高三文科數(shù)學通用版二輪復習：第1部分 專題1 突破點1　三角函數(shù)問題 Word版含解析

高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 專題一專題一 三角函數(shù)與平面向量三角函數(shù)與平面向量 建知識網(wǎng)絡建知識網(wǎng)絡 明內(nèi)在聯(lián)系明內(nèi)在聯(lián)系 掃一掃，各專題近五年全國考點分布掃一掃，各專題近五年全國考點分布 高考點撥 三角函數(shù)與平面向量是高考的高頻考點， 常以“兩小一大”的形式呈現(xiàn)，兩小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)與平面向量內(nèi)容，一大題常考查解三角形內(nèi)容，有時平面向量還與圓錐曲線、線性規(guī)劃等知識相交匯本專題按照“三角函數(shù)問題”“解三角形”“平面向量”三條主線分門別類進行備考 突破點突破點 1 三角函數(shù)問題三角函數(shù)問題 提煉 1 三角函數(shù)的圖象問題 (1)函數(shù) yAsin(x)解析式的確定： 利用函數(shù)圖象的最高點和最低點確定 A，利用周期確定 ，利用圖象的某一已知點坐標確定 . (2)三角函數(shù)圖象的兩種常見變換 ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)ysin xysin(x) 提煉 2 三角函數(shù)奇偶性與對稱性 (1)yAsin(x)，當 k(kZ)時為奇函數(shù)；當 k2(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由 xk2(kZ)求得，對稱中心的橫坐標可由 xk，(kZ)解得 (2)yAcos(x)，當 k2(kZ)時為奇函數(shù)；當 k(kZ)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由 xk(kZ)求得，對稱中心的橫坐標可由 xk2(kZ)解得 yAtan(x)，當 k(kZ)時為奇函數(shù)；對稱中心的橫坐標可由 xk2(kZ)解得，無對稱軸 提煉 3 三角變換常用技巧 (1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45 等 (2)項的分拆與角的配湊：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，() 等 (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 (4)弦、切互化：一般是切化弦 提煉 4 三角函數(shù)最值問題 (1)yasin xbcos xc 型函數(shù)的最值：可將 y 轉(zhuǎn)化為 y a2b2sin(x)c其中tan ba的形式，這樣通過引入輔助角 可將此類函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為 y a2b2sin(x)c 的最值問題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解 (2)yasin2xbsin xcos xccos2x 型函數(shù)的最值：可利用降冪公式 sin2x1cos 2x2，sin xcos xsin 2x2，cos2x1cos 2x2，將 yasin2xbsin xcos xccos2x轉(zhuǎn)化整理為 yAsin 2xBcos 2xC，這樣就可將其轉(zhuǎn)化為(1)的類型來求最值 回訪 1 三角函數(shù)的圖象問題 1(20 xx 全國甲卷)函數(shù) yAsin(x)的部分圖象如圖 1- 1 所示，則( ) 圖 1- 1 Ay2sin2x6 By2sin2x3 C.y2sinx6 Dy2sinx3 A 由圖象知T2362，故 T，因此 22.又圖象的一個最高點坐標為3，2 ，所以 A2，且 232k2(kZ)，故 2k6(kZ)，結(jié)合選項可知 y2sin2x6.故選 A. 2(20 xx 全國乙卷)將函數(shù) y2sin2x6的圖象向右平移14個周期后，所得圖象對應的函數(shù)為( ) Ay2sin2x4 B.y2sin2x3 C.y2sin2x4 D.y2sin2x3 D 函數(shù) y2sin2x6的周期為 ， 將函數(shù) y2sin2x6的圖象向右平移14個周期即4個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為 y2sin2x462sin2x3，故選 D. 回訪 2 三角函數(shù)的性質(zhì)問題 3(20 xx 全國甲卷)函數(shù) f(x)cos 2x6cos2x 的最大值為( ) A4 B.5 C.6 D.7 B f(x)cos 2x6cos2x cos 2x6sin x 12sin2x6sin x2sin x322112， 又 sin x1,1，當 sin x1 時，f(x)取得最大值 5.故選 B. 4(20 xx 全國卷)在函數(shù)ycos |2x|，y|cos x|，ycos2x6，ytan2x4中，最小正周期為 的所有函數(shù)為( ) A B. C. D. C ycos |2x|cos 2x，最小正周期為 ；由圖象知 y|cos x|的最小正周期為 ；ycos 2x6的最小正周期 T22；ytan2x4的最小正周期 T2. 