三管齊下貴州省2014屆高三數(shù)學 第十三章 選修系列 理含解析新人教A版

第十三章選修系列473幾何證明選講(一)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)導學目標： 1.了解平行線等分線段定理和平行線分線段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；3.理解直角三角形射影定理自主梳理1平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在任一條(與這組平行線相交的)直線上截得的線段也相等2平行線分線段成比例定理兩條直線與一組平行線相交，它們被這組平行線截得的對應線段_推論1平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或_)，所得的對應線段_推論2平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊_的直線所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應_推論3三角形的一個內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例3相似三角形的判定判定定理1對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩角對應_的兩個三角形相似判定定理2對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似簡述為：兩邊對應成比例且_相等的兩個三角形相似判定定理3對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似簡述為：三邊對應成比例的兩個三角形相似4相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比；(2)相似三角形周長的比等于相似比；(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方5直角三角形射影定理直角三角形一條直角邊的平方等于該直角邊在_與斜邊的_，斜邊上的高的_等于兩條直角邊在斜邊上的射影的乘積自我檢測1如果梯形的中位線的長為6 cm，上底長為4 cm，那么下底長為_cm.2如圖，在ABC中，EDBC，EFBD，則下列四個結(jié)論正確的是(填序號)_；.3如圖，在RtABC中，ACB90，CDAB于點D，CD2，BD3，則AC_.4如圖所示，在ABC中，AD是BAC的平分線，AB5 cm，AC4 cm，BC7 cm，則BD_cm.第4題圖第5題圖5(2011陜西)如圖，BD，AEBC，ACD90，且AB6，AC4，AD12，則BE_.探究點一確定線段的n等分點例1已知線段PQ，在線段PQ上求作一點D，使PDDQ21.變式遷移1已知ABC，D在AC上，ADDC21，能否在AB上找到一點E，使得線段EC的中點在BD上探究點二平行線分線段成比例定理的應用例2在ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點，使BDCE，DE的延長線交BC的延長線于點F.求證：.變式遷移2 如圖，已知ABCDEF，ABa，CDb(0<a<b)，AEECmn(0<m<n)，求EF.探究點三相似三角形的判定及性質(zhì)的應用例3如圖，已知梯形ABCD中，ABCD，過D與BC平行的直線交AB于點E，ACEABC，求證：ABCEACDE.變式遷移3 如圖，已知ABCD中，G是DC延長線上一點，AG分別交BD和BC于E、F兩點，證明AFADAGBF.1用添加平行輔助線的方法構(gòu)造使用平行線等分線段定理與平行線分線段成比例定理的條件特別是在使用平行線分線段成比例定理及推論時，一定要注意對應線段，對應邊2利用平行線等分線段定理將某線段任意等分，需要過線段的一個端點作輔助線，在作圖時要注意保留作圖痕跡3在證明兩個或兩個以上的比例式相等時，需要找第三個比例式與它們都相等，可考慮利用平行線分線段成比例定理或推論，也可以考慮用線段替換及等比定理，由相等的傳遞性得出結(jié)論4判定兩個三角形相似，根據(jù)題設(shè)條件選擇使用三角形相似的判定定理(滿分：75分)一、填空題(每小題5分，共40分)1如圖所示，l1l2l3，下列比例式正確的有_(填序號)(1)；(2)；(3)；(4).2如圖所示，D是ABC的邊AB上的一點，過D點作DEBC交AC于E.已知，則_.3如圖，在四邊形ABCD中，EFBC，F(xiàn)GAD，則_.4在直角三角形中，斜邊上的高為6，斜邊上的高把斜邊分成兩部分，這兩部分的比為32，則斜邊上的中線的長為_5(2010蘇州模擬)如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BD與AC相交于點O，過點O的直線分別交AB，CD于E，F(xiàn)，且EFBC，若AD12，BC20，則EF_.6如圖所示，在ABC中，ADBC，CE是中線，DCBE，DGCE于G，EC的長為4，則EG_.7(2010天津武清一模)如圖，在ABC中，AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15，AF4，則DE_.8如圖所示，BD、CE是ABC的中線，P、Q分別是BD、CE的中點，則_.