高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第2節(jié) 排列與組合學(xué)案 理 北師大版

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 第二節(jié) 排列與組合 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)1.理解排列與組合的概念.2.理解排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題. (對應(yīng)學(xué)生用書第170頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1.排列、組合的定義 排列的定義  從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素 按照一定的順序排成一列 組合的定義  合成一組 2.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì) 排列數(shù) 組合數(shù) 定 義 從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù) 從n個不同元素中取

2、出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù) 公 式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= C== 性 質(zhì) A=n!, 0!=1 C=C, C+C=C [基本能力自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“”) (1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.(  ) (2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(  ) (3)若組合式C=C,則x=m成立.(  ) (4)kC=nC.(  ) [答案] (1) (2)√ (3) (4)√ 2.(教材改編)某高三畢業(yè)班有40人,同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言,那么全班共寫

3、了畢業(yè)留言(  ) A.1 560條 B.780條  C.1 600條  D.800條 A [由題意,得畢業(yè)留言共A=1 560條.] 3.(20xx全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作,每人至少完成1項(xiàng),每項(xiàng)工作由1人完成,則不同的安排方式共有(  ) A.12種 B.18種 C.24種 D.36種 D [由題意可得其中1人必須完成2項(xiàng)工作,其他2人各完成1項(xiàng)工作,可得安排方式為CCA=36(種),或列式為CCC=32=36(種). 故選D.] 4.某市委從組織機(jī)關(guān)10名科員中選3人擔(dān)任駐村第一書記,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為(  ) A.

4、85 B.56 C.49 D.28 C [法一(直接法):甲、乙兩人均入選,有CC種方法, 甲、乙兩人只有1人入選,有CC種方法, 由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有CC+CC=49種選法. 法二(間接法):從9人中選3人有C種方法, 其中甲、乙均不入選有C種方法, 所以滿足條件的選排方法有C-C=84-35=49種.] 5.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊(A,B可以不相鄰),那么不同的排法共有________種. 60 [5人的全排列,B站在A的右邊與A站在B的右邊各占一半, 所以滿足條件的不同排法共A=60種.] (對應(yīng)學(xué)生用書第171頁)

5、 排列問題  有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法總數(shù). (1)選5人排成一排; (2)排成前后兩排,前排3人,后排4人; (3)全體排成一排,甲不站排頭也不站排尾; (4)全體排成一排,女生必須站在一起; (5)全體排成一排,男生互不相鄰. [解] (1)從7人中選5人排列,有A=76543=2 520(種). (2)分兩步完成,先選3人站前排,有A種方法,余下4人站后排,有A種方法,共有AA=5 040(種). (3)法一:(特殊元素優(yōu)先法)先排甲,有5種方法,其余6人有A種排列方法,共有5A=3 600(種). 法二:(特殊位置優(yōu)先法)

6、首尾位置可安排另6人中的兩人,有A種排法,其他有A種排法,共有AA=3 600(種). (4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列,有A種方法,再將女生全排列,有A種方法,共有AA=576(種). (5)(插空法)先排女生,有A種方法,再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生,有A種方法,共有AA=1 440(種). [規(guī)律方法] 求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 對不相鄰問題,先考慮不

7、受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中 定序問題 除法處理 對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法 [跟蹤訓(xùn)練] (1)在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空試驗(yàn)中,要先后實(shí)施6個程序,其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步,程序B和C在實(shí)施時必須相鄰,問試驗(yàn)順序的編排方法共有(  ) A.34種       B.48種 C.96種 D.144種 (2)(20xx北京西城區(qū)質(zhì)檢)把5件不同產(chǎn)品擺成一排,若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰,且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰,則不同的擺法有________種. (1)C (2)36 [(

8、1)程序A的順序有A=2種結(jié)果,將程序B和C看作一個元素與除A外的元素排列有AA=48種結(jié)果, 由分步乘法計(jì)數(shù)原理,試驗(yàn)編排共有248=96種方法. (2)記其余兩種產(chǎn)品為D,E,A,B相鄰視為一個元素,先與D,E排列,有AA種方法.再將C插入,僅有3個空位可選,共有AAC=263=36種不同的擺法.] 組合問題  某課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名隊(duì)長.現(xiàn)從中選5人主持某種活動,依下列條件各有多少種選法? (1)只有一名女生當(dāng)選; (2)兩隊(duì)長當(dāng)選; (3)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選; (4)至多有兩名女生當(dāng)選. [解] (1)只有一名

