常微分方程學習活動6 第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習WORD版

.常微分方程學習活動 6第三章一階線性方程組、第四章 n 階線性方程的綜合練習本課程形成性考核綜合練習共 3 次，內容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習、第二章基本定理的綜合練習、第三章和第四章的綜合練習，目的是通過綜合性練習作業(yè)，同學們可以檢驗自己的學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握 要求：首先請同學們下載作業(yè)附件文檔并進行填寫，文檔填寫完成后請在本次作業(yè)頁面中點擊“去完成”按鈕進入相應網頁界面完成任務，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會在課程中進行評分。一、填空題1若 A(x)在(-,+)上連續(xù)，那么線性齊次方程組 ， 的任一非YA)(dxnR零解在 空間 不能 與 x 軸相交nR2方程組 的任何一個解的圖象是 n+1 維空間nRYFY,),(d中的一條積分曲線3向量函數組 Y1(x), Y2(x),Yn(x)線性相關的 必要 條件是它們的朗斯期行列式 W(x)=04線性齊次微分方程組 ，的一個基本解組的個數不能多nA,d于 n+1 個5若函數組 在區(qū)間 上線性相關，則它們的朗斯基行列式 在)(21x，),(ba )(xW區(qū)間 上 恒等于 ),(ba6函數組 的朗斯基行列式 是 xycosin21 )(xWxxsincoi)(7二階方程 的等價方程組是 02yyxy218若 和 是二階線性齊次方程的基本解組，則它們 沒有 )(1xy)(2x共同零點9二階線性齊次微分方程的兩個解 , 成為其基本解組的充要條件)(1xy)(2是 線性無關 10 階線性齊次微分方程線性無關解的個數最多為 n 個11在方程 y+ p(x)y+q(x)y = 0 中，p( x), q(x)在(-,+)上連續(xù)，則它的任一非零解在xOy 平面上 可以 與 x 軸橫截相交.12二階線性方程 的基本解組是 20ye,x13線性方程 的基本解組是 cos,in14方程 的所有解構成一個 2 維線性空間02yxy15n 階線性齊次微分方程的所有解構成一個 n 維線性空間二、計算題1將下列方程式化為一階方程組（1） 0)(xgfx（2） 0)(321 yxaya1） 解 ， （2）解 )(dxgyftx0312121 )()()(ddyxayxayy2求解下列方程組：（1） （2） xyt54dyxtyd（1） 解 方程組的系數陣為 特征方程為：54Adet(A- E)= = ，5(1)90其特征根為 . 12,9當 時, ， 其中 a, b 滿足11tyez(A- E) = = 0, ab4則有 a + b = 0 取 a = 1, b = 1, 則得一特解 1tyez.同理,當 時， 29291tyez所以方程組的解為912()ttteC（2）解 方程組的系數陣為 .A特征方程為: det(A- E)= =2()0特征根為 .i當 時, 其中 a, b 滿足1i1ixey(A- E) = =0,abi故有 即 . 0iai取 ，于是方程組對應于1,bi=*1ixeycosinisttt故特征根 所對應的實解為i= , =1xycosintte2xysincotet所以方程組的解為= ()xtycsittet12C3求解下列方程組： （1） （2） xy2 zyxz2.（1）解 方程組的系數陣為 . 12A3特征方程為: det(A- E)= =2450特征根為 12,ii當 時, 其中 a, b 滿足( = 0,12i()1itxey1iab即 ()0iab第一個方程 有(1)xi2(1)0ib令 ，則ab于是由 2()(cosin)ttetyi解得通解 = .)(xt2sittcsit12C（2） 解 系數陣為12A特征方程為: det(A- E)= = .1(1)2(3)0特征根為 .123,通解解為 .23123()0tttttcxteyzt4求解下列方程組：（1） （2）ytx3d2etxyt.