二、解答題(共35分)9(11分)如圖所示，在ABC中，CAB90，ADBC于D，BE是ABC的平分線，交AD于F，求證：.10(12分)如圖，ABC中，D是BC的中點，M是AD上一點，BM、CM的延長線分別交AC、AB于F、E.求證：EFBC.11(12分)(2010蘇州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O點，直線l平行于BD且與AB，DC，BC，AD及AC的延長線分別相交于點M，N，R，S和P，求證：PMPNPRPS.73幾何證明選講(一)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)自主梳理2成比例兩邊的延長線成比例相交成比例3相等夾角5.斜邊上的射影乘積平方自我檢測182.3.解析由射影定理：CD2ADBD.AD，AC.4.解析，BDcm.54解析AC4，AD12，ACD90，CD2AD2AC2128，CD8.又AEBC，BD，ABEADC，BE4.課堂活動區(qū)例1解題導引利用平行線等分線段定理可對線段任意等分，其作圖步驟為：首先作出輔助射線，然后在射線上依次截取任意相同長度的n條線段，最后過輔助線上的各等分點作平行線，確定所求線段的n等分點解在線段PQ上求作點D，使PDDQ21，就是要作出線段PQ上靠近Q點的一個三等分點，通過線段PQ的一個端點作輔助射線，并取線段的三等分點，利用平行線等分線段定理確定D點的位置作法：作射線PN.在射線PN上截取PB2a，BCa.連接CQ.過點B作CQ的平行線，交PQ于D.點D即為所求的點變式遷移1解假設(shè)能找到，如圖，設(shè)EC交BD于點F，則F為EC的中點，作EGAC交BD于G.EGAC，EFFC，EGFCDF，且EGDC，EG綊AD，BEGBAD，E為AB的中點當E為AB的中點時，EC的中點在BD上例2解題導引證明線段成比例問題，一般有平行的條件可考慮用平行線分線段成比例定理或推論，也可以用三角形相似或考慮用線段替換等方法證明作EGAB交BC于G，如圖所示，CEGCAB，即，又，.變式遷移2 解如圖，過點F作FHEC，分別交BA，DC的延長線于點G，H，由EFABCD及FHEC，知AGCHEF，F(xiàn)GAE，F(xiàn)HEC.從而FGFHAEECmn.由BGDH，知BGDHFGFHmn.設(shè)EFx，則得(xa)(xb)mn.解得x，即EF.例3解題導引有關(guān)兩線段的比值的問題，除了應用平行線分線段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解解題中要注意觀察圖形特點，巧添輔助線，對解題可起到事半功倍的效果證明方法一ABCD，即.DEBC，即.由得，F(xiàn)DCECF，DECFEC，EFCECD.由得，即ABCEACDE.方法二ABCD，DEBC，BEDC是平行四邊形DEBC.ACEABC，EACBAC，AECACB.，即ABCEACDE.變式遷移3 證明因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以ABDC，ADBC.所以ABFGCF，GCFGDA.所以ABFGDA.從而有，即AFADAGBF.課后練習區(qū)1(4)解析由平行線分線段成比例定理可知(4)正確2.解析由知，故.31解析EFBC，又FGAD，1.4.解析設(shè)斜邊上的兩段的長分別為3t,2t，由直角三角形中的射影定理知：623t2t，解得t(t>0，舍去負根)，所以斜邊的長為5，故斜邊上的中線的長為.515解析ADBC，OEAD，OEAD12，同理可求得OFBC20，EFOEOF15.62解析連接DE，因為ADBC，所以ADB是直角三角形，則DEABBEDC.又因為DGCE于G，所以DG平分CE，故EG2.76解析設(shè)DEx，DEAC，解得BE.又AD平分BAC，解得x6.8.解析連接DE，延長QP交AB于N，則得PQBC.9證明由三角形的內(nèi)角平分線定理得，在ABD中，在ABC中，(3分)在RtABC中，由射影定理知，AB2BDBC，即.(6分)由得：，(9分)由得：.(11分)10證明延長AD至G，使DGMD，連接BG、CG.BDDC，MDDG，四邊形BGCM為平行四邊形(4分)ECBG，F(xiàn)BCG，(8分)EFBC.(12分)11證明BOPM，(2分)DOPS，.(4分)即，由BOPR得.(6分)由DOPN得.(8分)，即，.PMPNPRPS.(12分)74幾何證明選講(二)直線與圓的位置關(guān)系導學目標： 1.理解圓周角定理，弦切角定理及其推論；2.理解圓的切線的判定及性質(zhì)定理；3.理解相交弦定理，割線定理，切割線定理；4.