專題44 齊次式法求三角函數(shù)值(解析版)

專題44 齊次式法求三角函數(shù)值一、單選題1已知，則等于（ ）A3B2C1D-1【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.【詳解】.故選：A2已知兩曲線，相交于點(diǎn)，若兩曲線在點(diǎn)處的切線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）A2BCD【答案】B【分析】設(shè)切點(diǎn)，分別求得，的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，結(jié)合兩直線垂直的條件和同角的基本關(guān)系式，解方程可得所求值【詳解】設(shè)切點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，可得，所以，又，即，則，即為，解得（負(fù)值舍去），故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是怎么迅速計(jì)算出的值，本題的計(jì)算利用了“1”的變式，即，簡(jiǎn)潔高效.3已知，則等于（ ）ABCD【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)整理，可求得的值，將所求改寫成，上下同除，即可得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以，解得，所以.故選：A4已知函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)在角的終邊上，則（ ）ABCD【答案】D【分析】先得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可解出，再根據(jù)齊次式化簡(jiǎn)技巧將目標(biāo)式化簡(jiǎn)求值.【詳解】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，易知點(diǎn)，故，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，難度一般.對(duì)于齊次式化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，可分子分母同除以，利用的值求解.5已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】利用兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】.故選：B6已知，則（ ）ABCD【答案】D【分析】利用三角函數(shù)平方關(guān)系化簡(jiǎn)整理得：原式變形處理，分子分母同時(shí)除以，即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以故選：D.7已知，則（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知求得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解.【詳解】由，得，即.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.8已知，則（ ）A-4B4C5D-5【答案】D【分析】由可得，再由即可求解.【詳解】，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查正余弦齊次式計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9已知，則（ ）AB4C5D【答案】D【分析】由定積分得可得，再由即可求解.【詳解】由，則，則，由故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用及正余弦齊次式計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10已知，則的值為（ ）ABCD【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】由，得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.屬于容易題.11已知向量，若，則（ ）A1B1CD【答案】A【分析】根據(jù)向量，由得到 ，然后再由.求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，即，所?所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、解答題12已知角的終邊在直線上（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）角的終邊上取一點(diǎn)，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求解即可；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，再弦化切即可得解.【詳解】（1）角的終邊在直線上,任取一點(diǎn)可得；（2）.13（1）已知，求及的值；（2）已知，求的值；【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化弦為切求解；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)變形，代入求解.【詳解】（1），； ；（2） .14已知是三角形的內(nèi)角，且（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，求得，得到，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.（2）由（1）知，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】（1）由題意，角是三角形的內(nèi)角，且，平方可得，可得，所以，又由，可得，聯(lián)立方程組，可得，則 因?yàn)?（2）由（1）知.又由.15已知.（1）化簡(jiǎn)，并求；（2）若，求的值；（3）求函數(shù)的值域.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可得；（2）由平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解；（3）轉(zhuǎn)化條件為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）由題意可得，故；（2），故；（3）因?yàn)?，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系對(duì)原式進(jìn)行合理變形.16已知（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）原式分子分母同除以化為進(jìn)行解答；（2）先求出，再求與的值，進(jìn)而得答案【詳解】（1）（2），原式17已知（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)利用兩角差的正切公式計(jì)算可得；（2）利用弦化切代入計(jì)算可得；【詳解】（1），又，（2）【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，常用拼湊角：（1）再利用誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程，常見(jiàn)的互余關(guān)系有：與，與，與等；常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有： 與，與等；（2）在利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，常根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互余、互補(bǔ)的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論的差異，使問(wèn)題獲解，常見(jiàn)角的變換方式有：，等等.18已知，其中（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式可得出，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的值，求出、的值，利用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可求得的值；（2）將所求代數(shù)式變形為，在分式的分子和分母中同時(shí)除以，利用弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】（1），由誘導(dǎo)公式可得，由已知可得，解得，因此，；（2）.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值問(wèn)題中已知，求關(guān)于、的代數(shù)式的值時(shí)，一般利用弦化切公式后直接代入的值，在關(guān)于、的齊次式中，常常利用弦化切的方程轉(zhuǎn)化為含的代數(shù)式.19已知，求下列各式的值：（1）；（2）sin2+2sincos.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由誘導(dǎo)公式得，代入原式求值即可.（2）由（1）得，而即可求值.【詳解】（1），即，原式；（2）由（1）知：，原式.20已知，求下列各式的值.（1）（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1），然后可算出答案；（2），然后可算出答案.