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1、
高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料
2019.5
函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性
一、奇偶性
1、奇函數(shù)的定義：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么
函數(shù)就叫做奇函數(shù)。
（1）定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱；
（2）對定義中的任意一個，都有；
（3）圖象特征：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。（這是判斷奇函數(shù)的直觀方法）
2、偶函數(shù)定義：一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)
就叫做偶函數(shù)。
（1）定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱；
（2）對定義中的任意一個，都有；
（3）圖象特征：偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱。（這是判斷
2、偶函數(shù)的直觀方法）
二、周期性
周期函數(shù)的定義：對于定義域內(nèi)的每一個，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期，并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期。例如，狄利克雷函數(shù)，當(dāng)為有理數(shù)時，取1；當(dāng)為非有理數(shù)時，取0。
（1）如果函數(shù)滿足且，（和是不相等的常數(shù)），則是以為為周期的周期函數(shù)。
（2）如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。
（3）如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。
三、對稱性
1、函數(shù)圖象本身的對稱性（自身對稱）
題設(shè)：函數(shù)對定義域內(nèi)一切來說，其中為常數(shù)，函數(shù)滿足
3、：
（1）函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對稱；
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱；
（3）函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對稱；
（4）函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱（偶函數(shù)）；
（5）函數(shù)圖象關(guān)于成中心對稱；
（6）—函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱（奇函數(shù)）；
（7）如果函數(shù)滿足且，（和是不相等的
常數(shù)），則是以為為周期的周期函數(shù)；
（8）如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以為周期
的周期函數(shù)；
（9）如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以為周期
的周期函數(shù)。
2、兩個函數(shù)的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）
（1）曲線與關(guān)于軸對稱。
（2）曲線與關(guān)于軸對稱。
（3）曲線與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
（4）曲線與的圖象關(guān)于直線對稱。
（5）曲線與關(guān)于直線對稱。
（6）曲線關(guān)于直線對稱曲線為。
（7）曲線關(guān)于直線對稱曲線為。
（8）曲線關(guān)于直線對稱曲線為。
（9）曲線關(guān)于點(diǎn)對稱曲線為。
注意：設(shè)，都有且有個實(shí)根，則所有實(shí)根之和為。
例1：已知滿足，，當(dāng)時
且，若，，，求大小關(guān)系？
解：由已知得，對稱軸，也為一條對稱軸
∴，，，，
∴
例2：若函數(shù)，有，求。
解：，知的圖象關(guān)于對稱，而的對稱中心 ，∴ ，∴，則。
例3：設(shè)是定義在上的函數(shù)，均有，當(dāng)時，，求當(dāng)時，的解析式。
解：由有得
設(shè)，則，；
∴，∴當(dāng)時，。
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