理解圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理及判定自主梳理1圓周角、弦切角及圓心角定理(1)_的度數(shù)等于其的對_的度數(shù)的一半推論1：_(或_)所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角_相等推論2：半圓(或直徑)所對的_等于90.反之，90的圓周角所對的弧是_(或_)(2)弦切角的度數(shù)等于其所夾孤的度數(shù)的_(3)圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)2圓中比例線段有關(guān)定理(1)相交弦定理：_的兩條_，每條弦被交點分成的_的積相等(2)切割線定理：從圓外一點引圓的一條割線和一條切線，切線長是這點到割線與圓的兩個交點的線段長的_(3)割線定理：從圓外一點引圓的兩條_，該點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等溫馨提示相交弦定理，切割線定理，割線定理揭示了與圓有關(guān)的線段間的比例關(guān)系，在與圓有關(guān)的比例線段問題的證明、計算以及證明線段或角相等等問題中應用甚廣3切線長定理從_一點引圓的兩條切線，_相等4圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理：圓內(nèi)接四邊形的對角_推論：圓內(nèi)接四邊形的任何一個外角都等于它的內(nèi)角的_(2)判定定理：如果四邊形的_，則四邊形內(nèi)接于_推論：如果四邊形的一個外角等于它的_，那么這個四邊形的四個頂點_5圓的切線的性質(zhì)及判定定理(1)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的_推論1：經(jīng)過_且_與垂直的直線必經(jīng)過切點推論2：經(jīng)過_且切線與垂直的直線必經(jīng)過_(2)判定定理：過半徑_且與這條半徑_的直線是圓的切線自我檢測1如圖在RtABC中，B90，D是AB上一點，且AD2DB，以D為圓心，DB為半徑的圓與AC相切，則sin A_.2(2010南京模擬)如圖，AB是圓O的直徑，EF切圓O于C，ADEF于D，AD2，AB6，則AC長為_3(2011湖南)如圖，A，E是半圓周上的兩個三等分點，直徑BC4，ADBC，垂足為D，BE與AD相交于點F，則AF的長為_4如圖所示，AB是O的直徑，BC是O的切線，AC交O于點D，若AD32，CD18，則AB_.5(2010揭陽模擬)如圖，已知P是O外一點，PD為O的切線，D為切點，割線PEF經(jīng)過圓心O，PF12，PD4，則圓O的半徑長為_、EFD的度數(shù)為_.探究點一與圓有關(guān)的等角、等弧、等弦的判定例1 如圖，O的兩條弦AC，BD互相垂直，OEAB，垂足為點E.求證：OECD.變式遷移1 在ABC中，已知CM是ACB的平分線，AMC的外接圓O交BC于點N；若ACAB，求證：BN3MN.探究點二四點共圓的判定例2 如圖，四邊形ABCD中，AB、DC的延長線交于點E，AD，BC的延長線交于點F，AED，AFB的角平分線交于點M，且EMFM.求證：四邊形ABCD內(nèi)接于圓變式遷移2 如圖，已知AP是O的切線，P為切點，AC是O的割線，與O交于B、C兩點，圓心O在PAC的內(nèi)部，點M是BC的中點(1)證明：A，P，O，M四點共圓；(2)求OAMAPM的大小探究點三與圓有關(guān)的比例線段的證明例3 如圖，PA切O于點A，割線PBC交O于點B，C，APC的角平分線分別與AB，AC相交于點D，E，求證：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.變式遷移3 (2010全國)如圖，已知圓上的弧，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.1圓周角定理與圓心角定理在證明角相等時有較普遍的應用，尤其是利用定理進行等角代換與傳遞2要注意一些常用的添加輔助線的方法，若證明直線與圓相切，則連結(jié)直線與圓的公共點和圓心證垂直；遇到直徑時，一般要引直徑所對的圓周角，利用直徑所對的圓周角是直角解決有關(guān)問題3判斷兩線段是否相等，除一般方法(通過三角形全等)外，也可用等線段代換，或用圓心角定理及其推論證明4證明多點共圓的常用方法：(1)證明幾個點與某個定點距離相等；(2)如果某兩點在某條線段的同旁，證明這兩點對這條線段的張角相等；(3)證明凸四邊形內(nèi)對角互補(或外角等于它的內(nèi)角的對角)5圓中比例線段有關(guān)定理常與圓周角、弦切角聯(lián)合應用，要注意在題中找相等的角，找相似三角形，從而得到線段的比(滿分：75分)一、填空題(每小題5分，共40分)1如圖，已知AB，CD是O的兩條弦，且ABCD，OEAB，OFCD，垂足分別是E，F(xiàn)，則結(jié)論，AOBCOD，OEOF，中，正確的有_個2(2010湖南)如圖所示，過O外一點P作一條直線與O交于A、B兩點已知PA2，點P到O的切線長PT4，則弦AB的長為_3(2010陜西)如圖，已知RtABC的兩條直角邊AC，BC的長分別為3 cm,4 cm，以AC為直徑的圓與AB交于點D，則_.4(2009廣東)如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB4，ACB45，則圓O的面積為_5已知PA是圓O的切線，切點為A，PA2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB1，則圓O的半徑R_.6如圖，圓O是ABC的外接圓，過點C的切線交AB的延長線于點D，CD2，AB3.