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1、
高考數(shù)學精品復(fù)習資料
2019.5
第12講 圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)
題型1 圓錐曲線的定義、標準方程
(對應(yīng)學生用書第40頁)
■核心知識儲備………………………………………………………………………
圓錐曲線的定義
(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)雙曲線||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)拋物線:|PF|=|PM|,點F不在直線l上,PM⊥l于M.
■典題試解尋法………………………………………………………………………
【典題1】
2、 (考查圓錐曲線標準方程的求解)設(shè)雙曲線與橢圓+=1相交且有共同的焦點,其中一個交點的坐標為(,4),則此雙曲線的標準方程是( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
[思路分析] 依據(jù)已知條件,得出雙曲線的焦點坐標和雙曲線過點(,4),利用定義法、待定系數(shù)法或共焦點曲線系方程求解即可.
[解析] 法一:(定義法)橢圓+=1的焦點坐標分別是(0,3),(0,-3).
根據(jù)雙曲線的定義知,2a=|-|=4,
解得a=2,又b2=c2-a2=5,
所以所求雙曲線的標準方程為-=1.故選A.
法二:(待定系數(shù)法)橢圓+=1的焦點坐標分別是(0,3),(0,-3).
設(shè)
3、雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),
則a2+b2=9.①
又點(,4)在雙曲線上,所以-=1.②
由①②解得a2=4,b2=5.故所求雙曲線的標準方程為-=1.故選A.
法三:(共焦點的曲線系方程)設(shè)雙曲線的方程為+=1(27<λ<36),由于雙曲線過點(,4),故+=1,解得λ=32或λ=0(舍去).故所求雙曲線的標準方程為-=1.故選A.
[答案] A
【典題2】 (考圓錐曲線定義的應(yīng)用)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,Q是直線PF與拋物線C的一個交點,若=4,則|QF|=( )
【導(dǎo)學號:07804086】
A. B.3 C
4、. D.2
[解析] 如圖所示,因為=4,所以=,過點Q作QM⊥l垂足為M,則MQ∥x軸,
所以==,所以|MQ|=3,由拋物線定義知|QF|=|QM|=3.
[答案] B
【典題3】 (考查圓錐曲線的軌跡問題)(20xx福建泉州二模)在△ABC中,O是BC的中點,|BC|=3,△ABC的周長為6+3,若點T在線段AO上,且|AT|=2|TO|,建立合適的平面直角坐標系,求點T的軌跡E的方程.
[解] 以O(shè)為坐標原點,BC為x軸,BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系xOy.依題意,得B,C.由|AB|+|AC|+|BC|=6+3,得|AB|+|AC|=6,故|AB|+|A
5、C|=6>|BC|,所以A的軌跡是以B,C為焦點,長軸長為6的橢圓(除去長軸端點).所以點A的軌跡方程為+=1(x≠3).設(shè)A(x0,y0),T(x,y),依題意=,所以(x,y)=(x0,y0),即代入A的軌跡方程+=1(x≠3),得+=1(x≠1),所以點T的軌跡E的方程為x2+2y2=1(x≠1).
[類題通法]
1.求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型,后計算”
(1)定型,就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點位置,從而設(shè)出標準方程.
(2)計算,即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2,b2或p.另外,當焦點位置無法確定時,拋物線常設(shè)為y2=2ax或x2=2ay(a≠0),橢圓常設(shè)
6、為mx2+ny2=1(m>0,n>0),雙曲線常設(shè)為mx2-ny2=1(mn>0).
2.轉(zhuǎn)化法
利用拋物線的定義,將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離.
■對點即時訓練………………………………………………………………………
1.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為2,它的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準線分別交于A,B兩點,O為坐標原點.若△AOB的面積為,則拋物線的準線方程為( )
A.x=-2 B.x=2
C.x=1 D.x=-1
D [因為e==2,所以c=2a,b=a,雙曲線的漸近線方程為y=x.又拋物線的準線方程為x=-,聯(lián)立雙曲線的漸近
7、線方程和拋物線的準線方程得A,B,在△AOB中,|AB|=p,點O到AB的距離為,所以p=,所以p=2,所以拋物線的準線方程為x=-1,故選D.]
2.設(shè)橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在橢圓上,且滿足=9,則||||的值為( )
【導(dǎo)學號:07804087】
A.8 B.10
C.12 D.15
D [因為P是橢圓+=1上一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點,所以|PF1|+|PF2|=8,|F1F2|=4.因為=9,所以||||cos∠F1PF2=9.因為||2=||2+||2-2||||cos∠F1PF2=(||+||)2-2||||-2||||cos∠F1P
8、F2,所以64-2||||-18=16.所以||||=15.故選D.]
■題型強化集訓………………………………………………………………………
(見專題限時集訓T1、T2、T8、T9、T10、T11、T13)
題型2 圓錐曲線的幾何性質(zhì)
(對應(yīng)學生用書第41頁)
■核心知識儲備………………………………………………………………………
1.橢圓、雙曲線中,a,b,c之間的關(guān)系
(1)在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e==;
(2)在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e==.
