高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評2 推理與證明 新人教A版選修12

章末綜合測評(二) 推理與證明(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程是()A歸納推理B類比推理C演繹推理 D非以上答案C根據(jù)演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，故選C.2在ABC中，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，則有EFBC，這個問題的大前提為() 【導(dǎo)學(xué)號：48662104】A三角形的中位線平行于第三邊B三角形的中位線等于第三邊的一半CEF為中位線DEFBCA這個三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為ABC的中位線；結(jié)論：EFBC.3在ABC中，tan AtanB1，則ABC是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定Atan AtanB1，A，B只能都是銳角，tan A0，tanB0,1tan AtanB0.tan (AB)0.AB是鈍角角C為銳角故選A.4下列推理正確的是()A把a(bǔ)(bc)與loga(xy)類比，則有l(wèi)oga(xy)logaxlogayB把a(bǔ)(bc)與sin (xy)類比，則有sin (xy)sin xsin yC把a(bǔ)(bc)與axy類比，則有axyaxayD把(ab)c與(xy)z類比，則有(xy)zx(yz)D(xy)zx(yz)是乘法的結(jié)合律，正確5已知abc0，則abbcca的值() 【導(dǎo)學(xué)號：48662105】A大于0 B小于0C不小于0 D不大于0D因為abc0，所以a2b2c22ab2ac2bc0，所以abbcca0.故選D.6對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；ab與bc及ac中至少有一個成立；ac，bc，ab不能同時成立其中判斷正確的個數(shù)為()A0個 B1個C2個 D3個B若(ab)2(bc)2(ca)20，則abc，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故正確ab與bc及ac中最多只能有一個成立，故不正確由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個數(shù)相等或三個數(shù)都互不相等，故不正確7我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體下列幾何體中，一定屬于相似體的有() 【導(dǎo)學(xué)號：48662106】兩個球體；兩個長方體；兩個正四面體；兩個正三棱柱；兩個正四棱錐A4個 B3個C2個 D1個C類比相似形中的對應(yīng)邊成比例知，屬于相似體8觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10()A28 B76C123 D199C利用歸納法，ab1，a2b23，a3b3431，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和9對任意的銳角，下列不等式中正確的是() 【導(dǎo)學(xué)號：48662107】Asin ()sin sin Bsin ()cos cos Ccos ()sin sin Dcos ()cos cos D因為，為銳角，所以0，所以cos cos()又cos 0，所以cos cos cos()10在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1a2ana1a2a19n(n<19且nN*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若b111，則有()Ab1b2bnb1b2b19nBb1b2bnb1b2b21nCb1b2bnb1b2b19nDb1b2bnb1b2b21nB令n10時，驗證即知選B.11將石子擺成如圖1的梯形形狀稱數(shù)列5,9,14,20，為“梯形數(shù)”根據(jù)圖形的構(gòu)成，此數(shù)列的第2 018項與5的差，即a2 0185()圖1A20232018 B20232017C10122016 D10122017Dan5表示第n個梯形有n1層點(diǎn)，最上面一層為4個，最下面一層為n2個an5，a2 01852 0171 012.12如圖2中(1)，在ABC中，ABAC于點(diǎn)A，ADBC于點(diǎn)D，則有AB2BDBC，類似地有命題：如圖(2)，在三棱錐ABCD中，AD面ABC，若A在BCD內(nèi)的射影為O，則SSBCOSBCD，那么上述命題() 【導(dǎo)學(xué)號：48662108】圖2A是真命題B增加條件“ABAC”后才是真命題C是假命題D增加條件“三棱錐ABCD是正三棱錐”后才是真命題A由已知垂直關(guān)系，不妨進(jìn)行如下類比：將題圖(2)中的ABC，BCO，BDC分別與題圖(1)中的AB，BD，BC進(jìn)行類比即可嚴(yán)格推理如下：連結(jié)DO并延長交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE(圖略)，則DEBC，AEBC.因為AD面ABC，所以ADAE.又因為AODE，所以AE2EOED，所以S(BCEA)2(BCEO)(BCED)SBCOSBCD.故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在題中橫線上)13已知x，yR，且xy>2，則x，y中至少有一個大于1，在用反證法證明時，假設(shè)應(yīng)為_x，y均不大于1(或者x1且y1)“至少有一個”的反面為“一個也沒有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x1且y1”14當(dāng)n1時，有(ab)(ab)a2b2，當(dāng)n2時，有(ab)(a2abb2)a3b3，當(dāng)n3時，有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4，當(dāng)nN*時，你能得到的結(jié)論是_. 【導(dǎo)學(xué)號：48662109】(ab)(anan1babn1bn)an1bn1根據(jù)題意，由于當(dāng)n1時，有(ab)(ab)a2b2，當(dāng)n2時，有(ab)(a2abb2)a3b3，當(dāng)n3時，有(ab)(a3a2bab2b3)a4b4，當(dāng)nN*時，左邊第二個因式可知為anan1babn1bn，那么對應(yīng)的表達(dá)式為(ab)(anan1babn1bn)an1bn1.15有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_1和3法一：由題意得丙的卡片上的數(shù)字不是2和3.若丙的卡片上的數(shù)字是1和2，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和3，滿足題意；若丙的卡片上的數(shù)字是1和3，則由乙的說法知乙的卡片上的數(shù)字是2和3，則甲的卡片上的數(shù)字是1和2，不滿足甲的說法故甲的卡片上的數(shù)字是1和3.