5 (20 xx 全國卷)函數(shù) f(x)cos(x)的部分圖象如圖 1- 2 所示，則 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( ) 圖 1- 2 A.k14，k34，kZ B.2k14，2k34，kZ C.k14，k34，kZ D.2k14，2k34，kZ D 由圖象知，周期 T254142， 22，. 由 1422k，kZ，不妨取 4， f(x)cosx4. 由 2kx42k，kZ，得 2k14x2k34，kZ， f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為2k14，2k34，kZ.故選 D. 回訪 3 三角恒等變換 6(20 xx 全國卷)已知 sin 223，則 cos24( ) A.16 B.13 C.12 D.23 A sin 223，cos241cos2 221sin 22123216. 7(20 xx 全國乙卷)已知 是第四象限角，且 sin435，則 tan4_. 43 由題意知 sin435， 是第四象限角，所以 cos40，所以cos41sin2445. tan4tan42 1tan4 cos4sin4453543. 熱點題型 1 三角函數(shù)的圖象問題 題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩方面：一是考查三角函數(shù)解析式的求法；二是考查三角函數(shù)圖象的平移變換，常以選擇、填空題的形式考查，難度較低 (1)(20 xx 山西四校聯(lián)考)將函數(shù) y 3cos xsin x(xR)的圖象向左平移 m(m0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則 m 的最小值是( ) A.6 B.12 C.3 D.56 (2)(20 xx 衡水中學四調(diào))已知 A， B， C， D 是函數(shù) ysin(x)0，02一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖 1- 3 所示，A6，0 ，B 為 y 軸上的點，C 為圖象上的最低點，E 為該圖象的一個對稱中心，B 與 D 關(guān)于點 E 對稱，CD在 x 軸上的投影為12，則( ) 圖 1- 3 A2，3 B.2，6 C.12，3 D.12，6 (1)A (2)A (1)設 f(x) 3cos xsin x232cos x12sin x 2sin3x ，向左平移 m 個單位長度得 g(x)2sinxm3.g(x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，g(x)為偶函數(shù)，3m2k(kZ)， m6k(kZ)，又 m0，m 的最小值為6. (2)由題意可知T46124，T，22.又 sin26 0,02，3，故選 A. 1函數(shù) yAsin(x)的解析式的確定 (1)A 由最值確定，A最大值最小值2； (2) 由周期確定； (3) 由圖象上的特殊點確定 提醒：根據(jù)“五點法”中的零點求 時，一般先依據(jù)圖象的升降分清零點的類型 2在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換變換只是相對于其中的自變量 x 而言的，如果 x 的系數(shù)不是 1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向 變式訓練 1 (1)為了得到函數(shù) ysin2x6的圖象，可以將函數(shù) ycos 2x 的圖象( ) 【導學號：859520 xx】 A向右平移6個單位長度 B向右平移3個單位長度 C.向左平移6個單位長度 D向左平移3個單位長度 (2)(20 xx 江西八校聯(lián)考)函數(shù) f(x)Asin x(A0，0)的部分圖象如圖 1- 4 所示，則 f(1)f(2)f(3)f(2 016)的值為( ) 圖 1- 4 A0 B.3 2 C.6 2 D. 2 (1)B (2)A (1)ycos 2xsin2x2， ycos 2x 的圖象向右平移3個單位長度， 得 ysin2x32sin2x6的圖象 故選 B. (2)由題圖可得，A2，T8，28，4， f(x)2sin4x. f(1) 2，f(2)2，f(3) 2，f(4)0，f(5) 2，f(6)2，f(7) 2，f(8)0， 而 2 0168252， f(1)f(2)f(2 016)0. 熱點題型 2 三角函數(shù)的性質(zhì)問題 題型分析：三角函數(shù)的性質(zhì)涉及周期性、單調(diào)性以及最值、對稱性等，是高考的重要命題點之一，常與三角恒等變換交匯命題，難度中等 (20 xx 天津高考)已知函數(shù) f(x)4tan x sin2x cosx3 3. (1)求 f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論 f(x)在區(qū)間4，4上的單調(diào)性 解 (1)f(x)的定義域為x x2k，kZ.1 分 f(x)4tan xcos xcosx3 3 4sin xcosx3 3 4sin x12cos x32sin x 3 2sin xcos x2 3sin2x 3 sin 2x 3(1cos 2x) 3 sin 2x 3cos 2x2sin2x3.4 分 所以 f(x)的最小正周期 T22.6 分 (2)令 z2x3，則函數(shù) y2sin z 的單調(diào)遞增區(qū)間是22k，22k ，kZ. 