高考數(shù)學理二輪復習教師用書：第1部分 重點強化專題 專題6 第15講　函數(shù)與方程 Word版含答案

高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第15講函數(shù)與方程題型1函數(shù)零點個數(shù)的判斷(對應學生用書第50頁)核心知識儲備·1零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根2函數(shù)的零點與方程根的關系函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫坐標典題試解尋法·【典題1】(考查數(shù)形結(jié)合法判斷函數(shù)的零點個數(shù))已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：圖象關于(1,0)點對稱；f(1x)f(1x)；當x1,1時，f(x)則函數(shù)yf(x)在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為()A5B6C7D8思路分析函數(shù)yf(x)在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)函數(shù)yf(x)與函數(shù)y在3,3上的圖象交點個數(shù)下結(jié)論解析因為f(1x)f(1x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x1對稱，又函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，如圖，畫出f(x)以及g(x)在3,3上的圖象由圖可知，兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為5，所以函數(shù)yf(x)在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為5，故選A.答案A【典題2】(考查應用零點存在性定理判斷函數(shù)的零點個數(shù))已知函數(shù)fn(x)xln x(nN*，e2.718 28為自然對數(shù)的底數(shù))(1)求曲線yf1(x)在點(1，f1(1)處的切線方程；(2)討論函數(shù)fn(x)的零點個數(shù). 【導學號：07804105】解(1)因為f1(x)xln xx2，所以f1(x)ln x12x，所以f1(1)121.又f1(1)1，所以曲線yf1(x)在點(1，f1(1)處的切線方程為y1(x1)，即yx.(2)令fn(x)0，得xln x0(nN*，x>0)，所以nln xx0.令g(x)nln xx，則函數(shù)fn(x)的零點與函數(shù)g(x)nln xx的零點相同因為g(x)1，令g(x)0，得xn，所以當x>n時，g(x)<0；當0<x<n時g(x)>0，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，n上單調(diào)遞增，在區(qū)間n，)上單調(diào)遞減所以函數(shù)g(x)在xn處有最大值，且g(n)nln nn.當n1時，g(1)ln 111<0，所以函數(shù)g(x)nln xx的零點個數(shù)為0；當n2時，g(2)2ln 22<2ln e20，所以函數(shù)g(x)nln xx的零點個數(shù)為0；當n3時，g(n)nln nnn(ln n1)n(ln 31)>n(ln e1)0，因為g(e2n)nln e2ne2n<2n24n2n2(13)n<2n2<2n213n3n(n1)n21<0，且g(1)<0，所以由函數(shù)零點的存在性定理，可得函數(shù)g(x)nln xx在區(qū)間(1，n)和(n，)內(nèi)都恰有一個零點所以函數(shù)g(x)nln xx的零點個數(shù)為2.綜上所述，當n1或n2時，函數(shù)fn(x)的零點個數(shù)為0；當n3且nN*時，函數(shù)fn(x)的零點個數(shù)為2.類題通法1.求函數(shù)零點個數(shù)的兩種方法：(1)由函數(shù)零點存在性定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷；(2)由函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)極值的正負來確定.2.零點個數(shù)的討論,對于不可求的零點，需要通過方程轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)的交點個數(shù)判斷.3.零點討論中的參數(shù),針對參數(shù)的討論有兩個方向：一是方程根的個數(shù)；二是參數(shù)對構造的初等函數(shù)圖象形狀的影響.對點即時訓練·1已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)F(x)ff(x)2f(x)的零點個數(shù)是()A4B5C6D7A(數(shù)形結(jié)合思想)令f(x)t，則函數(shù)F(x)可化為yf(t)2t，則函數(shù)F(x)的零點問題可轉(zhuǎn)化為方程f(t)2t0有根的問題令yf(t)2t0，即f(t)2t，如圖(1)，由數(shù)形結(jié)合得t10,1<t2<2，如圖(2)，再由數(shù)形結(jié)合得，當f(x)0時，x2，有1個解，當f(x)t2時，有3個解，所以F(x)ff(x)2f(x)共有4個零點故選A.