法二：因為甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因為乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1，所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3，所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3.16現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：同一平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點(diǎn)在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點(diǎn)在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為_. 【導(dǎo)學(xué)號：48662110】解法的類比(特殊化)，易得兩個正方體重疊部分的體積為.三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)用綜合法或分析法證明：(1)如果a，b>0，則lg ；(2)>22.證明(1)當(dāng)a，b>0時，有，lg lg ，lg lg ab.(2)要證>22，只要證()2>(22)2，即2>2，這是顯然成立的，所以，原不等式成立18(本小題滿分12分)下列推理是否正確？若不正確，指出錯誤之處(1)求證：四邊形的內(nèi)角和等于360.證明：設(shè)四邊形ABCD是矩形，則它的四個角都是直角，有ABCD90909090360，所以四邊形的內(nèi)角和為360.(2)已知和都是無理數(shù)，試證：也是無理數(shù)證明：依題設(shè)和都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，所以必是無理數(shù)(3)已知實(shí)數(shù)m滿足不等式(2m1)(m2)<0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x22x5m20無實(shí)根證明：假設(shè)方程x22x5m20有實(shí)根由已知實(shí)數(shù)m滿足不等式(2m1)(m2)0，解得2m，而關(guān)于x的方程x22x5m20的判別式4(m24)，2<m<，m24，<0，即關(guān)于x的方程x22x5m20無實(shí)根解(1)犯了偷換論題的錯誤，在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形(2)使用的論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個論據(jù)是假的，因為兩個無理數(shù)的和不一定是無理數(shù)，因此原題的真實(shí)性仍無法判定(3)利用反證法進(jìn)行證明時，要把假設(shè)作為條件進(jìn)行推理，得出矛盾，本題在證明過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，也沒有推出矛盾，所以不是反證法19(本小題滿分12分)觀察：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101，tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51.由以上兩式成立能得到一個從特殊到一般的推廣，此推廣是什么？并證明你的推廣. 【導(dǎo)學(xué)號：48662111】解從已知觀察到10206090，1075590，因此猜測推廣式為若，且，都不為k(kZ)，則tan tan tan tan tan tan 1.證明如下：由，得.因為tan ()tan .又因為tan ()，所以tan tan tan ()(1tan tan ) (1tan tan )，所以tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )tan tan 1tan tan tan tan 1.20(本小題滿分12分)如圖2，正三棱柱ABCA1B1C1的棱長均為a，D，E分別為C1C與AB的中點(diǎn)，A1B交AB1于點(diǎn)G.圖2(1)求證：A1BAD；(2)求證：CE平面AB1D.證明(1)連接A1D，BD，DG，三棱柱ABCA1B1C1是棱長均為a的正三棱柱，四邊形A1ABB1為正方形，A1BAB1.D是C1C的中點(diǎn)，A1C1DBCD，A1DBD，G為A1B中點(diǎn)，A1BDG.又DGAB1G，A1B平面AB1D，又AD平面AB1D，A1BAD.(2)連接GE，EGA1A，GE平面ABC.DC平面ABC，GEDC，GEDCa，四邊形GECD為平行四邊形，ECGD，又EC平面AB1D，DG平面AB1D，EC平面AB1D.21. (本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ax(a>1)(1)證明：函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)；(2)用反證法證明方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根. 【導(dǎo)學(xué)號：48662112】證明(1)法一：任取x1、x2(1，)，不妨設(shè)x1<x2，則x2x1>0，ax2x1>1且ax1>0，ax2ax1ax1(ax2x11)>0，又x11>0，x21>0，>0，于是f(x2)f(x1)ax2ax1>0，故函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)法二：f(x)axln aaxln aa>1，ln a>0，axln a>0，f(x)>0在(1，)上恒成立，即f(x)在(1，)上為增函數(shù)(2)設(shè)存在x0<0(x01)滿足f(x0)0，則ax0，且0<ax0<1.0<<1，即<x0<2，與假設(shè)x0<0矛盾故方程f(x)0沒有負(fù)數(shù)根22. (本小題滿分12分) (1)橢圓C：1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值b2a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程). 【導(dǎo)學(xué)號：48662113】解(1)證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，(x0a)依題意，得A(a,0)，B(a,0)，所以直線PA的方程為y(xa)，令x0，得yM.同理得yN.所以yMyN.又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，所以1，因此y(a2x)所以yMyNb2.因為a，yN，(a，yM)，所以a2yMyNb2a2.(2)(a2b2) 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375