則BD的長為_7(2011天津)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DFCF，AFFBBE421.若CE與圓相切，則線段CE的長為_8(2010天津)如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點P.若，則的值為_二、解答題(共35分)9(11分)如圖，三角形ABC中，ABAC，O經(jīng)過點A，與BC相切于B，與AC相交于D，若ADCD1，求O的半徑r.10(12分)(2009江蘇)如圖，在四邊形ABCD中，ABCBAD.求證：ABCD.11(12分)(2011江蘇)如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，其半徑分別為r1與r2(r1>r2)圓O1的弦AB交圓O2于點C(O1不在AB上)求證：ABAC為定值74幾何證明選講(二)直線與圓的位置關(guān)系自主梳理1(1)圓周角弧同弧等弧所對的弧圓周角半圓弦為直徑(2)一半2.(1)圓相交弦兩條線段長(2)等比中項(3)割線3.圓外切線長4.(1)互補對角(2)對角互補圓內(nèi)角的對角共圓5(1)半徑圓心切線切點圓心(2)外端垂直自我檢測1.解析設(shè)切點為T，則DTAC，AD2DB2DT，A30，sin A.22解析連接CB，則DCACBA，又ADCACB90，ADCACB.AC2ABAD2612.AC2.3.解析如圖，連接CE，AO，AB.根據(jù)A，E是半圓周上的兩個三等分點，BC為直徑，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB為等邊三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.440解析如圖，連接BD，則BDAC，由射影定理知，AB2ADAC32501 600，故AB40.5430解析由切割線定理得PD2PEPF，PE4，EF8，OD4.又ODPD，ODPO，P30，POD602EFD，EFD30.課堂活動區(qū)例1 解題導引(1)借用等弦或等弧所對圓周角相等，所對的圓心角相等，進行角的等量代換；同時也可借在同圓或等圓中，相等的圓周角(或圓心角)所對的弧相等，進行弧(或弦)的等量代換(2)本題的證法是證明一條線段等于另一條線段的一半的常用方法證明作直徑AF，連接BF，CF，則ABFACF90.又OEAB，O為AF的中點，則OEBF.ACBD，DBCACB90，又AF為直徑，BAFBFA90，AFBACB，DBCBAF，即有CDBF.從而得OECD.變式遷移1 證明CM是ACB的平分線，即BCAC，又由割線定理得BMBABNBC，BNACBMBA，又ACAB，BN3AM，在圓O內(nèi)ACMMCN，AMMN，BN3MN.例2 解題導引證明多點共圓，當它們在一條線段同側(cè)時，可證它們對此線段張角相等，也可以證明它們與某一定點距離相等；如兩點在一條線段異側(cè)，則證明它們與線段兩端點連成的凸四邊形對角互補證明連接EF，因為EM是AEC的角平分線，所以FECFEA2FEM.同理，EFCEFA2EFM.而BCDBADECFBAD(180FECEFC)(180FEAEFA)3602(FEMEFM)3602(180EMF)2EMF180，即BCD與BAD互補所以四邊形ABCD內(nèi)接于圓變式遷移2 (1)證明連接OP，OM，因為AP與O相切于點P，所以O(shè)PAP.因為M是O的弦BC的中點，所以O(shè)MBC.于是OPAOMA180，由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知四邊形APOM的對角互補，所以A，P，O，M四點共圓(2)解由(1)得A，P，O，M四點共圓，所以O(shè)AMOPM.由(1)得OPAP.由圓心O在PAC的內(nèi)部，可知OPMAPM90，所以O(shè)AMAPM90.例3 解題導引尋找適當?shù)南嗨迫切?，把幾條要證的線段集中到這些相似三角形中，再用圓中角、與圓有關(guān)的比例線段的定理找到需要的比例式，使問題得證證明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分線，故EPCAPD，PA是O的切線，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PCEPAD；PAEPBD.又PA是切線，PBC是割線PA2PBPC.故，又ADAE，故AD2DBEC.變式遷移3 證明(1)因為，所以BCDABC.