圖(1)圖(2)2函數(shù)f(x)cos 2x在區(qū)間3,3上零點的個數(shù)為()A3B4C5D6 C設函數(shù)g(x)1x，h(x)cos 2x，則f(x)g(x)h(x)，g(x)1xx2x3x2 015x2 016(1x)x2(1x)x2 014(1x)x2 016.當3x1時，顯然g(x)0；g(x)1x(x1)x3(x1)x2 015(x1)，當1<x3時，顯然g(x)>0，所以g(x)在區(qū)間3,3上是增函數(shù)，又g(1)<0，g(0)1>0，所以g(x)在區(qū)間3,3上有且只有1個零點x0(1,0)，且x0.h(x)cos 2x在區(qū)間3,3上有4個零點：，所以函數(shù)f(x)g(x)h(x)在區(qū)間3,3上有5個零點題型強化集訓·(見專題限時集訓T2、T5、T6、T13、T14)題型2已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍(對應學生用書第51頁)核心知識儲備·已知函數(shù)有零點(方程有根或圖象有交點)求參數(shù)的值或取值范圍常用的方法：直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的方程或不等式，再通過解方程或不等式確定參數(shù)的值或取值范圍分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題加以解決數(shù)形結(jié)合法：在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解典題試解尋法·【典題1】(考查已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)范圍)(20xx·太原二模)已知f(x)x2ex，若函數(shù)g(x)f2(x)kf(x)1恰有四個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A(，2)(2，)B.C.D思路分析f(x)x2ex畫f(x)的圖象g(x)有四個零點方程t2kt10在和各有1解實數(shù)k的取值范圍解析(數(shù)形結(jié)合思想)f(x)xex(x2)，令f(x)>0，得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，2)，(0，)，令f(x)<0，得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,0)，所以f(2)4e2>0為函數(shù)f(x)的極大值，f(0)0為函數(shù)f(x)的極小值，故f(x)0，作出其函數(shù)圖象如圖所示因為函數(shù)g(x)f2(x)kf(x)1恰有四個零點，令f(x)t，則關于t的方程t2kt10有兩個不相同的根，記為t1，t2，且0<t1<4e2,4e2<t2，所以，解得k>，故選D.答案D【典題2】(考查已知方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍)已知函數(shù)f(x)，其中m>0.若存在實數(shù)b，使得關于x的方程f(x)b有三個不同的根，則m的取值范圍是_. 【導學號：07804106】思路分析方程f(x)b有三個不同的根函數(shù)f(x)與函數(shù)yb有三個不同的交點依據(jù)m的取值畫函數(shù)f(x)的圖象求m的取值范圍解析f(x)當x>m時，f(x)x22mx4m(xm)24mm2，其頂點為(m,4mm2)；當xm時，函數(shù)f(x)的圖象與直線xm的交點為Q(m，m)當即0<m3時，函數(shù)f(x)的圖象如圖(1)所示，易得直線yb與函數(shù)f(x)的圖象有一個或兩個不同的交點，不符合題意；當即m>3時，函數(shù)f(x)的圖象如圖(2)所示，則存在實數(shù)b滿足4mm2<bm，使得直線yb與函數(shù)f(x)的圖象有三個不同的交點，符合題意綜上，m的取值范圍為(3，)圖(1) 圖(2)答案(3，)【典題3】(考查導數(shù)在函數(shù)零點中的應用)(20xx·全國卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個零點，求a的取值范圍思路分析求f(x)求函數(shù)的單調(diào)性及極值確定a的取值范圍解f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)設a0，則f(x)(x2)ex，f(x)只有一個零點設a0，則當x(，1)時，f(x)0；當x(1，)時，f(x)0，所以f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且bln ，則f(b)(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在兩個零點設a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，則ln(2a)1，故當x(1，)時，f(x)0，因此f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又當x1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點若a<，則ln(2a)1，故當x(1，ln(2a)時，f(x)0；當x(ln(2a)，)時，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)內(nèi)單調(diào)遞增又當x1時，f(x)0，所以f(x)不存在兩個零點綜上，a的取值范圍為(0，) 類題通法已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍問題的關鍵有以下幾點：一是將原函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，并進行適當化簡、整理；二是構造新的函數(shù)，把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為新構造的兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題；三是對新構造的函數(shù)進行畫圖；四是觀察圖象，得參數(shù)的取值范圍.