2015高考數(shù)學（理）一輪復習配套文檔：第8章 第7節(jié)　拋物線

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1、 第七節(jié)　拋 物 線 【考綱下載】 1．掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率等)． 2．了解圓錐曲線的簡單應用．了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用． 3．理解數(shù)形結合思想． 1．拋物線的定義 滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線： (1)在平面內(nèi)； (2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等； (3)定點不在定直線上． 2．拋物線的標準方程和幾何性質(zhì) 標準 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p>0) x2＝－2p

2、y (p>0) p的幾何意義：焦點F到準線l的距離 圖形 頂點 O(0,0) 對稱軸 y＝0 x＝0 焦點 F F F F 離心率 e＝1 準線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R 開口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半徑 (其中 P(x0，y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋ 1．當定點F在定直線l上時，動點的軌跡是什么圖形？ 提示：當定點

3、F在定直線l上時，動點的軌跡是過定點F且與直線l垂直的直線． 2．拋物線y2＝2px(p>0)上任意一點M(x0，y0)到焦點F的距離與點M的橫坐標x0有何關系？若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，結果如何？ 1 / 4 提示：由拋物線定義得|MF|＝x0＋；若拋物線方程為x2＝2py(p>0)，則|MF|＝y(tǒng)0＋. 1．設拋物線的頂點在原點，準線方程為x＝－2，則拋物線的方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 解析：選C　由拋物線準線方程為x＝－2知p＝4，且開口向右，故拋物線方程

4、為y2＝8x. 2．拋物線y2＝4x的焦點F到準線l的距離為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B　因為拋物線y2＝4x，所以2p＝4，而焦點F到準線l的距離為p＝2. 3．拋物線y＝2x2的焦點坐標為(　　) A. B．(1,0) C. D. 解析：選C　將拋物線y＝2x2化成標準方程為x2＝y(tǒng)，所以2p＝，＝，而拋物線x2＝y(tǒng)的焦點在y軸的非負半軸上，所以焦點坐標為. 4．拋物線的焦點為橢圓＋＝1的左焦點，頂點為橢圓中心，則拋物線方程為________________． 解析：由c

5、2＝9－4＝5，得F(－，0)，則拋物線方程為y2＝－4x. 答案：y2＝－4x 5．設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，點A(0,2)．若線段FA的中點B在拋物線上，則B到該拋物線準線的距離為________． 解析：F，則B，∴2p＝1，解得p＝.∴B， 因此B到該拋物線的準線的距離為＋＝. 答案： 前沿熱點(十二) 與拋物線有關的交匯問題 1．拋物線是一種重要的圓錐曲線，在高考中，經(jīng)常以拋物線為載體與直線、圓綜合考查，主要考查拋物線的方程及幾何性質(zhì)，直線與拋物線的綜合應用，點到直線的距離等． 2．直線與拋物線的綜合問題，經(jīng)常是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，

6、消去x(或y)，利用方程的根與系數(shù)的關系求解，但一定要注意直線與拋物線相交的條件． [典例]　(2013湖南高考)過拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且k1＋k2＝2，l1與E相交于點A，B，l2與E相交于點C，D，以AB，CD為直徑的圓M，圓N(M，N為圓心)的公共弦所在直線記為l. (1)若k1>0，k2>0，證明：<2p2； (2)若點M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程． [解題指導]　(1)直線l1的方程與拋物線方程聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關系，再由向量的坐標形式得出的表達式，再證明不等式； (2)先求出點M

7、到直線l的距離的表達式，再求最值，結合已知條件即可求p，從而得出拋物線方程． [解]　(1)證明：由題意，拋物線E的焦點為F，直線l1的方程為y＝k1x＋. 由得x2－2pk1x－p2＝0.設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 則x1，x2是上述方程的兩個實數(shù)根．從而x1＋x2＝2pk1，y1＋y2＝k1(x1＋x2)＋p＝2pk＋p. 所以點M的坐標為，＝(pk1，pk)． 同理可得點N的坐標為，＝(pk2，pk)． 于是＝p2(k1k2＋kk)．由題設，k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2， 所以0

8、. (2)由拋物線的定義得|FA|＝y(tǒng)1＋，|FB|＝y(tǒng)2＋， 所以|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝2pk＋2p，從而圓M的半徑r1＝pk＋p. 故圓M的方程為(x－pk1)2＋2＝(pk＋p)2， 化簡得x2＋y2－2pk1x－p(2k＋1)y－p2＝0. 同理可得圓N的方程為x2＋y2－2pk2x－p(2k＋1)y－p2＝0. 于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2－k1)x＋(k－k)y＝0. 又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，則l的方程為x＋2y＝0. 因為p>0，所以點M到直線l的距離 d＝＝＝. 故當k1＝－時，d取最小值.由題設，＝，解得p＝8. 故所求的

9、拋物線E的方程為x2＝16y. [名師點評]　解答本題的關鍵有以下兩點： (1)充分利用k1>0，k2>0，k1≠k2時，k1k2<2； (2)注意2k＋k1＋1>0，即d＝＝. (2014湖州模擬)已知拋物線C：y2＝2px的焦點為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個交點的橫坐標為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過原點的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積． 解：(1)由題意知交點坐標為(8，－8)，∴82＝2p8， ∴2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x. (2)∵l1：y＝－x，又直線l2與l1垂直， 所以可設l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸交點為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m＞0， ∴m＞－2. 由韋達定理，y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)， ∴l(xiāng)2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)， 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝|FM||y1－y2| ＝3＝24. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！