高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)15 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 新人教A版選修21

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(十五) 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A，B，C，D，已知(＋－2DA)·(－)＝0，則△ABC是(　　) A．直角三角形　　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 B　[因?yàn)椋?＝(－)＋(－)＝＋ 所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0 所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形．] 2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，則(　　) A．m∥n B．m⊥n C．m不平行于n，m也不垂

2、直于n D．以上三種情況都有可能 B　[由題意知，m·a＝0，m·b＝0，則m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μ m·b＝0. 因此m⊥n.] 3．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則·的值為(　　) A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2 C　[·＝(＋)·AD＝(·＋·)＝＝a2.] 4．已知空間四邊形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，則AB與CD所成的角是(　　)

3、 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342143】 A．30° B．45° C．60° D．90° C　[根據(jù)已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴AB與CD所成的角為60°.] 5.如圖3­1­24，已知平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC＝(　　) 圖3­1­24 A．3 B．7 C．4 D

4、．6 B　[||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49. 所以||＝7.] 二、填空題 6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，則使向量a＋λb與λa－2b的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________． (－1－，－1＋)　[由題意知 即 得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－<λ<－1＋.] 7.如圖3­1­25，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，

5、則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________． 圖3­1­25 90°　[不妨設(shè)棱長為2，則1＝－，＝＋， cos〈，〉＝ ＝＝0，故填90°.] 8．如圖3­1­26所示，在一個(gè)直二面角α­AB­β的棱上有A，B兩點(diǎn)，AC，BD分別是這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342144】 圖3­1­26 2　[∵＝＋＋＝－＋，∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·

6、;－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.] 三、解答題 9．如圖3­1­27，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)．求證：A1O⊥平面BDG. 圖3­1­27 [證明]　設(shè)＝a，＝b，＝C． 則a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0. 而＝＋ ＝＋(＋) ＝c＋(a＋b)， ＝－＝b－a， ＝＋ ＝(＋)＋ ＝(a＋b)－C． ∴·＝·(b－a) ＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)

7、＝c·b－c·a＋(b2－a2) ＝(|b|2－|a|2)＝0. ∴⊥. ∴A1O⊥BD． 同理可證⊥. ∴A1O⊥OG. 又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG， ∴A1O⊥平面BDG. 10．已知長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，試計(jì)算：(1)·；(2)·；(3)·. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342145】 [解]　如圖所示，設(shè)＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. (

8、1)·＝·(＋) ＝· ＝b· ＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(＋) ＝·(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)·＝(＋)·(＋) ＝· ＝· ＝(－a＋b＋c)· ＝－|a|2＋|b|2＝2. [能力提升練] 1．已知邊長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則·的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[＝＋＝＋(

9、＋)＝＋(＋)，而＝＋，則·＝(2＋2)＝1，故選C．] 2．已知a，b是兩異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，則直線a，b所成的角為(　　) A．30° B．60° C．90° D．45° B　[由于＝＋＋，則·＝(＋＋)·＝2＝1. cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.] 3．已知正三棱柱ABC­DEF的側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點(diǎn)，若直線CF上有一點(diǎn)N，使MN⊥AE，則＝________. 　[設(shè)＝m，由于＝＋，＝＋m， 又

10、83;＝0， 得×1×1×＋4m＝0， 解得m＝.] 4．已知在正四面體D­ABC中，所有棱長都為1，△ABC的重心為G，則DG的長為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342146】 　[如圖，連接AG并延長交BC于點(diǎn)M，連接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM， ∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.] 5．如圖3­1­28，

11、正四面體V­ABC的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M. 圖3­1­28 (1)求證：AO，BO，CO兩兩垂直； (2)求〈，〉． [解]　(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，正四面體的棱長為1， 則＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)， ＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos 60°－9)＝0， 所以⊥，即AO⊥BO. 同理，AO⊥CO，BO⊥CO. 所以AO，BO，CO兩兩垂直

12、． (2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝＝. 又||＝＝， ·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝. 又〈，〉∈(0，π)，所以〈，〉＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375