高考復習方案大二輪全國新課標數(shù)學文科高考備考方法策略：專題篇數(shù)列 4一類數(shù)列的性質(zhì)及其應用 Word版含答案

高考數(shù)學精品復習資料 2019.5一類數(shù)列的性質(zhì)及其應用 定理1 對于正項數(shù)列，有：(1)若對N*恒成立，則對N*也恒成立；(2)若對N*恒成立，則對N*也恒成立.證明 (1).(2)同理可證.定理2 對于正項數(shù)列，有：(1)若對N*恒成立，則對N*也恒成立；(2)若對N*恒成立，則對N*也恒成立.定理3 對于數(shù)列，有：(1)若對N*恒成立，則有對N*也恒成立；(2)若對N*恒成立，則有對N*也恒成立.證明 (1).(2)同理可證.定理4 對于數(shù)列，有：(1)若對N*恒成立，則有對N*也恒成立；(2)若對N*恒成立，則有對N*也恒成立.(請讀者思考：定理2-1，定理2-3的結(jié)論中的等號何時取到？)題1 (高考全國新課標卷理科第17題)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明是等比數(shù)列，并求an的通項公式；(2)證明：.解 (1)略.(2)只證時的情形.易得，所以.由定理2-2(2)，得，所以得欲證成立.題2 (高考全國大綱卷理科第22題)函數(shù)f(x)ln(x1)(a>1)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設a11，an1ln(an1)，證明：<an.解 (1)(1)易知f(x)的定義域為(1，)，f(x).(i)當1<a<2時，若x(1，a22a)，則f(x)>0，所以f(x)在(1，a22a)是增函數(shù)；若x(a22a，0)，則f(x)<0，所以f(x)在(a22a，0)是減函數(shù)；若x(0，)，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)是增函數(shù)(ii)當a2時，若f(x)0，f(x)0成立當且僅當x0，所以f(x)在(1，)是增函數(shù). (iii)當a>2時，若x(1，0)，則f(x)>0，所以f(x)在(1，0)是增函數(shù)；若x(0，a22a)，則f(x)<0，所以f(x)在(0，a22a)是減函數(shù)；若x(a22a，)，則f(x)>0，所以f(x)在(a22a，)是增函數(shù)(2)用數(shù)學歸納法易證.當a2時，由(1)的結(jié)論知，f(x)在(0，3)上是增函數(shù)，所以，即，所以.由定理3(2)，得.當a3時，由(1)的結(jié)論知，f(x)在(0，3)上是減函數(shù)，所以，即，所以.由定理3(1)，得.所以<an.題3 (高考廣東卷理科第19題)設數(shù)列的前項和為，滿足N*，且成等差數(shù)列.(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)證明：對一切正整數(shù)，有.解 (1)(過程略).(2)(過程略).(3)只證時的情形.當時，得，把這兩式相減，得.由(1),(2)問的答案知，所以N*).所以.由定理2-2(2)，得，所以 得欲證成立.題4 (高考安徽卷理科第21題)設數(shù)列滿足N*，其中為實數(shù).(1)證明：對任意N*成立的充分必要條件是；(2)設，證明：N*；(3)略.證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2)：即證，由結(jié)論(1)及定理1(2)知，只需證明，理由是.題5 (高考浙江卷理科第22題)已知函數(shù)，數(shù)列的第一項，以后各項按如下方式?jīng)Q定：曲線在點處的切線與經(jīng)過兩點，的直線平行.當N*時，求證：(1)；(2).證明 以下用結(jié)論(1)證結(jié)論(2)：因為，可得，所以由定理1(1)及其證明，得.又，對于數(shù)列用定理1(2)及其證明，得.題6 (1)(高考陜西卷文科第22(3)題)設，比較與的大小，并說明理由.(2)(華約自主招生數(shù)學試題第7題)(i)設，求證：當時，；(ii)若數(shù)列滿足，求證：數(shù)列遞減，且.證明 (1)略.(2)(i)略.(ii)易用數(shù)學歸納法證得.先證數(shù)列遞減：由(i)的結(jié)論，得，又，所以，即遞減.再證.只證時的情形.由(1)的結(jié)論，可得.再由定理2-2(1)，得.題7 設數(shù)列滿足N)，求證：N*).證明 當時，得當時，.當時，得得證明成立.