高中物理 第6章 相對(duì)論與天體物理 6.3 廣義相對(duì)論初步教案 魯科版選修34

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1、 廣義相對(duì)論初步 狹義相對(duì)論在慣性系里研究物理規(guī)律,不能處理引力問題。 1915年,愛因斯坦在數(shù)學(xué)家的協(xié)助下,把相對(duì)性原理從慣性系推廣到任意參照系,發(fā)表了廣義相對(duì)論。由于這個(gè)理論過于抽象,數(shù)學(xué)運(yùn)算過于復(fù)雜,這里只做個(gè)大概描述。 2.6.1、 非慣性系與慣性力 牛頓運(yùn)動(dòng)定律在慣性系里才成立,在相對(duì)慣性系做加速運(yùn)動(dòng)的參照系(稱非慣性系)里,會(huì)出現(xiàn)什么情況呢?例如,在一列以加速度 做直線運(yùn)動(dòng)的車廂里,有一個(gè)質(zhì)量為m的小球,小球保持靜止?fàn)顟B(tài),小球所受合外力為零,符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律。相對(duì)于非慣性系的車廂來觀測(cè),小球以加速度-向后運(yùn)動(dòng),而小球沒有受到其他物體力的作用,牛頓運(yùn)動(dòng)定律不再成立。

2、 不過,車廂里的人可以認(rèn)為小球受到一向后的力,把牛頓運(yùn)動(dòng)定律寫為。這樣的力不是其他物體的作用,而是由參照系是非慣性系所引起的,稱為慣性力。如果一非慣性系以加速度相對(duì)慣性系而運(yùn)動(dòng),則在此非慣性里,任一質(zhì)量為m的物體受到一慣性力,把慣性力計(jì)入在內(nèi),在非慣性里也可以應(yīng)用牛頓定律。當(dāng)汽車拐彎做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),相對(duì)于地面出現(xiàn)向心加速度,相對(duì)于車廂人感覺向外傾倒,常說受到了離心力,正確地說應(yīng)是慣性離心力,這就是非慣性系中出現(xiàn)的慣性力。 2.6.2、 慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量 根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律,力一定時(shí),物體的加速度與質(zhì)量成反比,牛頓定律中的質(zhì)量度量了物體的慣性,稱為慣性質(zhì)量,以為符號(hào),有

3、 根據(jù)萬有引力定律,兩物體(質(zhì)點(diǎn))間的引力和它們的質(zhì)量乘積成正比。萬有引力定律中的質(zhì)量,類似于庫侖定律中的電荷,稱為引力質(zhì)量,以為符號(hào)。 慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量是兩個(gè)不同的概念,沒有必然相等的邏輯關(guān)系,它們是否相等,應(yīng)由實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)。本世紀(jì)初,匈牙利物理學(xué)家厄缶應(yīng)用扭秤證明,只要單位選擇恰當(dāng),慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量相等,實(shí)驗(yàn)精度達(dá)。后來,人們又把兩者相等的實(shí)驗(yàn)精度提高到。 設(shè)一物體在地面上做自由落體運(yùn)動(dòng),此物體的慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量分別為和,以代表地球的引力質(zhì)量,根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律,有 , 式中G為萬有引力常量,R為地球半徑,g為物體下落的加速度。

4、因?yàn)?,所以,與物體的質(zhì)量無關(guān)。這就是伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)論。 既然慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等,就可以簡單地應(yīng)用質(zhì)量一詞,并應(yīng)用相同的單位。質(zhì)量也度量了物質(zhì)的多少。 2.6.3、 廣義相對(duì)論的基本原理 愛因斯坦提出廣義相對(duì)論,主要依據(jù)就是引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的實(shí)驗(yàn)事實(shí)。既然引力質(zhì)量和慣性相等,就無法把加速坐標(biāo)系中的慣性力和引力區(qū)分開來。比如,在地面上,物體以的加速度向下運(yùn)動(dòng)。這是地球引力作用的結(jié)果。設(shè)想在沒有引力的太空,一個(gè)飛船以做直線運(yùn)動(dòng)(現(xiàn)在可以做到),宇航員感受到慣性力,力的方向與a的方向相反,這時(shí)他完全可以認(rèn)為是受到引力的作用。勻加速的參照系與均勻引力場等效,這是愛因斯坦提出的等