2.雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=x.
注意離心率e與漸近線的斜率的關(guān)系.
■典
9、題試解尋法………………………………………………………………………
【典題1】 (考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì))已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓+=1(a>b>0)的焦點與頂點,若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形,則橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
[思路分析]?。?(a>b>0)
雙曲線的方程―→雙曲線的漸近線橢圓的離心率.
[解析] 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),則由題意可知雙曲線的方程為-=1,其漸近線方程為y=x.因為雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構(gòu)成的四邊形恰為正方形,所以由橢圓的對稱性可知,漸近線的方程為y=
10、x,即b=c,所以a==c,故橢圓的離心率e=,故選C.
[答案] C
【典題2】 (考查拋物線的幾何性質(zhì))已知拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點與雙曲線C2:-y2=1的右焦點的連線交C1于點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=( )
【導(dǎo)學號:07804088】
A. B.
C. D.
[思路分析] 先由拋物線的焦點坐標與雙曲線的焦點坐標得出直線方程,再對拋物線方程求導(dǎo),設(shè)點M的坐標為(x0,y0),代入即可求得過點M的切線方程的斜率,結(jié)合C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線以及點M在拋物線上可得點M的坐標,把點M的坐標代入直線方程,求解即可.
[
11、解析] 由題意知,拋物線的焦點坐標為,雙曲線的右焦點坐標為(2,0),所以上述兩點連線的方程為+=1.
易知雙曲線的漸近線方程為 y=x.對函數(shù)y=x2求導(dǎo),得y′=x.設(shè)M(x0,y0),則x0=,即x0=p,代入拋物線方程得y0=p,即M.由于點M在直線+=1上,所以p+=1,解得p==.故選C.
[答案] C
[類題通法]
確定橢圓和雙曲線的離心率的值及范圍,其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a,b,c的方程(組)或不等式(組),再根據(jù)a,b,c的關(guān)系消掉b得到a,c的關(guān)系式.建立關(guān)于a,b,c的方程(組)或不等式(組),要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.
提醒:求橢圓、
12、雙曲線的離心率,常利用方程思想及整體代入法,該思想及方法利用待定系數(shù)法求方程時經(jīng)常用到.
■對點即時訓練………………………………………………………………………
1.已知橢圓+=1(a>b>0),A,B為橢圓上的兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點M,則橢圓的離心率e的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
D [設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
則
即
所以(x1-x2)=(x-x),
所以=x1+x2.
又-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,x1≠x2,所以-2a<x1+x2<2a,則<2a,即<,所以e2>.又0<e<1,所以<e<1.]
2.已知雙
13、曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,傾斜角為的直線l過F2且與雙曲線交于M,N兩點,且△F1MN是等邊三角形,則雙曲線的漸近線方程為________.
y=x [由題意知,F(xiàn)2(c,0),c=,設(shè)M(c,yM),由-=1得y=b2=,|yM|=.因為△F1MN是等邊三角形,所以2c=|yM|,即==,
即c2-a2-ac=0,
得=,c2=3a2,
又a2+b2=c2,
所以b2=2a2,
雙曲線的漸近線方程為y=x,
故雙曲線的漸近線方程為y=x.]
■題型強化集訓………………………………………………………………………
(見專題限時集訓T3、T4、T5
14、、T6、T7、T12、T14)
三年真題| 驗收復(fù)習效果
(對應(yīng)學生用書第42頁)
1.(20xx全國Ⅲ卷)已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點,則C的方程為( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
B [由y=x可得=.①
由橢圓+=1的焦點為(3,0),(-3,0),
可得a2+b2=9.②
由①②可得a2=4,b2=5.
所以C的方程為-=1.
故選B.]
2.(20xx全國Ⅰ卷)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是( )
A.(-1,3) B.(-
15、1,)
C.(0,3) D.(0,)
A [若雙曲線的焦點在x軸上,則
又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,∴
∴-13m2且n<-m2,此時n不存在.故選A.]
3.(20xx全國Ⅰ卷)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A,B兩點,交C的準線于D,E兩點.已知|AB|=4,|DE|=2,則C的焦點到準線的距離為( )
【導(dǎo)學號:07804089】
A.2 B.4
C.6 D.8
B [設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),圓的方程為x2+y2=r2.
∵|AB|=4,|DE|
16、=2,
拋物線的準線方程為x=-,
∴不妨設(shè)A,D.
∵點A,D在圓x2+y2=r2上,
∴∴+8=+5,∴p=4(負值舍去).
∴C的焦點到準線的距離為4.]
4.(20xx全國Ⅰ卷)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2是C的兩個焦點,若<0,則y0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
A [由題意知a=,b=1,c=,∴F1(-,0),F(xiàn)2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).
∵<0,∴(--x0)(-x0)+y<0,
即x-3+y<0.
∵點M(x0,y0)在雙曲線上,∴-y=1,即x=2+2y,∴2+2y-
17、3+y<0,∴-