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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
第五篇 數(shù) 列
第2講 等差數(shù)列及其前n項和
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時:40分鐘)
一、選擇題
1.(20xx溫州二模)記Sn為等差數(shù)列{an}前n項和,若-=1,則其公差d= ( ).
A. B.2
C.3 D.4
解析 由-=1,得-=1,
即a1+d-=1,∴d=2.
答案 B
2.(20xx濰坊期末考試)在等差數(shù)列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于 ( ).
A.21 B.3
2、0
C.35 D.40
解析 由題意得3a6=15,a6=5.所以a3+a4+…+a9=7a6=75=35.
答案 C
3.(20xx榆林模擬)在等差數(shù)列{an}中,首項a1=0,公差d≠0,若am=a1+a2+…+a9,則m的值為 ( ).
A.37 B.36
C.20 D.19
解析 由am=a1+a2+…+a9,得(m-1)d=9a5=36d?m=37.
答案 A
4.(20xx吉安模擬){an}為等差數(shù)列,Sn為其前n項和,已知a7=5,S7=21,則S10= ( ).
A.40 B.35
C.30 D.2
3、8
解析 設(shè)公差為d,則由已知得S7=,即21=,解得a1=1,所以a7=a1+6d,所以d=.所以S10=10a1+d=10+=40.
答案 A
5.(20xx淄博二模)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足a13=S13=13,則a1= ( ).
A.-14 B.-13
C.-12 D.-11
解析 在等差數(shù)列中,S13==13,所以a1+a13=2,即a1=2-a13=2-13=-11.
答案 D
二、填空題
6.(20xx肇慶二模)在等差數(shù)列{an}中,a15=33,a25=66,則a35=________.
解析 a25-a15=10
4、d=66-33=33,∴a35=a25+10d=66+33=99.
答案 99
7.(20xx成都模擬)已知等差數(shù)列{an}的首項a1=1,前三項之和S3=9,則{an}的通項an=________.
解析 由a1=1,S3=9,得a1+a2+a3=9,即3a1+3d=9,解得d=2,∴an=1+(n-1)2=2n-1.
答案 2n-1
8.(20xx浙江五校聯(lián)考)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N+),若a2∶a3=5∶2,則S3∶S5=________.
解析?。剑剑剑?
答案 3∶2
三、解答題
9.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an=+2(n-1)
5、(n∈N+).
求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求an與Sn.
證明 由an=+2(n-1),得Sn=nan-2n(n-1)(n∈N+).
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)an-1-4(n-1),
即an-an-1=4,
故數(shù)列{an}是以1為首項,4為公差的等差數(shù)列.
于是,an=4n-3,Sn==2n2-n(n∈N+).
10.(20xx福建卷)已知等差數(shù)列{an}的公差d=1,前n項和為Sn.
(1)若1,a1,a3成等比數(shù)列,求a1;
(2)若S5>a1a9,求a1的取值范圍.
解 (1)因為數(shù)列{an}的公差d=1,且1,a1,a3成等比數(shù)列,
6、所以a=1(a1+2),即a-a1-2=0,解得a1=-1或2.
(2)因為數(shù)列{an}的公差d=1,且S5>a1a9,所以5a1+10>a+8a1,即a+3a1-10<0,解得-5<a1<2.
故a1的取值范圍是(-5,2).
能力提升題組
(建議用時:25分鐘)
一、選擇題
1.(20xx咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,則n= ( ).
A.12 B.14
C.16 D.18
解析 Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(
7、a1+an)=120,a1+an=30,由Sn==210,得n=14.
答案 B
2.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=13,S3=S11,當Sn最大時,n的值是 ( ).
A.5 B.6
C.7 D.8
解析 法一 由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得a7+a8=0,根據(jù)首項等于13可推知這個數(shù)列遞減,從而得到a7>0,a8<0,故n=7時,Sn最大.
法二 由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),知當n
8、=7時,Sn最大.
法三 根據(jù)a1=13,S3=S11,則這個數(shù)列的公差不等于零,且這個數(shù)列的和先是單調(diào)遞增然后又單調(diào)遞減,根據(jù)公差不為零的等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),以及二次函數(shù)圖像的對稱性,得只有當n==7時,Sn取得最大值.
答案 C
二、填空題
3.(20xx九江一模)正項數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,2a=a+a(n∈N+,n≥2),則a7=________.
解析 因為2a=a+a(n∈N+,n≥2),所以數(shù)列{a}是以a=1為首項,以d=a-a=4-1=3為公差的等差數(shù)列,所以a=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n≥1.所以a7==.
答案
9、
三、解答題
4.(20xx西安模擬)已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=,是否存在非零實數(shù)c使得{bn}為等差數(shù)列?若存在,求出c的值;若不存在,請說明理由.
解 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d>0,
由等差數(shù)列的性質(zhì),得a2+a5=a3+a4=22,
所以a3,a4是關(guān)于x 的方程x2-22x+117=0的解,所以a3=9,a4=13,易知a1=1,d=4,故通項為an=1+(n-1)4=4n-3.
(2)由(1)知Sn==2n2-n,所以bn==.
法一 所以b1=,b2=,b3=(c≠0).
令2b2=b1+b3,解得c=-.
當c=-時,bn==2n,當n≥2時,bn-bn-1=2.
故當c=-時,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.
法二 由bn===,
∵c≠0,∴可令c=-,得到bn=2n.
∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*),
∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列.
即存在一個非零常數(shù)c=-,使數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.