（1）解 方程組的系數陣為 ，其特征方程為：30A1det(A- E)= = .32()特征根為 , 方程組有如下形式的解: 12 312()txre321()tyre代入原方程組有33121212()()tt t trer消去 得 3te1220tr令 , 則 12r13txe3ty令 , 則 rt0所以方程組的解為3312()ttxteCy（2）解 首先求出相應齊次線性方程組的通解. 對應齊次方程的系數陣為 .01A其特征方程為： det(A- E)= = .1(1)0特征根為 12,當 時， ，其中 a, b 滿足(A- E) = =0, 則有 a b = 01yxte1 ab1b取 a = b =1, 則得一特解 1t同理,當 時， 21e2tyx所以對應齊次線性方程組的通解為 12()ttxtecy然后運用常數變易法計算原方程組的一個特解.將 代入原方程組，得 12()()ttxtcey 212()ttce解得 .212()()ttttttece原方程組的特解為 2122 1()() ().1ttttt tttttttt ecxteey ee所以原方程組的通解為 2121() .tttt ttecxtey5已知方程 的一個解 ，求其通解01)ln1(2yxyx xyln1解 由通解公式 ， ，*()121pxdce11l,()ln)pxx()* *(ln)1 12 2121 (l)ln()ndxpxdyceyyxcc 6試求下列 n 階常系數線性齊次方程的通解（1） （2）029yy 0)4(y（1） 解 特征方程為: 290特征根為: 。它們對應的解為 :124,545,xe方程通解為: .xxyce.（2） 解 特征方程為: 410特征根為: 1,23,42ii它們對應的解為: 2222cos,sin,cos,sinxxxxeeee方程通解為:.2 21234(i)(i)2x xyccx7試求下述各方程滿足給定的初始條件的解：（1） ， ， 04yy4)2(0)(y（2） ， ，5（1） 解 特征方程為: .2特征根為: ，方程通解為 : 1,2212()xyec由初始條件有: ,解得 .24130c428所以方程的初值解為: .24(1)xyeex（2）解 特征方程為: .0特征根為: ，方程通解為 : 120, 12xyce由初始條件有: ,解得 .25c1275所以方程的初值解為: .xye8求下列 n 階常系數線性非齊次方程的通解：（1） 8732xy（2） cos10（1）解 由于 ， ，212,7故齊次方程的通解為 .712xxyce.由于 不是特征根，故已知方程有形如 的特解.021yAxBC將它代入原方程，得, ，3976,43ABC所求通解為 .7212xxycex（2）解 由于 ，120,1ii.12(cosn)xyex因為 不是特征根，故已知方程有形如2ii1121()cs()siyAxBxABx的特解將上式代入原方程，可得 ，112239,268369所求通解為.12 1(cosin)()cos()sin2683xyexxx三、證明題1設 矩陣函數 ， 在（a, b）上連續(xù)，試證明，若方程組n)(1tA2t與 有相同的基本解組，則 XA)(dttd2t)(1tA2t證明 設 為基本解矩陣, 因為基本解矩陣是可逆的,故有 )(d)(211tAtXt于是 .21tA2設在方程 中， 在區(qū)間 上連續(xù)且恒不為零，試證它0)(yxqpy)(xpI的任意兩個線性無關解的朗斯基行列式是在區(qū)間 上嚴格單調函數證明 設 w(x)是方程的任意兩個線性無關解的朗斯基行列式，則 且,()0xIw，有 ， .又因為 在區(qū),I0xx0 p(t)dw()=e0()()xptdwpe間 上連續(xù)且恒不為零,從而對 , 或 ,所以, 在 上恒正或I0x()I.恒負,即 w(x)為嚴格單調函數.3試證明：二階線性齊次方程的任意兩個線性無關解組的朗斯基行列式之比是一個不為零的常數證明 設兩個線性的解組的朗斯基行列式分別為， ，且 ，0()11()xptdwxe0()22)(xptdwe1020(),()wx所以有 .120x四、應用題1一質量為 m 的質點由靜止開始沉入液體中，當下沉時，液體的反作用與下沉的速度成正比，求此質點的運動規(guī)律。解 設液體的反作用與質點速度的比例系數為 k則指點的運動滿足方程： xmg即kxgm *（ ）則(*)所對應的齊次方程的通解為： ktmxc-=e又 是齊次方程的特征根,故特解形式為： =0AtB1代入(*)式得： kgAgmk 所以ktxcB-e由 得(0)=,22gmckk, 故21tmgxtk- e