對點即時訓練·1設x表示不小于實數(shù)x的最小整數(shù)，如2.63，3.53.已知函數(shù)f(x)x22x，若函數(shù)F(x)f(x)k(x2)2在(1,4上有兩個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A.2,5)B.5,10)C.5,10)D.5,10)B令F(x)0，得f(x)k(x2)2，作出函數(shù)yf(x)和yk(x2)2的圖象如圖所示若函數(shù)F(x)f(x)k(x2)2在(1,4上有兩個零點，則函數(shù)f(x)和g(x)k(x2)2的圖象在(1,4上有兩個交點因為g(x)過定點P(2，2)，經(jīng)計算可得kPA5，kPB10，kPO1，kPC，所以k的取值范圍是5,10)故選B.2已知函數(shù)f(x)ex，若關于x的不等式f(x)22f(x)a0在0,1上有解，則實數(shù)a的取值范圍為_. 【導學號：07804107】(，e22e由f(x)22f(x)a0在0,1上有解，可得af(x)22f(x)，即ae2x2ex.令g(x)e2x2ex(0x1)，則ag(x)max，因為0x1，所以1exe，則當exe，即x1時，g(x)maxe22e，即ae22e，故實數(shù)a的取值范圍是(，e22e 題型強化集訓·(見專題限時集訓T1、T3、T4、T7、T8、T9、T10、T11、T12)三年真題| 驗收復習效果(對應學生用書第52頁)1.(20xx·全國卷)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點，則a()ABCD1C法一：(換元法)f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點，g(t)也有唯一零點又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0，2a10，解得a.故選C.法二：(等價轉(zhuǎn)化法)f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，當且僅當x1時取“”x22x(x1)211，當且僅當x1時取“”若a0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點，則必有2a1，即a.若a0，則f(x)的零點不唯一故選C.2(20xx·全國卷)已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點x0，且x0>0，則a的取值范圍是() 【導學號：07804108】A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)Bf(x)3ax26x，當a3時，f(x)9x26x3x(3x2)，則當x(，0)時，f(x)>0；x時，f(x)<0；x時，f(x)>0，注意f(0)1，f>0，則f(x)的大致圖象如圖(1)所示圖(1)不符合題意，排除A、C.當a時，f(x)4x26x2x(2x3)，則當x時，f(x)<0，x時，f(x)>0，x(0，)時，f(x)<0，注意f(0)1，f，則f(x)的大致圖象如圖(2)所示圖(2)不符合題意，排除D.3.(20xx·全國卷)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍. 解(分類討論思想)(1)f(x)的定義域為(，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)()若a0，則f(x)<0，所以f(x)在(，)單調(diào)遞減()若a>0，則由f(x)0得xln a.當x(，ln a)時，f(x)<0；當x(ln a，)時，f(x)>0.所以f(x)在(，ln a)單調(diào)遞減，在(ln a，)單調(diào)遞增(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一個零點()若a>0，由(1)知，當xln a時，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)1ln a.當a1時，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個零點；當a(1，)時，由于1ln a0，即f(ln a)>0，故f(x)沒有零點；當a(0,1)時，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e22>2e22>0，故f(x)在(，ln a)有一個零點設正整數(shù)n0滿足n0ln，則f(n0)e(aea2)n0en02n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一個零點綜上，a的取值范圍為(0,1)