專題44 齊次式法求三角函數(shù)值(解析版)

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1、 專題44 齊次式法求三角函數(shù)值 一、單選題 1．已知，則等于（ ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可. 【詳解】 . 故選：A 2．已知兩曲線，，相交于點(diǎn)，若兩曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】 設(shè)切點(diǎn)，，分別求得，的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直的條件和同角的基本關(guān)系式，解方程可得所求值． 【詳解】 設(shè)切點(diǎn)，， 由的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)， 可得，所以， 又， 即， 則， 即為，解得（負(fù)值舍去）， 故選：

2、B 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是怎么迅速計(jì)算出的值，本題的計(jì)算利用了“1”的變式，即，簡(jiǎn)潔高效. 3．已知，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理，可求得的值，將所求改寫成，上下同除，即可得結(jié)果. 【詳解】 由題意得，所以，解得， 所以. 故選：A 4．已知函數(shù)（且）的圖象恒過點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可解出，再根據(jù)齊次式化簡(jiǎn)技巧將目標(biāo)式化簡(jiǎn)求值. 【詳解】 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，易知點(diǎn)，故， 所以． 故選：D． 【點(diǎn)睛】

3、 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的化簡(jiǎn)求值問題，難度一般.對(duì)于齊次式化簡(jiǎn)求值問題，可分子分母同除以，利用的值求解. 5．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，由此求得所求表達(dá)式的值. 【詳解】 . 故選：B 6．已知，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用三角函數(shù)平方關(guān)系化簡(jiǎn)整理得：原式 變形處理，分子分母同時(shí)除以，即可得解. 【詳解】 因?yàn)椋? 所以 故選：D. 7．已知，則（ ） A．

4、B． C． D． 【答案】B 【分析】 由已知求得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解. 【詳解】 由，得，即. . 故選：B 【點(diǎn)睛】 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題. 8．已知，則（ ） A．-4 B．4 C．5 D．-5 【答案】D 【分析】 由可得，再由即可求解. 【詳解】 ，， . 故選：D. 【點(diǎn)睛】 本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查正余弦齊次式計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題. 9．已知，則（ ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】 由定積分得可得，再由即可求解. 【

5、詳解】 由，則，則，由 故選：D. 【點(diǎn)睛】 本題考查定積分的計(jì)算，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用及正余弦齊次式計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題. 10．已知，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可. 【詳解】 由， 得. 故選：A. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.屬于容易題. 11．已知向量，，若，則（ ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【分析】 根據(jù)向量，，由得到 ，然后再由.求解. 【詳解】 因?yàn)橄蛄?，? 所以， 即， 所以 所以. 故選：A 【點(diǎn)睛】

6、 本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題. 二、解答題 12．已知角的終邊在直線上． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）角的終邊上取一點(diǎn)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求解即可； （2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，再弦化切即可得解. 【詳解】 （1）角的終邊在直線上,任取一點(diǎn) 可得； （2）. 13．（1）已知，求及的值； （2）已知，求的值； 【答案】（1）；；（2）. 【分析】 （1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解； （2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形，代入求解

7、. 【詳解】 （1）∵， ； ∴ ； （2）∵ ． ∴ . 14．已知是三角形的內(nèi)角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由，求得，得到，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解. （2）由（1）知，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，即可求解. 【詳解】 （1）由題意，角是三角形的內(nèi)角，且， 平方可得，可得， 所以， 又由，可得， 聯(lián)立方程組，可得，則 因?yàn)? （2）由（1）知. 又由 . 15．已知. （1）化簡(jiǎn)，并求； （2）若，求的值； （3）求函數(shù)的值域.

