全國通用高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題7 解三角形含解析
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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 【走向高考】(全國通用)20xx高考數(shù)學二輪復習 第一部分 微專題強化練 專題7 解三角形 一、選擇題 1.(文)(20xx·唐山市一模)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,則cos∠DAC=( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由已知條件可得圖形,如圖所示, 設CD=a,在△ACD中,CD2=AD2+AC2-2AD×AC×cos∠DAC,∴a2=(a
2、)2+(a)2-2×a×a×cos∠DAC,∴cos∠DAC=. [方法點撥] 解三角形的常見類型: (1)已知兩角和一邊,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b. (2)已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a、b和C,應先用余弦定理求c,再應用正弦定理先求較短邊所對的角,然后利用A+B+C=π求另一角. (3)已知兩邊和其中一邊的對角,如已知a、b和A,應先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解的討論. (4)已知三邊a、b、c,可應用余弦定理求A、B、C. (理)(20xx·河南六市聯(lián)考)
3、在銳角△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若sinA=,a=2,S△ABC=,則b的值為( ) A. B. C.2 D.2 [答案] A [解析] 由已知得:cosA=,S△ABC=bcsinA=bc×=,∴bc=3, 又由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-2=4, ∴b2+c2=6,∴b+c=2,解得b=c=,選A. 2.(20xx·南昌市一模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,c=1,B=45°,cosA=,則b等于( ) A. B. C. D. [答案
4、] C [解析] 因為cosA=,所以sinA===, 所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cos45°+sin45°=. 由正弦定理=,得b=×sin45°=. 3.(文)若三角形ABC中,sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,則此三角形的形狀是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形 [答案] B [解析] ∵sin(A+B)sin(A-B)=sin2C,sin(A+B)=sinC≠0,∴sin(A-B)=sin(A+B),∴cos
5、AsinB=0, ∵sinB≠0,∴cosA=0,∴A為直角. (理)(20xx·合肥第一次質(zhì)檢)在△ABC中,已知2acosB=c,sinAsinB(2-cosC)=sin2+,則△ABC為( ) A.等邊三角形 B.等腰直角三角形 C.銳角非等邊三角形 D.鈍角三角形 [答案] B [解析] 依題意得2sinAcosB=sinC=sin(A+B),2sinAcosB-sin(A+B)=sin(A-B)=0,因此B=A,C=π-2A,于是有sin2A(2+cos2A)=cos2A+,即sin2A(3-2sin2A)=1-sin2A+=,解得sin2A=,因此sinA=
6、,又B=A必為銳角,因此B=A=,△ABC是等腰直角三角形,故選B. [易錯分析] 本題易犯的主要錯誤是不能對所給恒等式進行有效化簡、變形,由于公式應用錯誤或者化簡過程的盲目性導致化簡過程無效,這是很多考生在此類問題中常犯的錯誤.事實上,含有邊和角的恒等式,一般方法是實施邊和角的統(tǒng)一,如果邊化角后無法運算,則可以嘗試角化邊.反之,如果角化邊較繁,則可以嘗試邊化角,平時訓練時就要注意歸納小結. [方法點撥] 判斷三角形形狀時,一般先利用所給條件將條件式變形,結合正余弦定理找出邊之間的關系或角之間的關系.由于特殊的三角形主要從正三角形、等腰三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形方面命題,故
7、分析條件時,應著重從上述三角形滿足的條件與已知條件的溝通上著手. 4.(文)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,則角B的值為( ) A. B. C.或 D.或 [答案] D [解析] 由(a2+c2-b2)tanB=ac得,·tanB=,再由余弦定理cosB=得,2cosB·tanB=,即sinB=,∴角B的值為或,故應選D. (理)在△ABC中,已知b·cosC+c·cosB=3a·cosB,其中a、b、c分別為角A、B、C的對邊,則cosB的值為( ) A. B.