由22k2x322k， 得12kx512k，kZ.8 分 設 A4，4，Bx12kx512k，kZ ，易知 AB12，4.10 分 所以當 x4，4時， f(x)在區(qū)間12，4上單調(diào)遞增， 在區(qū)間4，12上單調(diào)遞減.12 分 研究函數(shù) yAsin(x)的性質(zhì)的“兩種”意識 1轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換把待求函數(shù)化成 yAsin(x)B 的形式 2整體意識：類比于研究 ysin x 的性質(zhì)，只需將 yAsin(x)中的“x”看成 ysin x 中的“x”代入求解便可 變式訓練 2 (1)(名師押題)已知函數(shù) f(x)2sin2x6，把函數(shù) f(x)的圖象沿 x軸向左平移6個單位， 得到函數(shù) g(x)的圖象 關(guān)于函數(shù) g(x)， 下列說法正確的是( ) A在4，2上是增函數(shù) B其圖象關(guān)于直線 x4對稱 C.函數(shù) g(x)是奇函數(shù) D當 x6，23 時，函數(shù) g(x)的值域是2,1 (2)已知函數(shù) f(x)2sin(2x)(|)， 若5，58是 f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則 的取值范圍為( ) 【導學號：859520 xx】 A.310，910 B.910，44 C.10，4 D.，1034， (1)D (2)C (1)因為 f(x)2sin2x6，把函數(shù) f(x)的圖象沿 x 軸向左平移6個單位，得 g(x)fx62sin2x662sin2x22cos 2x. 對于 A，由 x4，2可知 2x2， ，故 g(x)在4，2上是減函數(shù)，故 A 錯；又 g42cos20， 故 x4不是 g(x)的對稱軸， 故 B 錯； 又 g(x)2cos 2xg(x)，故 C 錯；又當 x6，23時，2x3，43，故 g(x)的值域為2,1，D 正確 (2)令 2k22x2k32，kZ， 所以 k42xk342，kZ， 所以函數(shù) f(x)在k42，k342上單調(diào)遞增 因為5，58是 f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間， 所以58k342，且 k425，kZ， 解得 2k102k4，kZ，又|，所以104.故選 C. 熱點題型 3 三角恒等變換 題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式對三角函數(shù)式化簡求值；二是以三角恒等變換為載體，考查yAsin(x)的有關(guān)性質(zhì) (1)(20 xx 江西八校聯(lián)考)如圖 1- 5，圓 O 與 x 軸的正半軸的交點為 A，點C，B 在圓 O 上，且點 C 位于第一象限，點 B 的坐標為1213，513，AOC，若|BC|1，則 3cos22sin2cos 232的值為_ 圖 1- 5 (2)已知函數(shù) f(x)sin25x6cos25x62 3sin5x6 cos5x6 的圖象經(jīng)過點4，0 ，則函數(shù) f(x)在區(qū)間0，310上的最大值為_ (1)513 (2) 3 2 (1)由題意可知|OB|BC|1，OBC 為正三角形 由三角函數(shù)的定義可知，sinAOBsin3 513， 3cos22sin2cos23231cos 2sin 23232cos 12sin sin3 513. (2)f(x)sin25x6cos25x62 3sin5x6 cos 5x6cos5x3 3sin5x32sin5x36. 由 f(x)的圖象過點4，0 ， 得 2sin53462sin4 2，故 f(x)2sin53x6 2. 因為 0 x310，所以65x363. 因為 ysin x 在6，3上單調(diào)遞增， 所以 f(x)的最大值為 f3102sin3 2 3 2. 1解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系， 把角進行合理的拆分； 二是“函數(shù)名稱”， 是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結(jié)構(gòu)特征”，了解變式或化簡的方向 2在研究形如 f(x)asin xbcos x 的函數(shù)的性質(zhì)時，通常利用輔助角公式asin xbcos xa2b2 sin(x)把函數(shù) f(x)化為 Asin(x)的形式， 通過對函數(shù) yAsin(x)性質(zhì)的研究得到 f(x)asin xbcos x 的性質(zhì) 變式訓練 3 (1)(20 xx 全國卷)設 0，2，0，2，且 tan 1sin cos ，則( ) A32 B.22 C.32 D.22 (2)已知 sin3sin 4 35，20，則 cos23等于( ) A45 B.35 C.45 D.35 (1)B (2)C (1)法一： 由 tan 1sin cos 得sin cos 1sin cos ， 即 sin cos cos cos sin ， sin()cos sin2 . 0，2，0，2， 2，2，20，2， 由 sin()sin2 ，得 2， 22. 法二：tan 1sin cos 1cos2sin2 2cos2422sin42cos42 cot42 tan242 tan42， k42，kZ， 22k2，kZ. 當 k0 時，滿足 22， 故選 B. (2)sin3sin 4 35，20， 32sin 32cos 4 35， 32sin 12cos 45， cos23cos cos 23sin sin 23 12cos 32sin 45.