5、效原理的特殊形式。因?yàn)橐|(zhì)量和慣性質(zhì)量相等,所以,在均勻引力場中,不同的物體以相同的加速度運(yùn)動(dòng)。這也是伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。它可一般敘述為:在引力場中,如無其他力作用,任何質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律都相同。這是等效原理的另一種表述。 由于等效原理,相對(duì)于做加速運(yùn)動(dòng)的參照系來觀測(cè),任一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律都是引力作用的結(jié)果,具有相同的規(guī)律形式。愛因斯坦進(jìn)一步假設(shè),相對(duì)任何一種坐標(biāo)系,物理學(xué)的基本規(guī)律都具有相同的形式。這個(gè)原理表明,一切參照系都是平等的,所以又稱為廣義協(xié)變性原理。 等效性原理和廣義協(xié)變性原理是廣義相對(duì)論的基本原理。 圖 2-6-1 水星 2.6.4、 廣義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

6、 在廣義相對(duì)論的基本原理下,應(yīng)建立新的引力理論和運(yùn)動(dòng)定律,愛因斯坦完成了這個(gè)任務(wù)。這樣,牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律成為一定條件下廣義相對(duì)論的近似規(guī)律。根據(jù)廣義相對(duì)論得出的許多重要結(jié)論,有一些已得到實(shí)驗(yàn)證實(shí)。下面介紹幾例。 1、日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng) 按照牛頓引力理論,水星繞日作橢圓運(yùn)動(dòng),軌道不是嚴(yán)格封閉的,軌道離太陽最近的點(diǎn)(近日點(diǎn))也在做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),稱為水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng),如圖2-6-1所示。理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的水星軌道長軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速率有差異。牛頓的引力理論不能正確地給予解釋,而廣義相對(duì)論的計(jì)算結(jié)果與觀測(cè)值符合。愛因斯坦當(dāng)年給朋友寫信說:“方程給出了進(jìn)動(dòng)的正確數(shù)字,你可以想象我有多高興,有好些天,我高

7、興得不知怎樣才好?!? 2、光線的引力偏折 在沒有引力存在的空間,光沿直線行進(jìn)。在引力作用下,光線不再沿直線傳播。比如,星光經(jīng)過太陽附近時(shí),光線向太陽一側(cè)偏折,如圖2-6-2所示。這已在幾次日蝕測(cè)量中得到了證實(shí),證明廣義相對(duì)論的計(jì)算偏折δ 星球 太陽 圖2-6-2 角與觀測(cè)值相符合。 3、光譜線的引力紅移 按照廣義相對(duì)論,在引力場強(qiáng)的地方,鐘走得慢,在引力場弱的地方,鐘走得快。原子發(fā)光的頻率或波長。可視為鐘的節(jié)奏。引力場存在的地方,原子譜線的波長加大,引力場越強(qiáng),波長增加的量越大,稱這個(gè)效應(yīng)為引力紅移。引力紅移早已為恒星的光譜測(cè)量所證實(shí)。20世紀(jì)60年代,由于大大提高了時(shí)間

8、測(cè)量的精度,即使在地面上幾十米高的地方由引力場強(qiáng)的差別所造成的微小引力紅移,也已經(jīng)精確地測(cè)量出來。這再一次肯定了廣義相對(duì)論的正確性。 4、引力波的存在 廣義相對(duì)論預(yù)言,與電磁波相似,引力場的傳播形成引力波。星體作激烈的加速運(yùn)動(dòng)時(shí),發(fā)射引力波。引力波也以光的速度傳播。雖然還沒有直接的實(shí)驗(yàn)證據(jù),但后來對(duì)雙星系統(tǒng)的觀測(cè),給出了引力波存在的間接證據(jù)。 廣義相對(duì)論建立的初期并未引起人們的足夠重視,后來在天體物理中發(fā)現(xiàn)了許多廣義相對(duì)論對(duì)天體物理的預(yù)言,如脈沖星、致密X射線源、類星體等新奇天象的發(fā)現(xiàn)以及微波背景輻射的發(fā)現(xiàn)等。這些發(fā)現(xiàn)一方面證實(shí)了廣義相對(duì)論的正確性,另一方面也大大促進(jìn)了相對(duì)論的進(jìn)一步發(fā)