8、- C. D.- [答案] A [解析] 由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, ∴sin(B+C)=3sinAcosB, ∴sinA=3sinAcosB, ∵sinA≠0,∴cosB=. [方法點撥] 給出邊角關系的一個恒等式時,一般從恒等式入手化邊為角或化角為邊,再結合三角公式進行恒等變形,注意不要輕易對等式兩邊約去同一個因式. 5.(文)(20xx·遼寧葫蘆島市一模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是( ) A.3 B. C. D.3 [答案] C
9、[解析] 由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a-b)2+6,∴ab=6,∴S△ABC=absinC=×6×=. (理)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,則sin∠BAC=( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 本題考查了余弦定理、正弦定理. 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BC·cos =2+9-2××3×=5,∴AC=, 由正弦定理,=, ∴sinA===. 6.在銳角△ABC中,設x=sinA·sinB,y=c
10、osA·cosB,則x、y的大小關系為( ) A.x≤y B.x<y C.x>y D.x≥y [答案] C [解析] y-x=cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B) =cos(π-C)=-cosC, ∵△ABC為銳角三角形,∴cosC>0, ∴y-x<0,∴y<x. 7.(20xx·昆明市質(zhì)檢)設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若AB邊上的高為,且a2+b2=2ab,則C=( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由已知得:S△ABC=absinC=×c
11、×, ∴sinC=, 又由余弦定理得:cosC===-=-sinC,即sinC+cosC=,∴sin=, ∴sin=1,C+=,C=. 8.(文)(20xx·鄭州市質(zhì)檢)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,且c=,C=,則△ABC的面積是( ) A. B. C. D.或 [答案] D [解析] 由已知得:2sinBcosA=3sin2A=6sinAcosA,若cosA=0,則∠A=,則B=,b==,∴S△ABC=bc=××=;若∠A≠,則sinB=3sinA,
12、由正弦定理得:b=3a,又由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC,即7=a2+9a2-3a2=7a2,∴a=1,b=3,S△ABC=absinC=×1×3×=,選D. (理)(20xx·衡水中學三調(diào))已知△ABC的內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a、b、c,sinA+sinB=2sinC,b=3,當內(nèi)角C最大時,△ABC的面積等于( ) A. B. C. D. [答案] A [解析] 根據(jù)正弦定理及sinA+sinB=2sinC得a+b=2c,c=,cosC===+-≥2-=,當且僅當=,即a=時,等號成立,此時sinC=,S△AB
13、C=absinC=××3×=. 二、填空題 9.已知△ABC的一個內(nèi)角為120°,并且三邊長構成公差為4的等差數(shù)列,則△ABC的面積為________. [答案] 15 [解析] 設三角形的三邊長分別為a-4,a,a+4,最大角為θ,由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)·cos120°,則a=10,所以三邊長為6,10,14.△ABC的面積為S=×6×10×sin120°=15. [方法點撥] 有關數(shù)列與三角函數(shù)知識交匯的題目,利用正余弦定理將數(shù)列關系式或數(shù)列問
14、題轉化為三角函數(shù)問題,用三角函數(shù)知識解決. 10.(文)(20xx·福建理,12)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,則△ABC的面積等于________. [答案] 2 [解析] 本題考查正弦定理及三角形的面積公式,由正弦定理得,=, ∴sinB=1,∴B=90°,∴AB=2, S=×2×2=2. (理)(20xx·天津理,12)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,已知b-c=a,2sinB=3sinC,則cosA的值為________. [答案]?。? [解析] ∵2sinB=3sinC,
15、∴2b=3c, 又∵b-c=a, ∴b=a,c=a, ∴cosA===-. 11.(20xx·南京二模)在△ABC中,已知AB=2,BC=3,∠ABC=60°,BD⊥AC,D為垂足,則·的值為________. [答案] [解析] 利用余弦定理求出AC的長度,再利用面積公式求出BD,最后利用數(shù)量積的定義求解.在△ABC中,由余弦定理可得AC2=4+9-2×2×3×=7,所以AC=,由△ABC的面積公式可得×2×3×=×BD,解得BD=.所以·=·(+)=||2=
16、. [方法點撥] 解答三角函數(shù)與平面向量交匯的題目,先運用向量的有關知識(平行、垂直、數(shù)量積的坐標表示等)脫去向量外衣再運用三角函數(shù)知識解決.或先利用三角函數(shù)或解三角形的有關知識求出需要的量(邊的長度、角的大小)再進行向量運算. 三、解答題 12.(文)(20xx·新課標Ⅰ文,17)已知a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B; (2)設B=90°,且a=,求△ABC的面積. [分析] (1)本小題可先利用正弦定理,根據(jù)題設得出三角形的三條邊長之間的關系,再利用余弦定理求出cos B; (
17、2)本小題中已知角B為直角,利用勾股定理列出方程,再結合(Ⅰ)中a、c的關系式求出邊長c,即可求出△ABC的面積. [解析] (1)由題設及正弦定理可得b2=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c. 由余弦定理可得 cos B==. (2)由(1)知b2=2ac.因為B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2. 故a2+c2=2ac,得c=a=. 所以△ABC的面積為S△ABC=ac=1. (理)(20xx·山西太原市一模)已知a,b,c分別是△ABC的角A,B,C所對的邊,且c=2,C=. (1)若△ABC的面積等于,求a,b; (2)若sinC+s
