高考復習方案大二輪全國新課標數(shù)學文科高考備考方法策略：專題篇數(shù)列 4一類數(shù)列的性質(zhì)及其應用 Word版含答案

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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 一類數(shù)列的性質(zhì)及其應用 定理1 對于正項數(shù)列，有： (1)若對N*恒成立，則對N*也恒成立； (2)若對N*恒成立，則對N*也恒成立. 證明 (1). (2)同理可證. 定理2 對于正項數(shù)列，有： (1)若對N*恒成立，則對N*也恒成立； (2)若對N*恒成立，則對N*也恒成立. 定理3 對于數(shù)列，有： (1)若對N*恒成立，則有對N*也恒成立； (2)若對N*恒成立，則有對N*也恒成立. 證明 (1). (2)同理

2、可證. 定理4 對于數(shù)列，有： (1)若對N*恒成立，則有對N*也恒成立； (2)若對N*恒成立，則有對N*也恒成立. (請讀者思考：定理2-1，定理2-3的結(jié)論中的等號何時取到？) 題1 (高考全國新課標卷Ⅱ理科第17題)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式； (2)證明：＋＋…＋＜. 解 (1)略. (2)只證時的情形.易得，所以.由定理2-2(2)，得，所以 ＋＋…＋ 得欲證成立. 題2 (高考全國大綱卷理科第22題)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)． (1)討論f(x)的單調(diào)性；

3、(2)設(shè)a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，證明：0，所以f(x)在(－1，a2－2a)是增函數(shù)； 若x∈(a2－2a，0)，則f′(x)<0，所以f(x)在(a2－2a，0)是減函數(shù)； 若x∈(0，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)是增函數(shù)． (ii)當a＝2時，若f′(x)≥0，f′(x)＝0成立當且僅當x＝0，所以f(x)在(－1，＋∞)是增函數(shù). (iii)當a>2時，若x∈(－1，0)，則f′(x)>0，

4、所以f(x)在(－1，0)是增函數(shù)； 若x∈(0，a2－2a)，則f′(x)<0， 所以f(x)在(0，a2－2a)是減函數(shù)； 若x∈(a2－2a，＋∞)，則f′(x)>0，所以f(x)在(a2－2a，＋∞)是增函數(shù)． (2)用數(shù)學歸納法易證. 當a＝2時，由(1)的結(jié)論知，f(x)在(0，3)上是增函數(shù)，所以，即，所以. 由定理3(2)，得. 當a＝3時，由(1)的結(jié)論知，f(x)在(0，3)上是減函數(shù)，所以，即，所以. 由定理3(1)，得. 所以

5、項公式； (3)證明：對一切正整數(shù)，有＋＋…＋＜. 解 (1)(過程略). (2)(過程略). (3)只證時的情形. 當時，得，把這兩式相減，得. 由(1),(2)問的答案知，所以N*). 所以.由定理2-2(2)，得，所以 ＋＋…＋ 得欲證成立. 題4 (高考安徽卷理科第21題)設(shè)數(shù)列滿足N*，其中為實數(shù). (1)證明：對任意N*成立的充分必要條件是； (2)設(shè)，證明：N*； (3)略. 證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2)：即證，由結(jié)論(1)及定理1(2)知，只需證明，理由是——. 題5 (高考浙江卷理科第22題)已知函數(shù)，數(shù)列的第一項，以后各項

6、按如下方式?jīng)Q定：曲線在點處的切線與經(jīng)過兩點，的直線平行.當N*時，求證： (1)； (2). 證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2)：因為，可得，所以由定理1(1)及其證明，得. 又，對于數(shù)列用定理1(2)及其證明，得. 題6 (1)(高考陜西卷文科第22(3)題)設(shè)，比較與的大小，并說明理由. (2)(華約自主招生數(shù)學試題第7題)(i)設(shè)，求證：當時，； (ii)若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列遞減，且. 證明 (1)略. (2)(i)略. (ii)易用數(shù)學歸納法證得. 先證數(shù)列遞減：由(i)的結(jié)論，得，又，所以，即遞減. 再證.只證時的情形. 由(1)的結(jié)論，可得.再由定理2-2(1)，得. 題7 設(shè)數(shù)列滿足N)，求證：N*). 證明 當時，得 當時，. 當時，得 得證明成立.