9、展。 本章典型例題 例1、放射性物質(zhì)的原子放射出兩個(gè)沿相反方向運(yùn)動(dòng)的電子。在實(shí)驗(yàn)室中測(cè)出每個(gè)電子的速率為0.6c,c是光速。今以一個(gè)電子為參照物,另一個(gè)電子的速率是多大?(1)用伽利略變換進(jìn)行計(jì)算;(2)用洛侖茲變換進(jìn)行計(jì)算。并指出哪個(gè)不合理。 y x 圖2-6-3 解: (1)設(shè)向右運(yùn)動(dòng)的電子為系,則按伽利略變換,在系中看另一電子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c,這與光速不變的實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾,所以是不合理的。 (2)設(shè)實(shí)驗(yàn)室為參照系S,一個(gè)電子參照系為,則相對(duì)于S系的速度是0.6c,另一個(gè)電子相對(duì)于S系的速度為-0.6c,按洛侖茲變換,另一個(gè)電子相對(duì)于系

10、的速度是,則 = = 這就是說,以一個(gè)電子為參照物看另一個(gè)電子的速度是0.88c<c,即小于光速,與實(shí)驗(yàn)相符合,是合理的。 例2、有一條河寬為l,其河水流速是v,船相對(duì)河水的速度為,且。今有

11、船A和B分別沿圖2-6-4(a)中所示路徑往返一次,求各需要時(shí)間多少?哪條船需時(shí)長些? 圖2-6-4 A B v (a) S y v x yˊ (b) 解 本題是經(jīng)典力學(xué)問題,用力伽利略變換處和即可。設(shè)岸的坐標(biāo)系為S,河水的坐標(biāo)系為,如圖2-6-4(b)所示,若船相對(duì)岸的速度為u,則對(duì)于A船 , , . 由伽利略變換知:,則.而 = = 所以A船往返一次所需時(shí)間為 對(duì)于B船,相對(duì)于岸的往返速度分別為和,所以其往反一次所需要的時(shí)間為 因?yàn)?,所?按和展為冪級(jí)數(shù)的公式有

12、 = = 所以 , 故,即B往返一次的時(shí)間比A船往返一次的時(shí)間要長。 y S O x v Oˊ xˊ 圖2-6-5 圖2-5 例3、一個(gè)中微子在慣性系S中沿+y方向以光速c運(yùn)動(dòng),求對(duì)S系以速度v沿+x方向運(yùn)動(dòng)的觀察者所觀測(cè)到的中微子的速度和方向怎樣? 解: 設(shè)運(yùn)動(dòng)觀察者為系,他所看到的中微子的速度分量為, ,,則按洛侖茲變換 = = (令) = 因此, 即運(yùn)動(dòng)中的觀測(cè)者測(cè)得中微子的速度仍是c,中

13、微子的運(yùn)動(dòng)方向是 即中微子運(yùn)動(dòng)方向與軸的夾角。 例4、試證明:物體的相對(duì)論能量E與相對(duì)論動(dòng)量P的量值之間有如下關(guān)系: 證明:E- pc=(mc)-(mvc) =mc( c- v)=( c- v) = c - v)= mc=E E=pc+ E 讀者可試為之,從E- E入手證明它等于pc。 例5、一個(gè)靜止質(zhì)量為m的粒子以速率 v=運(yùn)動(dòng),它和一個(gè)同類的靜止粒子進(jìn)行完全非彈性碰撞。求: (1)復(fù)合粒子的速率。 (2)復(fù)合粒子的靜止質(zhì)量。 解: 在微觀領(lǐng)域相對(duì)論動(dòng)量守恒、相對(duì)論能量守恒。故有

14、 ① ② ③ 將③代入②得: ④ ③與④代入①得: 即復(fù)合粒子的速率為,靜止質(zhì)量為。 例6、求證:在伽利略變換下,質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理具有不變性。 證明:在S系中, 兩邊同時(shí)作定積分得: 這就是S系中質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的數(shù)學(xué)公式。在系中 兩邊同時(shí)作定積分可得: 這就是系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的數(shù)學(xué)公式。為回避高等數(shù)學(xué),可設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿x軸正方向,在平行于x軸的恒定的合外力F作用下作勻加速直線運(yùn)動(dòng)。經(jīng)過時(shí)間t,速度從增大到,根據(jù)牛頓第二定律在S系中