又因為EC與圓相切于點C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因為ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.課后練習區(qū)14解析在同圓或等圓中，等弦所對的圓心角相等，所對的弧相等，所對弦心距相等，故成立，又由，得，正確26解析連接BT，由切割線定理，得PT2PAPB，所以PB8，故AB6.3.解析ADBD(cm)，.48解析連接OA，OB，BCA45，AOB90.設(shè)圓O的半徑為R，在RtAOB中，R2R2AB216，R28.圓O的面積為8.5.解析如圖，依題意，AOPA，ABPC，PA2，PB1，P60，在RtCAP中，有2OA2R2tan 602，R.64解析由切割線定理得：DBDADC2，即DB(DBBA)DC2，DB23DB280，DB4.7.解析設(shè)BEa，則AF4a，F(xiàn)B2a.AFFBDFFC，8a22，a，AF2，F(xiàn)B1，BE，AE.又CE為圓的切線，CE2EBEA.CE.8.解析PP，PCBPAD，PCBPAD.，.9.解過B點作BEAC交圓于點E，連接AE，BO并延長交AE于F，由題意ABCACBAEB，(2分)又BEAC，CABABE，則ABAC知，ABCACBAEBBAE，(4分)則AEBC，四邊形ACBE為平行四邊形BFAE.又BC2CDAC2，BC，BF.(8分)設(shè)OFx，則解得r.(11分)10證明由ABCBAD得ACBBDA，(3分)故A、B、C、D四點共圓，(5分)從而CABCDB.(7分)再由ABCBAD得CABDBA，因此DBACDB，(10分)所以ABCD.(12分)11.證明如圖，連接AO1并延長，分別交兩圓于點E和點D.連接BD，CE.因為圓O1與圓O2內(nèi)切于點A，所以點O2在AD上，故AD，AE分別為圓O1，圓O2的直徑(5分)從而ABDACE.(7分)所以BDCE，于是.(10分)所以ABAC為定值(12分)75坐標系與參數(shù)方程導學目標：1.了解坐標系的有關(guān)概念，理解簡單圖形的極坐標方程.2.會進行極坐標方程與直角坐標方程的互化.3.理解直線、圓及橢圓的參數(shù)方程，會進行參數(shù)方程與普通方程的互化，并能進行簡單應用自主梳理1極坐標系的概念在平面上取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox，叫做_；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個_設(shè)M是平面上任一點，極點O與點M的距離OM叫做點M的_，記為；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的_，記為.有序數(shù)對(，)叫做點M的_，記作(，)2極坐標和直角坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，設(shè)M是平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標是(x，y)，極坐標為(，)，則它們之間的關(guān)系為x_，y_.另一種關(guān)系為：2_，tan _.3簡單曲線的極坐標方程(1)一般地，如果一條曲線上任意一點都有一個極坐標適合方程(，)0，并且坐標適合方程(，)0的點都在曲線上，那么方程(，)0叫做曲線的_(2)常見曲線的極坐標方程圓的極坐標方程_表示圓心在(r,0)半徑為|r|的圓；_表示圓心在(r，)半徑為|r|的圓；_表示圓心在極點，半徑為|r|的圓直線的極坐標方程_表示過極點且與極軸成角的直線；_表示過(a,0)且垂直于極軸的直線；_表示過(b，)且平行于極軸的直線；sin()0sin(0)表示過(0，0)且與極軸成角的直線方程4常見曲線的參數(shù)方程(1)直線的參數(shù)方程若直線過(x0，y0)，為直線的傾斜角，則直線的參數(shù)方程為這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)l有明顯的幾何意義(2)圓的參數(shù)方程若圓心在點M(a，b)，半徑為R，則圓的參數(shù)方程為0<2.(3)橢圓的參數(shù)方程中心在坐標原點的橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線的參數(shù)方程拋物線y22px(p>0)的參數(shù)方程為自我檢測1(2010北京)極坐標方程(1)()0(0)表示的圖形是()A兩個圓 B兩條直線C一個圓和一條射線 D一條直線和一條射線2(2010湖南)極坐標方程cos 和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是()A圓、直線 B直線、圓C圓、圓 D直線、直線3(2010重慶)直線yx與圓心為D的圓(0,2)交于A、B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為()A. B.C. D.4(2011廣州一模)在極坐標系中，直線sin()2被圓4截得的弦長為_5(2010陜西)已知圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為sin 1，則直線l與圓C的交點的直角坐標為_.