【詳解】（1）原式;（2）原式.21（1）已知方程，的值（2）已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，且，求的值【答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到的值，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)為含有的形式，代入即可；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，結(jié)合的范圍求出，進(jìn)一步求出，即可求的值【詳解】解：（1）由得：，即， ；（2），是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根， ，解得：， 又，即，解得：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是化弦為切.22已知，且為第三象限角.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）將化為即可求出；（2）由，即可求出.【詳解】（1），；（2），即，即，為第三象限角，.23已知，且是第四象限的角（1）求；（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，先求出余弦值，再求正切值即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，將原式化簡(jiǎn)整理，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋堑谒南笙薜慕?，所以，因此；?）由（1）可得：.24（1）若，求的值；（2）已知，求的值【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解；（2）由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所?原式=；（2）因?yàn)?，所以，所以，則，因?yàn)?，所以，所?5已知，求：（1）； （2）.【答案】（1） 4 （2）【分析】（1）分子分母同時(shí)除以，化為可得答案.（2）將分子1寫成，再分子分母同時(shí)除以，化為，可得答案.【詳解】（1）（2）26已知，求下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分子分母同除以化為即可求解；（2）分子中的1化為，分子分母同除以，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）分子分母同除以化為；（2）原式=27已知是第二象限，且，計(jì)算：（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再上下同時(shí)除以 后，轉(zhuǎn)化為正切表示的式子，求值；（2）首先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再轉(zhuǎn)化為齊次分式形式，轉(zhuǎn)化為正切求值.【詳解】（1）原式，上下同時(shí)除以后，得；（2）原式，上下同時(shí)除以后，得28已知向量，設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求使的的取值構(gòu)成的集合.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量平行的條件列方程，求得的值，由此求得的值.（2）化簡(jiǎn)的解析式，解三角不等式求得不等式的解集.【詳解】（1）由于，所以.（2），由得，所以，所以不等式的解集為.【點(diǎn)睛】向量平行的坐標(biāo)表示的主要作用是列方程.解三角不等式可考慮整體代入法.29已知tan<0，（1）若求的值;（2）若求tan的值.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，可得的值，再利用誘導(dǎo)公式求得要求式子的值（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得，由此求得的值【詳解】（1），為第四象限角，（2），或【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題30計(jì)算：已知，求下列各式的值（1）（2）【答案】（1）1；（2）2【分析】（1）已知式分子分母同除以后可解得值；（2）代數(shù)式看作分母為1的分式，然后分子與分母中的1都用代換化為關(guān)于的二次齊次分式，然后弦化切代入計(jì)算【詳解】解（1）同除有，解得：（2）【點(diǎn)睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查弦切互化屬于基礎(chǔ)題31已知點(diǎn)在角的終邊上，且 .（1）求值：；（2）若，且，求的值.【答案】（1）2；（2）.【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到；（1）原式分子分母同除得到正切，代入已知量即可得出結(jié)果；（2）先利用已知角的范圍求得，求出，再利用，最后利用兩角和的余弦公式求解即可得出結(jié)果.【詳解】由題意：，且，（1）；（2），.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角和的余弦公式.屬于中檔題.32已知，（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）由，得到，化簡(jiǎn)為齊次式，即可求解；（2）由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，聯(lián)立方程組，求得的值，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到，代入即可求解.【詳解】（1）由題意，因?yàn)椋傻?，又?（2）聯(lián)立方程組 ，可得，又由（1）知，可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及化簡(jiǎn)為“齊次式”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.33化簡(jiǎn)與求值（1）求的值；（2）已知，求【答案】（1）1；（2）【分析】（1）用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后再變形；（2）用“1”代換化為關(guān)于的齊次式，再弦化切計(jì)算【詳解】（1）；（2）【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，弦切互化求值，關(guān)于的二次式可利用“1”的代換化為齊次分式，再進(jìn)行弦化切變形三、雙空題34函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)；若，則_.【答案】 【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可直接得出定義域，將化為關(guān)于的式子即可求出.【詳解】可知的定義域?yàn)椋?故答案為：；.四、填空題35已知，則_【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子，再代入，求值.【詳解】原式.故答案為：36已知tan，則_.【答案】【分析】將化簡(jiǎn)為，然后將式子寫成再轉(zhuǎn)化為含的式子，可求出答案.【詳解】 故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是先將所求化簡(jiǎn)為，再變形為，從而轉(zhuǎn)化為，屬于中檔題.37，則_【答案】【分析】將平方，求出的值，再利用弦化切即可求解.【詳解】 ，所以，所以.故答案為：38若，則_.【答案】【分析】，然后可得答案.【詳解】因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋?39若，則_.【答案】【分析】由條件可得，然后，可算出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以所以故答案為?0已知，則_【答案】【分析】由已知條件求出，再根據(jù)同角公式弦化切可解得結(jié)果.【詳解】，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：弦化切求解是解題關(guān)鍵.41已知，則_【答案】【分析】先根據(jù)條件得出，然后將原式中化為，然后分子分母同除以，代入的值進(jìn)行求解【詳解】由題意有，則故答案為：【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵在于“1”的代換，然后觀察到原式的分子分母均是關(guān)于和的二次齊次式，可將分子分母同除以進(jìn)行計(jì)算.42若，則_.【答案】【分析】將分式的分子、分母同除以，然后代入的值求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋蚀鸢笧椋?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知的值，求解形如（或）的式子的值的方法：分式的分子、分母同時(shí)除以（或），將原式化簡(jiǎn)為關(guān)于的式子，再根據(jù)的值可求解出結(jié)果.43已知，則_.【答案】【分析】由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系可得，再由商數(shù)關(guān)系可轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故答案為：.