. 由韋達(dá)定理，可得x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0， 故00， 則f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0， 又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0， 所以函數(shù)f(x)＋g(x)－mx在x∈[x1，x2]的最大值為0. 于是當(dāng)－

7、x1))，B(x2，f(x2))的直線的斜率為k.問(wèn)：是否存在a，使得k＝2－a？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解答】 (1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f′(x)＝1＋－＝. 令g(x)＝x2－ax＋1，其判別式Δ＝a2－4. ①當(dāng)|a|≤2時(shí)，Δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ②當(dāng)a<－2時(shí)，Δ>0，g(x)＝0的兩根都小于0. 在(0，＋∞)上，f′(x)>0. 故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． ③當(dāng)a>2時(shí)，Δ>0，g(x)＝0的兩根為x1＝，x2＝. 當(dāng)00；當(dāng)x1

8、)<0；當(dāng)x>x2時(shí)，f′(x)>0. 故f(x)分別在(0，x1)，(x2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(x1，x2)上單調(diào)遞減． (2)由(1)知，a>2. 因?yàn)閒(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(lnx1－lnx2)，所以， k＝＝1＋－a. 又由(1)知，x1x2＝1，于是 k＝2－a. 若存在a，使得k＝2－a，則＝1. 即lnx1－lnx2＝x1－x2. 亦即x2－－2lnx2＝0(x2>1)．(*) 再由(1)知，函數(shù)h(t)＝t－－2lnt在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而x2>1，所以x2－－2lnx2>1－－2ln1＝0.這與(*)式矛盾． 故不存在a，使

9、得k＝2－a. 13、已知函數(shù) （I）求函數(shù)在上的最小值； （II）對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （III）求證：對(duì)一切，都有 解：（I）f ′（x）＝lnx＋1，當(dāng)x∈（0，），f ′（x）＜0，f （x）單調(diào)遞減， 當(dāng)x∈（，＋∞），f ′（x）＞0，f （x）單調(diào)遞增． ……2分 ①0＜t＜t＋2＜，t無(wú)解；②0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜時(shí)，f （x）min＝f （）＝－； ③≤t＜t＋2，即t≥時(shí)，f （x）在［t，t＋2］上單調(diào)遞增，f （x）min＝f （t）＝tlnt； 所以f （x）min＝． ……5分 （II）2xlnx≥－x2＋a

10、x－3，則a≤2lnx＋x＋， ……6分 設(shè)h （x）＝2lnx＋x＋（x＞0），則h′ （x）＝，x∈（0，1），h′ （x）＜0，h （x）單調(diào)遞減， x∈（1，＋∞），h′ （x）＞0，h （x）單調(diào)遞增，所以h （x）min＝h （1）＝4， 因?yàn)閷?duì)一切x∈（0，＋∞），2f （x）≥g （x）恒成立，所以a≤h （x）min＝4． ……10分 （III）問(wèn)題等價(jià)于證明xlnx＞－（x∈（0，＋∞））， 由（I）可知f （x）＝xlnx（x∈（0，＋∞））的最小值是－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取到． 設(shè)m （x）＝－（x∈（0，＋∞）），則m ′（x）＝， 易得m （x）max＝m （1）＝－，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取到， 從而對(duì)一切x∈（0，＋∞），都有l(wèi)nx＞－． ……13分 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375