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高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 Word版含答案

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高考數(shù)學(xué)理二輪復(fù)習(xí)教師用書:第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題2 第3講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 Word版含答案

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5數(shù) 列第3講等差數(shù)列、等比數(shù)列題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(對應(yīng)學(xué)生用書第8頁)核心知識儲備1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式ana1(n1)d;Snna1d.2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式ana1qn1(q0);Sn(q1)典題試解尋法【典題1】(考查等比數(shù)列的基本量運(yùn)算)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm15,Sm11,Sm121,則m()A3B4C5D6解析Sm15,Sm11,Sm121,amSmSm116,am1Sm1Sm32.q2.又Sm11,am1a1(2)m32,a11,m5.答案C【典題2】(考查等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)與求和)(20xx全國卷)已知an是公差為3的等差數(shù)列,數(shù)列bn滿足b11,b2,anbn1bn1nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)求bn的前n項(xiàng)和. 【導(dǎo)學(xué)號:07804019】解(1)由已知,a1b2b2b1,b11,b2,得a12.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an3n1.(2)由(1)知anbn1bn1nbn,得bn1,因此bn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列記bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn.類題通法在等差(比)數(shù)列問題中最基本的量是首項(xiàng)a1和公差d(公比q),在解題時(shí)往往根據(jù)已知條件建立關(guān)于這兩個(gè)量的方程組,從而求出這兩個(gè)量,其他問題也就會迎刃而解.這就是解決等差、等比數(shù)列問題的基本量的方法,這其中蘊(yùn)含著方程的思想.提醒:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),務(wù)必注意公比q的取值范圍.對點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1九章算術(shù)是我國古代第一部數(shù)學(xué)專著,全書收集了246個(gè)問題及其解法,其中一個(gè)問題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面四節(jié)容積之和為3升,下面三節(jié)的容積之和為4升,求中間兩節(jié)的容積各為多少?”該問題中第2節(jié),第3節(jié),第8節(jié)竹子的容積之和為()A.升B升C.升D升A自上而下依次設(shè)各節(jié)竹子的容積分別為a1,a2,a9,依題意有,因?yàn)閍2a3a1a4,a7a92a8,故a2a3a8.選A.2已知數(shù)列an為等差數(shù)列,其中a2a38,a53a2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列bn中,b11,b22,從數(shù)列an中取出第bn項(xiàng)記為cn,若cn是等比數(shù)列,求bn的前n項(xiàng)和解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,依題意有,解得a11,d2,從而an的通項(xiàng)公式為an2n1,nN*.(2)c1ab1a11,c2ab2a23,從而等比數(shù)列cn的公比為3,因此cn13n13n1.另一方面,cnabn2bn1,所以2bn13n1,因此bn.記bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時(shí)集訓(xùn)T1、T4、T5、T9、T12、T13)題型2等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)(對應(yīng)學(xué)生用書第9頁)核心知識儲備1若m,n,p,qN*,mnpq,則在等差數(shù)列中amanapaq,在等比數(shù)列中,amanapaq.2若an,bn均是等差數(shù)列,Sn是an的前n項(xiàng)和,則mankbn,仍為等差數(shù)列,其中m,k為常數(shù)3若an,bn均是等比數(shù)列,則can(c0),|an|,anbn,manbn(m為常數(shù),m0),a,仍為等比數(shù)列4(1)等比數(shù)列(q1)中連續(xù)k項(xiàng)的和成等比數(shù)列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等比數(shù)列,其公比為qk.(2)等差數(shù)列中連續(xù)k項(xiàng)的和成等差數(shù)列,即Sk,S2kSk,S3kS2k,成等差數(shù)列,公差為k2d.5若A2n1,B2n1分別為等差數(shù)列an,bn的前2n1項(xiàng)的和,則.典題試解尋法【典題1】(考查等比數(shù)列的性質(zhì))(20xx福州五校二模聯(lián)考)在等比數(shù)列an中,a3,a15是方程x27x120的兩根,則的值為()A2B4C2D4解析a3,a15是方程x27x120的兩根,a3a1512,a3a157,an為等比數(shù)列,又a3,a9,a15同號,a90,a92,a92.故選A.答案A【典題2】(考查等差數(shù)列的性質(zhì))(20xx湘中名校聯(lián)考)若an是等差數(shù)列,首項(xiàng)a10,a2 016a2 0170,a2 016a2 0170,則使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大正整數(shù)n是()A2 016B2 017C4 032D4 033解析因?yàn)閍10,a2 016a2 0170,a2 106a2 0170,所以d0,a2 0160,a2 0170,所以S4 0320,S4 0334 033a2 0170,所以使前n項(xiàng)和Sn0成立的最大正整數(shù)n是4 032,故選C.答案C【典題3】(考查數(shù)列的單調(diào)性與最值)(20xx洛陽一模)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為,公比為,前n項(xiàng)和為Sn,則當(dāng)nN*時(shí),Sn的最大值與最小值之和為()【導(dǎo)學(xué)號:07804020】ABC.D解析依題意得,Sn1n.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn1隨著n的增大而減小,1Sn1S1,Sn隨著Sn的增大而增大,0Sn;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),Sn1隨著n的增大而增大,S2Sn11,Sn隨著Sn的增大而增大,Sn0.因此Sn的最大值與最小值分別為、,其最大值與最小值之和為,選C.答案C類題通法1.