探究點一求曲線的極坐標方程例1 在極坐標系中，以(，)為圓心，為半徑的圓的方程為_變式遷移1 如圖，求經(jīng)過點A(a,0)(a>0)，且與極軸垂直的直線l的極坐標方程探究點二極坐標方程與直角坐標方程的互化例2 (2009遼寧)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系曲線C的極坐標方程為cos1，M、N分別為C與x軸，y軸的交點(1)寫出C的直角坐標方程，并求M、N的極坐標；(2)設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程變式遷移2 (2010東北三校第一次聯(lián)考)在極坐標系下，已知圓O：cos sin 和直線l：sin()，(1)求圓O和直線l的直角坐標方程；(2)當(0，)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標探究點三參數(shù)方程與普通方程的互化例3 將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)；(2)；(3).變式遷移3 化下列參數(shù)方程為普通方程，并作出曲線的草圖(1)(為參數(shù))；(2) (t為參數(shù))探究點四參數(shù)方程與極坐標的綜合應用例4 求圓3cos 被直線(t是參數(shù))截得的弦長變式遷移4 (2011課標全國)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))M是C1上的動點，P點滿足2，P點的軌跡為曲線C2.(1)求C2的方程；(2)在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|.本節(jié)內(nèi)容要注意以下兩點：一、簡單曲線的極坐標方程可結(jié)合極坐標系中和的具體含義求出，也可利用極坐標方程與直角坐標方程的互化得出同直角坐標方程一樣，由于建系的不同，曲線的極坐標方程也會不同在沒有充分理解極坐標的前提下，可先化成直角坐標解決問題二、在普通方程中，有些F(x，y)0不易得到，這時可借助于一個中間變量(即參數(shù))來找到變量x，y之間的關(guān)系同時，在直角坐標系中，很多比較復雜的計算(如圓錐曲線)，若借助于參數(shù)方程來解決，將會大大簡化計算量將曲線的參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消去其中的參數(shù)，此時要注意其中的x，y(它們都是參數(shù)的函數(shù))的取值范圍，也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性參數(shù)方程化普通方程常用的消參技巧有：代入消元、加減消元、平方后相加減消元等同極坐標方程一樣，在沒有充分理解參數(shù)方程的前提下，可先化成直角坐標方程再去解決相關(guān)問題(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1在極坐標系中，與點(3，)關(guān)于極軸所在直線對稱的點的極坐標是()A(3，) B(3，) C(3，) D(3，)2曲線的極坐標方程為2cos21的直角坐標方程為()Ax2(y)2 B(x)2y2Cx2y2 Dx2y213(2010湛江模擬)在極坐標方程中，曲線C的方程是4sin ，過點(4，)作曲線C的切線，則切線長為()A4 B. C2 D24(2010佛山模擬)已知動圓方程x2y2xsin 22ysin()0(為參數(shù))，那么圓心的軌跡是()A橢圓 B橢圓的一部分C拋物線 D拋物線的一部分5(2010安徽)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的方程為x3y20，則曲線C上到直線l距離為的點的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4二、填空題(每小題4分，共12分)6(2010天津)已知圓C的圓心是直線(t為參數(shù))與x軸的交點，且圓C與直線xy30相切，則圓C的方程為_7(2011廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0<)和(tR)，它們的交點坐標為_8(2010廣東深圳高級中學一模)在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則圓C的極坐標方程為_三、解答題(共38分)9(12分)(2011江蘇)在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程10(12分)(2010福建)在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為2sin .