【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修二：全冊(cè)作業(yè)與測(cè)評(píng) 課時(shí)提升作業(yè)(六)1.3.2

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 課時(shí)提升作業(yè)(六) 球的體積和表面積 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知圓錐SO的底面直徑和高相等且都等于球O的直徑,那么球的體積V1與圓錐的體積V2的關(guān)系是(　　) A.V1=V2 B.V1=2V2 C.V1=2V2 D.V1=3V2 【解析】選C.設(shè)球O的半徑r,則由題意得圓錐SO的底面直徑和高都是2r, 所以V1=43π×r3,V2=13π×r2·2r=23π×r3,所以V1=2V2. 2.兩個(gè)球的表面積之差為48π,它們的大圓周長(zhǎng)之和為12π,這兩

2、個(gè)球的半徑之差為　(　　) A.2 B.3 C.2 D.1 【解析】選C.設(shè)兩球的半徑分別為R,r(R>r), 則4πR2-4πr2=48π,2πR+2πr=12π, 即R2-r2=12,R+r=6.兩式相除得R-r=2. 3.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20π,則r=　(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】選B.由正視圖和俯視圖知,該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體,圓柱的底面半徑與球的半徑都為r,圓柱的

3、高為2r,其表面積為12×4πr2+πr×2r+ πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,解得r=2. 4.(2015·臨沂高一檢測(cè))某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積等于　 (　　) A.4π B.8π C.12π D.20π 【解析】選D.由三視圖可知,該幾何體為底面半徑是2,高為2的圓柱體和半徑為1的球體的組合體,則該幾何體的表面積為4π×12+2π×22+4π×2=20π. 5.(2015·重慶高二檢測(cè))三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3,那么最大球的表面積是其余

4、兩個(gè)球的表面積之和的(　　) A.1倍 B.2倍 C.95倍 D.74倍 【解析】選C.由已知,可設(shè)最小的球的半徑為r,則另兩個(gè)球的半徑為2r,3r,所以各球的表面積分別為4πr2,16πr2,36πr2.所以36πr24πr2+16πr2=3620=95(倍). 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等,則此球的半徑為　　　　. 【解析】設(shè)此球的半徑為R,則4πR2=43πR3,R=3. 答案:3 7.(2015·上海高一檢測(cè))在底面直徑為6的圓柱形容器中,放入一個(gè)半徑為2的冰球,當(dāng)冰球全部溶化后,容器中液面的高度為

5、　　　　.(相同質(zhì)量的冰與水的體積比為10∶9) 【解析】半徑為2的冰球的體積為43π×23=323π,水的體積為485π, 設(shè)冰球全部溶化后,容器中液面的高度為h,則π×32h=485π,所以h=1615. 答案:1615 8.兩個(gè)球的半徑相差1,表面積之差為28π,則它們的體積和為　　　　. 【解析】設(shè)大、小兩球半徑分別為R,r, 則R-r=1,4πR2-4πr2=28π,所以R=4,r=3, 所以體積和為43πR3+43πr3=364π3. 答案:364π3 【拓展延伸】計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵及常見(jiàn)題型 計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵是求球的半徑.

6、 常見(jiàn)題型有: (1)已知球的半徑求其表面積和體積. (2)已知體積和表面積求其半徑. 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積. 【解析】該組合體的表面積S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π, 該組合體的體積V=43πr3+πr2l=43π×13+π×12×3=13π3. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】一種空心鋼球的質(zhì)量是732πg(shù),外徑是5cm,求它的內(nèi)徑.(鋼密度9g/cm3) 【解析】利用“

7、體積=質(zhì)量密度”及球的體積公式V球=43πR3,設(shè)球的內(nèi)徑為r,由已知得球的體積V=732π9=244π3(cm3). 由V=43π(53-r3)得244π3=43π(53-r3), 解得r=4cm. 10.(2015·昆明高一檢測(cè))若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為62,側(cè)棱長(zhǎng)為6的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,求該球的體積和表面積. 【解題指南】明確該六棱柱中最長(zhǎng)的體對(duì)角線與外接球直徑的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵. 【解析】在底面正六邊形ABCDEF中,連接BE,AD交于O,連接BE1, 則BE=2OE=2DE, 所以BE=6, 在Rt△BEE1中, BE1=BE2+E1E2=