應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解題,關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號之間的關(guān)系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解.2數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法常有以下兩種:(1)根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)f(n)an,利用求解函數(shù)最值的方法(多利用函數(shù)的單調(diào)性)進(jìn)行求解,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù)的限制(2)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解,若求數(shù)列an的最大項(xiàng),則可解不等式組若求數(shù)列an的最小項(xiàng),則可解不等式組求出n的取值范圍之后,再確定取得最值的項(xiàng)對點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練1已知等比數(shù)列an,且a6a8dx,則a8(a42a6a8)的值為()A2B42C82D162D因?yàn)閍6a8dx424,所以a8(a42a6a8)a8a42a6a8aa2a6a8a(a6a8)2162,故選D.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S15>0,S16<0,則,中最大的項(xiàng)為()【導(dǎo)學(xué)號:07804021】A.BC.DC由S1515a8>0,S1616<0,可得a8>0,a9<0,d<0,故Sn最大為S8.又d<0,所以an單調(diào)遞減,因?yàn)榍?項(xiàng)中Sn遞增,所以Sn最大且an取最小正值時(shí)有最大值,即最大,故選C.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時(shí)集訓(xùn)T3、T6、T8、T10)題型3等差、等比數(shù)列的判定與證明(對應(yīng)學(xué)生用書第10頁)核心知識儲備數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法:(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明an1an(nN*)為同一常數(shù);利用中項(xiàng)性質(zhì),即證明2anan1an1(n2)(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義,證明(nN*)為同一常數(shù);利用等比中項(xiàng),即證明aan1an1(n2)典題試解尋法【典題】(20xx全國卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù)(1)證明:an2an;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由解(1)證明:由題設(shè)知anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1,由于an10,所以an2an.(2)由題設(shè)知a11,a1a2S11,可得a21.由(1)知,a31.令2a2a1a3,解得4.故an2an4,由此可得a2n1是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3.a2n是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列類題通法(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列,也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,但不能作為證明方法.(2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件,判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零.對點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a12,2Sn(n1)2ann2an1,數(shù)列bn滿足b11,bnbn12an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)是否存在正實(shí)數(shù),使得bn為等比數(shù)列?并說明理由解(1)由2Sn(n1)2ann2an1,得到2Sn1n2an1(n1)2an,所以2an(n1)2ann2an1n2an1(n1)2an,所以2anan1an1,所以數(shù)列an為等差數(shù)列,因?yàn)?S1(11)2a1a2,所以48a2,所以a24,所以da2a1422,所以an22(n1)2n.(2)存在,因?yàn)閎nbn12an4n,b11,所以b2b14,所以b24,所以bn1bn24n1,所以4,所以bn24bn,所以b34b14,若bn為等比數(shù)列,則(b2)2b3b1,所以16241,所以.題型強(qiáng)化集訓(xùn)(見專題限時(shí)集訓(xùn)T2、T7、T11、T14)三年真題| 驗(yàn)收復(fù)習(xí)效果(對應(yīng)學(xué)生用書第11頁)1(20xx全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524,S648,則an的公差為()A1B2C4D8C設(shè)an的公差為d,則由得解得d4.故選C.2(20xx全國卷)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前6項(xiàng)的和為() 【導(dǎo)學(xué)號:07804022】A24B3C3D8A由已知條件可得a11,d0,由aa2a6可得(12d)2(1d)(15d),解得d2.所以S66124.故選A.3(20xx全國卷)我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A1盞B3盞C5盞D9盞B設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1,七層塔的總燈數(shù)為S7,公比為q,則由題意知S7381,q2,S7381,解得a13.故選B.4(20xx全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13,a1a3a521,則a3a5a7()A21B42C63D84B設(shè)數(shù)列an的公比為q.a13,a1a3a521,33q23q421,1q2q47,解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故選B.5(20xx全國卷)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310,a2a45,則a1a2an的最大值為_64設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則由a1a310,a2a4q(a1a3)5,知q.又a1a1q210,a18.故a1a2anaq12(n1)23n22.記t(n27n),結(jié)合nN*可知n3或4時(shí),t有最大值6.又y2t為增函數(shù),從而a1a2an的最大值為2664.6(20xx全國卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an,其中0. 【導(dǎo)學(xué)號:07804023】(1)證明an是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;(2)若S5,求.解(1)證明:由題意得a1S11a1,故1,a1,故a10.由Sn1an,Sn11an1得an1an1an,即an1(1)an.由a10,0得an0,所以.因此an是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1,即.解得1.

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