(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設(shè)圓C與直線l交于點A，B.若點P的坐標為(3，)，求|PA|PB|.11(14分)(2010課標全國)已知直線C1：(t為參數(shù))，圓C2：(為參數(shù))(1)當時，求C1與C2的交點坐標；(2)過坐標原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線75坐標系與參數(shù)方程自主梳理1極軸極坐標系極徑極角極坐標2.cos sin x2y2(x0)3.(1)極坐標方程(2)2rcos 2rsin r(R)cos asin b自我檢測1C2.A3.C445(1,1)，(1,1)解析ysin ，直線l的直角坐標方程為y1.由得x2(y1)21.由得或直線l與圓C的交點的直角坐標為(1,1)和(1,1)課堂活動區(qū)例1 解題導引求曲線的極坐標方程的步驟：建立適當?shù)臉O坐標系，設(shè)P(，)是曲線上任意一點；由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關(guān)系式；將列出的關(guān)系式進行整理、化簡，得出曲線上的極坐標方程；證明所得方程就是曲線的極坐標方程，若方程的推導過程正確，化簡過程都是同解變形，這一證明可以省略答案asin ，0<解析圓的直徑為a，設(shè)圓心為C，在圓上任取一點A(，)，則AOC或，即AOC|.又acosAOCacos|asin .圓的方程是asin ，0<.變式遷移1 解設(shè)P(，)是直線l上任意一點，OPcos OA，即cos a，故所求直線的極坐標方程為cos a.例2 解題導引直角坐標方程化為極坐標方程比較容易，只要運用公式xcos 及ysin 直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為直角坐標方程則相對困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形式，進行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應注意對變形過程的檢驗解(1)由cos1得1.從而C的直角坐標方程為xy1，即xy2，當0時，2，所以M(2,0)當時，所以N.(2)M點的直角坐標為(2,0)N點的直角坐標為(0，)所以P點的直角坐標為，則P點的極坐標為，所以直線OP的極坐標方程為，(，)變式遷移2 解(1)圓O：cos sin ，即2cos sin ，圓O的直角坐標方程為x2y2xy，即x2y2xy0.直線l：sin()，即sin cos 1，則直線l的直角坐標方程為yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓O公共點的一個極坐標為(1，)例3 解題導引參數(shù)方程通過消去參數(shù)化為普通方程對于(1)直接消去參數(shù)k有困難，可通過兩式相除，先降低k的次數(shù)，再運用代入法消去k；對于(2)可運用恒等式(sin cos )21sin 2消去；對于(3)可運用恒等式()2()21消去t.另外，參數(shù)方程化為普通方程時，不僅要消去參數(shù)，還應注意普通方程與原參數(shù)方程的取值范圍保持一致解(1)兩式相除，得k.將k代入，得x.化簡，得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)，得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程是y22x，x0,2(3)由()2()21，得x24y21.又x1，得所求的普通方程是x24y21(x1)變式遷移3 解(1)由y2(sin cos )21sin 212x，得y22x1.sin 2，x.sin cos ，y.故所求普通方程為y22 (x，y)，圖形為拋物線的一部分圖形如圖甲所示(2)由x2y2221及x0，xy0知，所求軌跡為兩段圓弧x2y21 (0<x1,0y<1或1x<0，1<y0)圖形如圖乙所示例4 解題導引一般將參數(shù)方程化為普通方程，極坐標方程化成直角坐標方程解決解將極坐標方程轉(zhuǎn)化成直角坐標方程：3cos 即：x2y23x，即(x)2y2.即：2xy30.所以圓心到直線的距離d0，即直線經(jīng)過圓心，所以圓被直線截得的弦長為3.變式遷移4 解(1)設(shè)P(x，y)，則由條件知M(，)由于M點在C1上，所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標方程為4sin ，曲線C2的極坐標方程為8sin .射線與C1的交點A的極徑為14sin，射線與C2的交點B的極徑為28sin.所以|AB|21|2.課后練習區(qū)1B由于極徑不變，極角關(guān)于極軸對稱，其對稱點為(3，)故選B.2B2cos21，2cos 即x2y2x，(x)2y2.3C4sin 化為普通方程為x2(y2)24，點(4，)化為直角坐標為(2，2)，切線長、圓心到定點的距離及半徑構(gòu)成直角三角形，由勾股定理：切線長為2，故選C.4D圓心軌跡的參數(shù)方程為即消去參數(shù)得y212x(x)，故選D.5B曲線C的方程為(為參數(shù))，(x2)2(y1)29，而l為x3y20，圓心(2，1)到l的距離d.