8、23, 所以2R=23,則R=3, 所以球的體積V球=43πR3=43π, 球的表面積S球=4πR2=12π. 【拓展延伸】解答球的組合體問(wèn)題的關(guān)鍵 (1)根據(jù)組成形式確定球心位置和球的半徑. (2)利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征作出關(guān)鍵截面,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2015·荊州高一檢測(cè))用與球心距離為1的平面去截球,所得截面面積為π,則球的體積為　(　　) A.32π3π B.8π3 C.82π D.823π 【解析】選D.設(shè)球的半徑為R,截面圓的半徑為r,由題意可得截面圓的半徑為r=1,

9、因此球的半徑R=12+12=2,球的體積為43πR3=823π. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】平面α截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為2,則此球的體積為　(　　) A.6π B.43π C.46π D.63π 【解析】選B.設(shè)球的半徑為R,由球的截面性質(zhì)得R=(2)2+12=3,所以球的體積V=43πR3=43π. 【延伸拓展】球體的截面的特點(diǎn) (1)球既是中心對(duì)稱的幾何體,又是軸對(duì)稱的幾何體,它的任何截面均為圓,它的三視圖也都是圓. (2)利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的主要途徑. 2.一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相

10、垂直且長(zhǎng)分別為3,4,5,則它的外接球的表面積是　(　　) A.202π B.252π C.50π D.200π 【解題指南】此三棱錐可視為一個(gè)長(zhǎng)方體的一個(gè)角,因此可以將三棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球. 【解析】選C.因?yàn)檫@個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,所以此三棱錐可視為一個(gè)長(zhǎng)方體的一個(gè)角(如圖所示),而且此長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)三棱錐的外接球半徑為r,則有2r2=32+42+52=50,即4r2=50,它的外接球的表面積是S=4πr2=50π. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.一個(gè)幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則該幾何體的體積是　

11、　　　cm3. 【解析】由三視圖知,幾何體是一個(gè)由三部分組成的組合體,上面是一個(gè)半球,半球的半徑是1,所以半球的體積是12×43×π×13=2π3,下面是半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱柱,圓柱的底面半徑是1,高是2,所以半個(gè)圓柱的體積是12×π×12×2=π,四棱柱的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)分別是1和2的矩形,高是2,所以四棱柱的體積是1×2×2=4,所以空間組合體的體積是2π3+π+4=5π3+4(cm3). 答案:5π3+4 【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)根據(jù)三視圖將此組合體的下面判斷為一個(gè)圓柱或一個(gè)四棱柱的錯(cuò)誤. 4.(2

12、015·溫州高二檢測(cè))已知兩個(gè)正四棱錐有公共底面,且底面邊長(zhǎng)為4,兩棱錐的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上若這兩個(gè)正四棱錐的體積之比為1∶2,則該球的表面積為　　　　. 【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)正四棱錐有公共底面且兩個(gè)正四棱錐的體積之比為1∶2, 所以兩個(gè)正四棱錐的高的比也為1∶2, 設(shè)兩個(gè)棱錐的高分別為x,2x,球的半徑為R, 則x+2x=3x=2R,即R=3x2, 球心到公共底面距離是x2, 又因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為4, 所以R2=3x22=x22+(22)2, 解得x=2,所以R=3, 該球的表面積S=4πR2=36π. 答案:36π 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.

13、(2015·青島高一檢測(cè))如圖是一個(gè)幾何體的三視圖(單位:cm),試畫出它的直觀圖,并計(jì)算這個(gè)幾何體的體積與表面積. 【解析】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示. 因?yàn)閂長(zhǎng)方體=10×8×15=1200(cm3), 又V半球=12×43πR3=12×43π×523 =12512π(cm3), 所以所求幾何體的體積為 V=V長(zhǎng)方體+V半球=1200+12512π(cm3). 因?yàn)镾長(zhǎng)方體全=2×(10×8+8×15+10×15) =700(cm2), S半球=12×4π

14、×522=252π, S半球底=π×522=254π, 故所求幾何體的表面積S表面積=S長(zhǎng)方體全+S半球-S半球底 =700+254π(cm2). 6.如圖(單位:cm),求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積. 【解析】由題意知,所求旋轉(zhuǎn)體的表面積由三部分組成:圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一個(gè)半球面. S半球=8πcm2,S圓臺(tái)側(cè)=35πcm2,S圓臺(tái)底=25πcm2. 故所求幾何體的表面積為68π(cm2). V圓臺(tái)=13×[π×22+π×22×π×52+π×52]×4=52π(cm3), V半球=43π×23×12=163π(cm3). 所以,旋轉(zhuǎn)體的體積為V圓臺(tái)-V半球=52π-163π =1403π(cm3). 關(guān)閉Word文檔返回原板塊