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1、
高考數(shù)學精品復習資料
2019.5
高考大題標準練(八)
滿分75分，實戰(zhàn)模擬，60分鐘拿下高考客觀題滿分！ 姓名：________ 班級：________
1．(20xx天津卷)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知△ABC的面積為3，b－c＝2，cosA＝－.
(1)求a和sinC的值；
(2)求cos的值．
解：(1)在△ABC中，由cosA＝－，可得sinA＝.
由S△ABC＝bcsinA＝3，得bc＝24，又由b－c＝2，
解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bcco
2、sA，可得a＝8.
由＝，得sinC＝.
(2)cos＝cos2Acos－sin2Asin＝(2cos2A－1)－2sinAcosA＝.
2．(20xx湖南卷)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.
(1)證明：an＋2＝3an；
(2)求Sn.
證明：(1)由條件，對任意n∈N*，
有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，
因而對任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.
兩式相減，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，即an＋2＝3an，n≥2.
又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3
3、a1－(a1＋a2)＋3＝3a1.
故對一切n∈N*，an＋2＝3an.
(2)解：由(1)知，an≠0，所以＝3.于是數(shù)列{a2n－1}是首項a1＝1，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列{a2n}是首項a2＝2，公比為3的等比數(shù)列．因此a2n－1＝3n－1，a2n＝23n－1.
于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)
＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝，
從而S2n－1＝S2n－a2n＝－23n－1
＝(53n－2－1)．
綜上所述，
Sn＝
3．某高校共有學生15 000人
4、，其中男生10 500人，女生4 500人，為調(diào)查該校學生每周平均體育運動時間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學生每周平均體育運動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時)．
(1)應收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？
(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù)，得到學生每周平均體育運動時間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計該校學生每周平均體育運動時間超過4小時的概率；
(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運動時間超過4小時，請完成每周平均體育運動時間與性別的列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為“該
5、校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”．
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解：(1)300＝90，所以應收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．
(2)由頻率分布直方圖得2(0.150＋0.125＋0.075＋0.025)＝0.75，所以該校學生每周平均體育運動時間超過4個小時的概率的估計值為0.75.
(3)由(2)知，300位學生中有3000.75＝225人的每周平均體育運動時間超過4小時，75人的每周平均體育運動時間不超過4小時．又因為樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是
6、關(guān)于女生的．所以每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表如下：
每周平均體育運動時間與性別列聯(lián)表
男生
女生
總計
每周平均體育運動時間不超過4小時
45
30
75
每周平均體育運動時間超過4小時
165
60
225
總計
210
90
300
結(jié)合列聯(lián)表可算得K2的觀測值
k＝＝≈4.762＞3.841.
所以在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為“該校學生的每周平均體育運動時間與性別有關(guān)”．
4．(20xx新課標全國卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.
(1)證明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠
7、ABC＝120，AE⊥EC，三棱錐E－ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．
證明：(1)因為四邊形ABCD為菱形，
所以AC⊥BD.
因為BE⊥平面ABCD，
所以AC⊥BE，又因為BE∩BD＝B，
故AC⊥平面BED.
又AC?平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)解：設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120，可得
AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，
可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，
可得BE＝x.
由已知得，三棱錐E－ACD的體積
VE－ACD＝ACGDBE
＝x3＝.故x
8、＝2.
從而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為.
故三棱錐E－ACD的側(cè)面積為3＋2.
5．(20xx北京卷)已知橢圓C：x2＋3y2＝3.過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交于A，B兩點，直線AE與直線x＝3交于點M.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)若AB垂直于x軸，求直線BM的斜率；
(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由．
解：(1)橢圓C的標準方程為＋y2＝1.所以a＝，b＝1，c＝.
所以橢圓C的離心率e＝＝.
(2)因為AB過點D(1,0)且垂直于x軸，
所以可設(shè)A(1，y1)，
9、B(1，－y1)．
直線AE的方程為y－1＝(1－y1)(x－2)．
令x＝3，得M(3,2－y1)．
所以直線BM的斜率kBM＝＝1.
(3)直線BM與直線DE平行．證明如下：
當直線AB的斜率不存在時，由(2)可知kBM＝1.
又因為直線DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE.
當直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝k(x－1)(k≠1)．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線AE的方程為y－1＝(x－2)．
令x＝3，得點M.
由得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
直線BM的斜率kBM＝.
因為kBM－1＝
10、
＝
＝＝0，
所以kBM＝1＝kDE.所以BM∥DE.
綜上可知，直線BM與直線DE平行．
6．(20xx四川卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)證明：當x>1時，g(x)>0；
(3)確定a的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立．
解：(1)由題意得f′(x)＝2ax－＝(x＞0)．
當a≤0時，f′(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減．
當a＞0時，由f′(x)＝0有x＝，
當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；
當x
11、∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．
(2)證明：令s(x)＝ex－1－x，則s′(x)＝ex－1－1.
當x＞1時，s′(x)＞0，所以ex－1＞x，
從而g(x)＝－＞0.
(3)解：由(2)知，當x＞1時，g(x)＞0.
當a≤0，x＞1時，f(x)＝a(x2－1)－ln x＜0.
故當f(x)＞g(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)恒成立時，必有a＞0.
當0＜a＜時，＞1.
由(1)有f＜f(1)＝0，而g＞0，
所以此時f(x)＞g(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)不恒成立．
當a≥時，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)．
當x＞1時，h′(x)＝2ax－＋－e1－x＞x－＋－＝＞＞0.
因此，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
又因為h(1)＝0，所以當x＞1時，h(x)＝f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x)恒成立．
綜上，a∈.
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