又<3，>3，有2個點6(x1)2y22解析直線(t為參數(shù))與x軸的交點為(1,0)，故圓C的圓心為(1,0)又圓C與直線xy30相切，圓C的半徑為r，圓C的方程為(x1)2y22.7(1，)解析將兩曲線的參數(shù)方程化為一般方程分別為y21(0y1，<x)和y2x，聯(lián)立解得交點坐標為(1，)84sin 解析由參數(shù)方程消去得圓C的方程為x2(y2)24，將xcos ，ysin 代入得(cos )2(sin 2)24，整理得4sin .9解由題設(shè)知，橢圓的長半軸長a5，短半軸長b3，從而c4，所以右焦點為(4,0)將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x2y20.(6分)故所求直線的斜率為，因此其方程為y(x4)，(8分)即x2y40.(12分)10解方法一(1)2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.(4分)(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得(3t)2(t)25，即t23t40.(6分)由于(3)2442>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩實根，所以又直線l過點P(3，)，故由上式及t的幾何意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23.(12分)方法二(1)同方法一(2)因為圓C的圓心為點(0，)，半徑r，直線l的普通方程為yx3.(8分)由得x23x20.解得或(10分)不妨設(shè)A(1,2)，B(2,1)，又點P的坐標為(3，)，故|PA|PB|3.(12分)11解(1)當時，C1的普通方程為y(x1)，C2的普通方程為x2y21，聯(lián)立方程組解得C1與C2的交點坐標為(1,0)，(，)(7分)(2)C1的普通方程為xsin ycos sin 0.A點坐標為(sin2，cos sin )，故當變化時，P點軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù))(9分)P點軌跡的普通方程為(x)2y2.(12分)故P點軌跡是圓心為(，0)，半徑為的圓(14分)76不等式選講(一)絕對值不等式導學目標：1.理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|ab|a|b|，(2)|ab|ac|cb|.2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.自主梳理1含_的不等式叫做絕對值不等式2解含有絕對值的不等式的方法關(guān)鍵是去掉絕對值符號，基本方法有如下幾種：(1)分段討論：根據(jù)|f(x)|去掉絕對值符號(2)利用等價不等式：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)；|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(3)兩端同時平方：即運用移項法則，使不等式兩邊都變?yōu)榉秦摂?shù)，再平方，從而去掉絕對值符號3形如|xa|xb|c (ab)與|xa|xb|c (ab)的絕對值不等式的解法主要有三種：(1)運用絕對值的幾何意義；(2)_；(3)構(gòu)造分段函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象求解4(1)定理：如果a，b，c是實數(shù)，則|ac|ab|bc|，當且僅當_時，等號成立(2)重要絕對值不等式|a|b|ab|a|b|.使用時(特別是求最值時)要注意等號成立的條件，即|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|a|b|ab|b(ab)0；|a|b|ab|b(ab)0；注：|a|b|ab|a|ab|b|(ab)b|ab|b|b(ab)0.同理可得|a|b|ab|b(ab)0.自我檢測1(2010江西)不等式的解集是()A(0,2) B(，0)C(2，) D(，0)(0，)2(2011天津)已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，則集合AB_.3(2011濰坊模擬)已知不等式|x2|x3|a的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是()Aa<5 Ba5Ca>5 Da54若不等式|x1|x2|<a無實數(shù)解，則a的取值范圍是_5(2009福建)解不等式|2x1|<|x|1.探究點一解絕對值不等式例1 解下列不等式：(1)1<|x2|3；(2)|2x5|>7x；(3)|x1|2x1|<2.變式遷移1 (2011江蘇)解不等式x