高三文科數(shù)學通用版二輪復習：第1部分 專題2 突破點5　數(shù)列的通項與求和 Word版含解析

高考數(shù)學精品復習資料 2019.5突破點5數(shù)列的通項與求和提煉1an和Sn的關系若an為數(shù)列an的通項，Sn為其前n項和，則有an在使用這個關系式時，一定要注意區(qū)分n1，n2兩種情況，求出結果后，判斷這兩種情況能否整合在一起提煉2求數(shù)列通項常用的方法(1)定義法：形如an1anc(c為常數(shù))，直接利用定義判斷其為等差數(shù)列形如an1kan(k為非零常數(shù))且首項不為零，直接利用定義判斷其為等比數(shù)列(2)疊加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通項公式(3)疊乘法：形如f(n)0，利用ana1，求其通項公式(4)待定系數(shù)法：形如an1panq(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉化為an1tp(ant)，其中t，再轉化為等比數(shù)列求解(5)構造法：形如an1panqn(其中p，q均為常數(shù)，pq(p1)0)，先在原遞推公式兩邊同除以qn1，得，構造新數(shù)列bn，得bn1bn，接下來用待定系數(shù)法求解(6)取對數(shù)法：形如an1pa(p>0，an>0)，先在原遞推公式兩邊同時取對數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解提煉3數(shù)列求和數(shù)列求和的關鍵是分析其通項，數(shù)列的基本求和方法有公式法、裂(拆)項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法和并項法等，而裂項相消法，錯位相減法是常用的兩種方法回訪1an與Sn的關系1(20xx全國卷)數(shù)列an滿足an1，a82，則a1_.an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.回訪2數(shù)列求和2(20xx全國卷)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項和為()A3 690 B.3 660C.1 845 D.1 830Dan1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.3(20xx全國卷改編)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足S30，S55.則(1)an的通項公式為_；(2)數(shù)列的前n項和為_(1)an2n(2)(1)設an的公差為d，則Snna1d.由已知可得解得故an的通項公式為an2n.(2)由(1)知，從而數(shù)列的前n項和為.4(20xx全國卷改編)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根，則(1)an的通項公式為_；(2)數(shù)列的前n項和為_(1)ann1(2)2(1)方程x25x60的兩根為2,3，由題意得a22，a43.設數(shù)列an的公差為d，則a4a22d，故d，從而a1.所以an的通項公式為ann1.(2)設的前n項和為Sn，由(1)知，則Sn，Sn.兩式相減得Sn.所以Sn2.熱點題型1數(shù)列中的an與Sn的關系數(shù)列中的an與Sn的關系題型分析：以數(shù)列中an與Sn間的遞推關系為載體，考查數(shù)列通項公式的求法，以及推理論證的能力數(shù)列an中，a11，Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足1(n2)求數(shù)列an的通項公式【導學號：85952024】解由已知，當n2時，1，所以1，2分即1，所以.4分又S1a11，所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，6分所以1(n1)，即Sn.8分所以當n2時，anSnSn1.10分因此an12分給出Sn與an的遞推關系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.提醒：在利用anSnSn1(n2)求通項公式時，務必驗證n1時的情形變式訓練1(1)(20xx合肥三模)已知數(shù)列an前n項和為Sn，若Sn2an2n ，則Sn_.(2)已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且2Sn23an(nN*)，則an_.(1)n2n(nN*)(2)23n1(nN*)(1)由Sn2an2n得當n1時，S1a12；當n2時，Sn2(SnSn1)2n，即1，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則n，Snn2n(n2)，當n1時，也符合上式，所以Snn2n(nN*)(2)因為2Sn23an，所以2Sn123an1，由，得2Sn12Sn3an13an，所以2an13an13an，即3.當n1時，22S13a1，所以a12，所以數(shù)列an是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，所以an23n1(nN*)熱點題型2裂項相消法求和題型分析：裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于或(其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和已知等差數(shù)列an的公差d0，它的前n項和為Sn，若S570，且a2，a7，a22成等比數(shù)列，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列的前n項和為Tn，求證：Tn<.解(1)由已知及等差數(shù)列的性質得S55a3，a314，1分又a2，a7，a22成等比數(shù)列，即aa2a22.2分由(a16d)2(a1d)(a121d)且d0，解得a1d，a16，d4.4分故數(shù)列an的通項公式為an4n2，nN*.6分(2)證明：由(1)得Sn2n24n，8分Tn.10分又TnT1，所以Tn<.12分裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，常見的裂項方式有：(1)；(2)；(3)()提醒：在裂項變形時，務必注意裂項前的系數(shù)變式訓練2(名師押題)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設Sn為數(shù)列an的前n項和，bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解(1)由題設知a1a4a2a38，2分又a1a49，可得或(舍去)4分由a4a1q3得公比q2，故ana1qn12n1.6分(2)Sn2n1.8分又bn，10分所以Tnb1b2bn1.12分熱點題型3錯位相減法求和題型分析：限于數(shù)列解答題的位置較為靠前，加上錯位相減法的運算量相對較大，故在近5年中僅有1年對該命題點作了考查，但其仍是命題的熱點之一，務必加強訓練已知數(shù)列an和bn滿足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an與bn；(2)記數(shù)列anbn的前n項和為Tn，求Tn.解(1)由a12，an12an，得an2n(nN*).2分由題意知：當n1時，b1b21，故b22.3分當n2時，bnbn1bn.4分整理得，所以bnn(nN*).6分(2)由(1)知anbnn2n，因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n1，8分所以Tn2Tn222232nn2n1.9分故Tn(n1)2n12(nN*).12分運用錯位相減法求和應注意：一是判斷模型，即判斷數(shù)列an，bn中一個為等差數(shù)列，一個為等比數(shù)列；二是錯開位置，一般先乘以公比，再把前n項和退后一個位置來書寫，這樣避免兩式相減時看錯列；三是相減，相減時一定要注意式中最后一項的符號，考生常在此步出錯，一定要細心提醒：為保證結果正確，可對得到的和取n1,2進行驗證變式訓練3已知在公比大于1的等比數(shù)列an中，a2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個零點(1)求數(shù)列an 的通項公式；(2)求數(shù)列2nan的前n項和Sn.解(1)因為a2，a4是函數(shù)f(x)(x2)(x8)的兩個零點，且等比數(shù)列an的公比q大于1，所以a22，a48，2分所以q2，所以數(shù)列an的通項公式為an2n1(nN*).6分(2)由(1)知2nann2n ，所以Sn12222n2n，7分2Sn122223(n1)2nn2n1，8分由，得Sn222232nn2n1n2n1，11分所以Sn2(n1)2n1(nN*).12分