8、 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】 （1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得； （2）由平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解； （3）轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解. 【詳解】 （1）由題意可得， 故； （2）∵， 故 ； （3）因?yàn)椋? 所以， 因?yàn)椋? 所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 所以的值域?yàn)? 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系對(duì)原式進(jìn)行合理變形. 16．已知 （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）原式分子分母同除以化為進(jìn)行解答； （2）先求出，再求與的值，進(jìn)而

9、得答案． 【詳解】 （1） （2）∵， ∴，， ∴原式． 17．已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根據(jù)利用兩角差的正切公式計(jì)算可得； （2）利用弦化切代入計(jì)算可得； 【詳解】 （1）， 又，． （2） 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，常用拼湊角： （1）再利用誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過程，常見的互余關(guān)系有：與，與，與等；常見的互補(bǔ)關(guān)系有： 與，與等； （2）在利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，常根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互余、互補(bǔ)的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論的差

10、異，使問題獲解，常見角的變換方式有：，，等等. 18．已知，其中． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用誘導(dǎo)公式可得出，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的值，求出、的值，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值； （2）將所求代數(shù)式變形為，在分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值. 【詳解】 （1）， 由誘導(dǎo)公式可得， ，，由已知可得，解得， 因此，； （2）. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值問題中已知，求關(guān)于、的代數(shù)式的值時(shí)，一般利用弦化切公式后直接代入的值，在關(guān)于、的齊次式中，常常利用弦化切的方程轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式

11、. 19．已知，求下列各式的值： （1）； （2）sin2α+2sinαcosα. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由誘導(dǎo)公式得，代入原式求值即可. （2）由（1）得，而即可求值. 【詳解】 （1）∵， ∴，即， ∴原式＝； （2）由（1）知：， ∴原式＝. 20．已知，求下列各式的值. （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1），然后可算出答案； （2），然后可算出答案. 【詳解】 （1）原式; （2）原式 . 21．（1）已知方程，的值． （2）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，且，求的值． 【答案】（1）；（2

12、） 【分析】 （1）由已知利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為含有的形式，代入即可； （2）由根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，結(jié)合的范圍求出，進(jìn)一步求出，即可求的值． 【詳解】 解：（1）由得：， 即， ， ； （2），是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根， ， 解得：， 又， ， ， 即， 解得：， ， . 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是化弦為切. 22．已知，且為第三象限角. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2），. 【分析】 （1）將化為即可求出； （2）由，即可求出. 【詳解】 （1）

13、， ； （2），即 ，即， 為第三象限角，，. 23．已知，且是第四象限的角． （1）求； （2）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，先求出余弦值，再求正切值即可； （2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將原式化簡(jiǎn)整理，即可求出結(jié)果. 【詳解】 （1）因?yàn)?，是第四象限的角? 所以， 因此； （2）由（1）可得： . 24．（1）若，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解； （2）由

14、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，進(jìn)而可得，即可得解. 【詳解】 （1）因?yàn)?，所? 原式=； （2）因?yàn)?，所以? 所以，則， 因?yàn)?，所以? 所以． 25．已知， 求：（1）； （2）. 【答案】（1） 4 （2） 【分析】 （1）分子分母同時(shí)除以，化為可得答案. （2）將分子1寫成，再分子分母同時(shí)除以，化為，可得答案. 【詳解】 （1） （2） 26．已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）分子分母同除以化為即可求解； （2）分子中的1化為，分子分母同除以，進(jìn)而可得答

15、案. 【詳解】 （1）分子分母同除以化為； （2）原式= 27．已知是第二象限，且，計(jì)算： （1）； （2） 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）首先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再上下同時(shí)除以 后，轉(zhuǎn)化為正切表示的式子，求值；（2）首先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再轉(zhuǎn)化為齊次分式形式，轉(zhuǎn)化為正切求值. 【詳解】 （1）原式，上下同時(shí)除以后， 得； （2）原式， 上下同時(shí)除以后， 得 28．已知向量，設(shè)函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求的值； （2）求使的的取值構(gòu)成的集合. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用向量平行的條件列方程，求得的值，由此求得的值. （2）化簡(jiǎn)

16、的解析式，解三角不等式求得不等式的解集. 【詳解】 （1）由于，所以. . （2） ， 由得， 所以， ，， 所以不等式的解集為. 【點(diǎn)睛】 向量平行的坐標(biāo)表示的主要作用是列方程.解三角不等式可考慮整體代入法. 29．已知tanα<0， （1）若求的值; （2）若求tanα的值. 【答案】（1）；（2）或． 【分析】 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，可得的值，再利用誘導(dǎo)公式求得要求式子的值． （2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，由此求得的值． 【詳解】 （1），，為第四象限角，，， ． （2），，，或． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查同角三角