18、in(B-A)=2sin2A,求A的值. [解析] (1)∵c=2,C=,由余弦定理得4=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab, ∵△ABC的面積等于,∴absinC=,∴ab=4, 聯(lián)立解得a=2,b=2; (2)∵sinC+sin(B-A)=2sin2A,∴sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, ∴sinBcosA=2sinAcosA, ①當cosA=0時,則A=, ②當cosA≠0時,sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a, 聯(lián)立解得a=,b=, ∴b2=a2+c2,∵C=,∴A=, 綜上所述,A=或A=. 13.(文)(20xx
19、3;天津文,16)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-. (1)求a和sin C的值; (2)求cos的值. [分析] 考查1.正弦定理、余弦定理及面積公式;2三角變換. (1)由面積公式可得bc的值,結合b-c=2,可解得b,c.再由余弦定理求得a.最后由正弦定理求sin C的值; (2)直接展開求值. [解析] (1)在△ABC中,由cos A=-, 得sin A=, 由S△ABC=bcsin A=3,得bc=24, 又由b-c=2,解得b=6,c=4. 由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8
20、. 由=,得sin C=. (2)cos=cos 2Acos -sin 2Asin =(2cos2A-1)-×2sin Acos A =. (理)(20xx·安徽理,16)設△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c且b=3,c=1,A=2B. (1)求a的值; (2)求sin(A+)的值. [解析] (1)因為A=2B, 所以sinA=sin2B=2sinBcosB, 由正、余弦定理得a=2b·, 因為b=3,c=1, 所以a2=12,a=2. (2)由余弦定理得cosA===-, 由于0<A<π,所以sinA=
21、==, 故sin(A+)=sinAcos+cosAsin =×+(-)×=. 14.(文)(20xx·陜西理,16)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c. (1)若a、b、c成等差數(shù)列,證明:sinA+sinC=2sin(A+C); (2)若a、b、c成等比數(shù)列,求cosB的最小值. [解析] (1)∵a,b,c成等差數(shù)列,∴a+c=2b, 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB. ∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sinA+sinC=2sin(A+C). (2)∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac,
22、 由余弦定理得cosB==≥=,當且僅當a=c時,等號成立. ∴cosB的最小值為. (理)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a、b、c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求證:a,b,c成等差數(shù)列; (2)若C=,求的值. [解析] (1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B, 因為sinB≠0,所以sinA+sinC=2sinB. 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差數(shù)列. (2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab, 即有5ab-3b2=0,所以=. 15.(文)在△ABC中
23、,已知a2tanB=b2tanA,試判斷△ABC的形狀. [分析] 條件式a2tanB=b2tanA是邊a、b與角A、B的關系,可用正弦定理化邊為角,將“切化弦”,然后,通過三角變形探究A與B之間的關系判斷形狀;也可以應用正弦定理和余弦定理化角為邊,再通過代數(shù)變形探尋邊之間的關系后判斷形狀. [解析] 解法1:由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB. ∴(2RsinA)2=(2RsinB)2, ∴sinAcosA=sinBcosB. ∴sin2A=sin2B, ∴2A=2B或2A=π-2B, 即A=B或A+B=. ∴△ABC為等腰或直角三角形. 解法2:∵a2t
24、anB=b2tanA, ∴==. 由正弦定理得=. 由余弦定理得cosB=, cosA=. ∴=·=, 整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0. ∴a=b或a2+b2=c2, ∴△ABC為等腰或直角三角形. (理)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,<C<且=. (1)判斷△ABC的形狀; (2)若|+|=2,求·的取值范圍. [解析] (1)由=得, =,∴=. 由正弦定理得sinB=sin2C. 所以B=2C或B+2C=π. 若B=2C,由<C<知<2C<π. 即<B<
25、;π, ∴B+C>π,與三角形內(nèi)角和為π矛盾, 故B=2C舍去. ∴B+2C=π. ∴A=π-(B+C)=π-(π-2C+C)=C. 故△ABC為等腰三角形. (2)由(1)知a=c, ∵|+|=2,∴|+|2=4, ∴a2+c2+2accosB=4,∴cosB==, ∴·=accosB=2-a2, ∵cosB=cos(π-2C)=-cos2C, 由<C<知<2C<π, ∴-1<cos2C<-,∴<cosB<1, ∴<<1,∴1<a2<, ∴<2-a2<1, ∴·的取值范圍是(,1). [方法點撥] “變”是解決三角問題的主題,變角、變名、變表達形式、變換次數(shù)等比比皆是,強化變換意識,抓住萬變不離其宗——即公式不變,方法不變,要通過分析、歸類把握其規(guī)律.
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