9、女生當(dāng)選等價于有一名女生和四名男生當(dāng)選.故共有CC=350種. (2)兩隊(duì)長當(dāng)選,共有CC=165種. (3)至少有一名隊(duì)長當(dāng)選含有兩類:只有一名隊(duì)長當(dāng)選,有兩名隊(duì)長當(dāng)選.故共有CC+CC=825種.(或采用排除法:C-C=825(種)). (4)至多有兩名女生當(dāng)選含有三類:有兩名女生當(dāng)選,只有一名女生當(dāng)選,沒有女生當(dāng)選.故選法共有CC+CC+C=966種. [規(guī)律方法] 組合問題的常見類型與處理方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型:“含”,則先將這些元素取出,再由另外元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再從剩下的元素中選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個元素

10、的題型:若直接法分類復(fù)雜時,逆向思維,間接求解. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx銀川質(zhì)檢)某地實(shí)行高考改革,考生除參加語文、數(shù)學(xué)、外語統(tǒng)一考試外,還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科,要求物理、化學(xué)、生物三科至少選一科,政治、歷史、地理三科至少選一科,則考生選考方法種數(shù)共有(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:79140342】 A.6 B.12 C.18 D.24 (2)若從1,2,3,…,9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有(  ) A.60種 B.63種 C.65種 D.66種 (1)C (2)D [(1)法一:所有選考方法可分兩類:第一類可分

11、兩步,第一步,考生從物理、化學(xué)、生物三科中任選一科有C種不同的選法,第二步,考生從政治、歷史、地理三科中任選二科有C種不同的選法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有CC種不同的選法;第二類可分兩步,第一步,考生從物理、化學(xué)、生物三科中任選二科有C種不同的選法,第二步,從政治、歷史、地理三科中任選一科有C種不同的選法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有CC種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,考生共有CC+CC=18種不同的選考方法,故選C. 法二:依題意,考生共有C-2C=18種不同的選考方法,故選C. (2)共有4個不同的偶數(shù)和5個不同的奇數(shù),要使和為偶數(shù),則4個數(shù)全為奇數(shù),或全為偶數(shù),或2個奇數(shù)和2個偶

12、數(shù), 所以不同的取法共有C+C+CC=66種.] 排列與組合的綜合應(yīng)用  (1)從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為(  ) A.300 B.216 C.180 D.162 (2)(20xx江南名校聯(lián)考)將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué),上海交通大學(xué),浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀,則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法有(  ) A.240種 B.180種 C.150種 D.540種 (1)C (2)C [(1)分兩類:第1類,不取0,即從1,2,3,4,5中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),根據(jù)

13、分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有CCA=72個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù);第2類,取0,此時2和4只能取一個,再取兩個奇數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,共有CC(A-A)=108個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù). 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知,滿足題意的四位數(shù)共有72+108=180(個). (2)5名學(xué)生可分為2,2,1和3,1,1兩組方式. 當(dāng)5名學(xué)生分成2,2,1時,共有CCA=90種方法;當(dāng)5名學(xué)生分成3,1,1時,共有CA=60種方法. 由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有90+60=150種保送方法.] [規(guī)律方法] 1.排列組合綜合題思路,先選后排,先組合后排列. 當(dāng)有多個限制條件

14、時,應(yīng)以其中一個限制條件為標(biāo)準(zhǔn)分類,限制條件多時,多考慮用間接法,但需確定一個總數(shù). 2.(1)不同元素的分配問題,往往是先分組再分配.在分組時,通常有三種類型:①不均勻分組;②均勻分組;③部分均勻分組,注意各種分組類型中,不同分組方法的求法. (2)對于相同元素的“分配”問題,常用的方法是采用“隔板法”. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(東北三省四市模擬(一))哈市某公司有五個不同部門,現(xiàn)有4名在校大學(xué)生來該公司實(shí)習(xí).要求安排到該公司的兩個部門,且每部門安排兩名,則不同的安排方案種數(shù)為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:79140343】 A.40 B.60 C.120 D.240 (2)(20xx浙

15、江高考)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人,副隊(duì)長1人,普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有________種不同的選法.(用數(shù)字作答) (1)B (2)660 [從五個不同部門選取兩個部門有C種選法,將4名大學(xué)生分別安排在這兩個部門有CC種方法,所以不同的安排方案有CCC=60種,故選B. (2)法一:只有1名女生時,先選1名女生,有C種方法;再選3名男生,有C種方法;然后排隊(duì)長、副隊(duì)長位置,有A種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有CCA=480(種)選法. 有2名女生時,再選2名男生,有C種方法;然后排隊(duì)長、副隊(duì)長位置,有A種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有CA=180(種)選法.所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有480+180=660(種)不同的選法. 法二:不考慮限制條件,共有AC種不同的選法, 而沒有女生的選法有AC種, 故至少有1名女生的選法有AC-AC=840-180=660(種).]

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