17、函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題． 30．計(jì)算：已知，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1）1；（2）2． 【分析】 （1）已知式分子分母同除以后可解得值； （2）代數(shù)式看作分母為1的分式，然后分子與分母中的1都用代換化為關(guān)于的二次齊次分式，然后弦化切代入計(jì)算． 【詳解】 解 （1）同除有，解得：． （2） ． 【點(diǎn)睛】 本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查弦切互化．屬于基礎(chǔ)題． 31．已知點(diǎn)在角的終邊上，且 . （1）求值：； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）2；（2）. 【分析】 先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到；（1）

18、原式分子分母同除得到正切，代入已知量即可得出結(jié)果；（2）先利用已知角的范圍求得，求出，再利用，最后利用兩角和的余弦公式求解即可得出結(jié)果. 【詳解】 由題意：，， ，且， （1）； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的余弦公式.屬于中檔題. 32．已知， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【分析】 （1）由，得到，化簡(jiǎn)為齊次式，即可求解； （2）由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，聯(lián)立方程組，求得的值，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到，代入即可求解. 【詳解】 （1

19、）由題意，因?yàn)?，可得? 又由 . （2）聯(lián)立方程組 ，可得， 又由（1）知， 可得. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及化簡(jiǎn)為“齊次式”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力. 33．化簡(jiǎn)與求值． （1）求的值； （2）已知，求 【答案】（1）1；（2）． 【分析】 （1）用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后再變形； （2）用“1”代換化為關(guān)于的齊次式，再弦化切計(jì)算． 【詳解】 （1）； （2）． 【點(diǎn)睛】 本題考查誘導(dǎo)公式，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，弦切互化求值，關(guān)于的二次式可利用“1”的代換化為齊次分式，

20、再進(jìn)行弦化切變形． 三、雙空題 34．函數(shù)的定義域?yàn)開_____；若，則______. 【答案】 【分析】 根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可直接得出定義域，將化為關(guān)于的式子即可求出. 【詳解】 可知的定義域?yàn)椋? ， . 故答案為：；. 四、填空題 35．已知，則________． 【答案】 【分析】 根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子，再代入，求值. 【詳解】 原式. 故答案為： 36．已知tanα＝，則＝__________. 【答案】 【分析】 將化簡(jiǎn)為，然后將式子寫成再轉(zhuǎn)化為含的式子，可求出答案. 【詳解】 故答案為：.

21、 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的給值求值問題，解答本題的關(guān)鍵是先將所求化簡(jiǎn)為，再變形為，從而轉(zhuǎn)化為，屬于中檔題. 37．，，則_________． 【答案】 【分析】 將平方，求出的值，再利用弦化切即可求解. 【詳解】 ， ， ， ， ， 所以， 所以. 故答案為： 38．若，則________. 【答案】 【分析】 ，然后可得答案. 【詳解】 因?yàn)? 所以 故答案為：4 39．若，則_________. 【答案】 【分析】 由條件可得，然后，可算出答案. 【詳解】 因?yàn)?，所以，所? 所以 故答案為： 40．已知，則_

22、_____． 【答案】 【分析】 由已知條件求出，再根據(jù)同角公式弦化切可解得結(jié)果. 【詳解】 ，， ． 故答案為： 【點(diǎn)睛】 關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：弦化切求解是解題關(guān)鍵. 41．已知，則_________． 【答案】 【分析】 先根據(jù)條件得出，然后將原式中化為，然后分子分母同除以，代入的值進(jìn)行求解． 【詳解】 由題意有，，則 ． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】 解答本題的關(guān)鍵在于“1”的代換，然后觀察到原式的分子分母均是關(guān)于和的二次齊次式，可將分子分母同除以進(jìn)行計(jì)算. 42．若，則________. 【答案】 【分析】 將分式的分子、分母同除以，然后代入的值求解出結(jié)果. 【詳解】 因?yàn)椋? 故答案為：. 【點(diǎn)睛】 方法點(diǎn)睛：已知的值，求解形如（或）的式子的值的方法： 分式的分子、分母同時(shí)除以（或），將原式化簡(jiǎn)為關(guān)于的式子，再根據(jù)的值可求解出結(jié)果. 43．已知，則_____________. 【答案】 【分析】 由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再由商數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解. 【詳解】 因?yàn)?，所以? 所以. 故答案為：.