15、有 整理得: 這就是S系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。在系中, 即 此即系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。 例7、一個(gè)靜止質(zhì)量為M的物體靜止在實(shí)驗(yàn)室中,裂變?yōu)殪o止質(zhì)量為和的兩部分,試求裂變產(chǎn)物的相對(duì)論動(dòng)能和。 解:根據(jù)相對(duì)論能量守恒有 化簡得: ① 根據(jù)相對(duì)論動(dòng)量守恒有 ② 但 將 和 代入②式化簡得: ③ 由①、③兩式可解得: ,, 例8、愛因斯坦的“等效原理”指出,

16、在不十分大的空間范圍和時(shí)間間隔內(nèi),慣性系中引力作用下的物理規(guī)律與沒有引力但有適當(dāng)加速度的非慣性系中的物理規(guī)律是相同的。現(xiàn)在研究以下問題。 (1)試從光量子的觀點(diǎn)出發(fā),討論在地面附近的重力場中,由地面向離地面的距離為L處的接收器發(fā)射頻率為的激光與接收器接收到的頻率v之間的關(guān)系。 (2)假設(shè)地球物體沒有引力作用,現(xiàn)在一以加速度a沿直線做勻加速運(yùn)動(dòng)的箱子中做一假想實(shí)驗(yàn)。在箱尾和箱頭處分別安裝一適當(dāng)?shù)募す獍l(fā)射器和激光接收器,兩者間的距離為L,現(xiàn)從發(fā)射器向接收器發(fā)射周期為的激光。試從地面參考系的觀點(diǎn)出發(fā),求出位于箱頭處的接收器所到的激光周期T。 (3)要使上述兩個(gè)問題所得到的結(jié)論是完全等價(jià)的。則問

17、題(2)中的箱子的加速度的大小和方向應(yīng)如何? 解: (1)對(duì)于能量為的光子,其質(zhì)量,在重力場中,當(dāng)該光子從地面到達(dá)接收器時(shí),增加的重力勢(shì)能為mgh。由能量守恒得 得 (2)設(shè)t=0時(shí)刻,箱子從靜止開始加速,同時(shí),激光光波的某一振動(dòng)狀態(tài)從發(fā)射器發(fā)出,任何時(shí)刻t,發(fā)射器和接收器的位置分別為 所考察的振動(dòng)狀態(tài)的位置和比該振動(dòng)狀態(tài)晚一個(gè)周期的振動(dòng)狀態(tài)的位置分別為: x=ct 設(shè)所考察的振動(dòng)狀態(tài)在時(shí)刻到達(dá)接收器,則有 解得 比所考察的振動(dòng)狀態(tài)晚一個(gè)周期發(fā)出的振動(dòng)狀態(tài)到達(dá)接收器的時(shí)刻為,則有 解得

18、 接收器接收到的激光的周期為 T=t-t =( (3) 比較上述兩式得a=g,即“箱子”的加速度a=g方向豎直向上。 例9、考慮不用發(fā)射到繞太陽運(yùn)動(dòng)的軌道上辦法,要在太陽系建立一個(gè)質(zhì)量為m的靜止空間站。這個(gè)空間站有一個(gè)面向太陽的大反射面(反射系數(shù)為1),來自太陽的輻射功率L產(chǎn)生的輻射壓力使空間站受到一個(gè)背離太陽的力,此力與質(zhì)量為的太陽對(duì)空間站的萬有引力方向相反,大小相等,因而空間站處于平衡狀態(tài)。忽略行星對(duì)該站的作用力,求: (1)此空間站反射面的面積A。 (2)平衡條件和太陽與空間站之間的距離是否有關(guān)? (3)設(shè)反射面是邊長為d的正方形,空

19、間站的質(zhì)量為千克,確定d之值。已知太陽的輻射功率是瓦。太陽質(zhì)量為千克。 解: (1)設(shè)空間站與太陽的距離為r,則太陽輻射在空間站反射面上單位面積內(nèi)的功率即光強(qiáng),太陽光對(duì)反射面產(chǎn)生的壓強(qiáng)是光子的動(dòng)量傳遞給反射面的結(jié)果,這一光壓為 于是反射面受到的輻射壓力 太陽對(duì)空間站的萬有引力為 式中G為萬有引力常數(shù),在空間站處于平衡狀態(tài)時(shí),,即 這就得到,反射面的面積 (2)由上面的討論可知,由于輻射壓力和太陽引力都與成反比,因而平衡條件與太陽和空間站的距離r無關(guān)。 (3)若A=。并以題給數(shù)據(jù)代入前式得到 米。 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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