2014高考數(shù)學(xué)一輪匯總訓(xùn)練《函數(shù)圖象》理新人教A版

1 / 17 第八節(jié)函數(shù)的圖象 備考方向要明了 怎么考 高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查主要以選擇題或填空題的形式考 查函數(shù)圖象的判斷及應(yīng)用. 1. 對(duì)圖象的判斷主要有以下兩種： （1）根據(jù)所給函數(shù)解析 式，利用其與基本初等函數(shù)的關(guān)系以及它們之間的變化規(guī)律， 根據(jù)圖象變換得出所求函數(shù)的圖象，如 2012 年四川 T5,新課 標(biāo)全國(guó) T10 等. 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)（如：奇偶性、單調(diào)性、周期性等 ）或函數(shù) 圖象的特殊點(diǎn)得出所求函數(shù)的圖象，如 2012 年山東 T9 等. 2. 圖象的應(yīng)用主要有以下幾個(gè)方面： 求函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間， 求參數(shù)的取值范圍，判斷非常規(guī)解的個(gè)數(shù)等，如 2012 年福建 T15,天津 T14 等. 歸納知識(shí)整合 1禾 U 用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象 其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線. 首先：確定函數(shù)的定義域；化簡(jiǎn)函數(shù)解析式； 討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、 周期性、對(duì)稱(chēng)性等）. 其次：列表（尤其注意特殊點(diǎn)、 零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn), 連線. 2 利用圖象變換法作函數(shù)的圖象 （1）平移變換: 考什么 1. 在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不 同的需要選擇圖象法、列表 法、2 / 17 y=f（x）a ，左移 y = f(x a)； 3 / 17 y=和心下移移：個(gè)單位立y=f(x)+b. 伸縮變換: 01,縮短為原來(lái)的 一、A1，伸為原來(lái)的A倍 Af/ x y= f (x) 0A0)對(duì)稱(chēng)，那么其圖象如何變換才能使它變?yōu)?奇函數(shù)？其解析式變?yōu)槭裁? 提示：向左平移a個(gè)單位即可；解析式變?yōu)?y= f(x+ a). 自測(cè)牛刀小試 1. (教材習(xí)題改編)汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，若把這 解析：選 B 汽車(chē)在啟動(dòng)、加速行駛的過(guò)程中，路程變化越來(lái)越快，圖象呈下凸趨勢(shì);y = f (x)與函數(shù)y 一過(guò)程中汽車(chē)行駛的路程 4 / 17 勻速行駛過(guò)程，圖象呈直線上升趨勢(shì)； 減速行駛過(guò)程，路程變化越來(lái)越慢，圖象呈上凸趨勢(shì). 2函數(shù)y= x|x|的圖象經(jīng)描點(diǎn)確定后的形狀大致是 ( ) 2 x , x0 解析：選 A y= x|x| = 0, x= 0 為奇函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng). x , x 1, 0 x1, 如圖(3). 識(shí)圖與辨圖 I 1 = J cos 6 x 例 2 (1)(2012 山東高考)函數(shù)y = x x的圖象大致為(2 xT! = _ x+ 8 / 17 cos 6 x 自主解答(1) y = f (x) = 2 cos 6x , , 亠 cos 6 x 0 時(shí)，y = f (x) = 2_ x趨近 1 故 y = f (2 x) = x 2 法二：當(dāng) x = 0 時(shí)，一f (2 x) = f(2) = 1 ;當(dāng) x= 1 時(shí)，一f(2 x) = f (1) = 1. 觀察各選項(xiàng)，可知應(yīng)選 B. 答案(1)D (2)B _ I I _ 尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法 (1) 知圖選式： 從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域； 從圖象的變化趨勢(shì)，觀察函數(shù)的單調(diào)性； 從圖象的對(duì)稱(chēng)性方面，觀察函數(shù)的奇偶性； 從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性. 利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確的選項(xiàng). (2) 知式選圖： 從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置;11 2 A T 1 O / 2 工 1 X r 1 1 1 O -1 1/2 D + ,排除選項(xiàng) B;當(dāng)x趨近時(shí), y= f (x) |0 畔趨近 2 - 2 0,排除選項(xiàng) C. 法一：由y= f(x)的圖象知f (x)= x w 1, xw 2. 當(dāng) x 0,2 時(shí)，2-x 0,2 ，所以 f(2 - x)= 1 xw 1, 2 x xw 2, 2-x，二 f( x) = 2 函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，排除選項(xiàng) A;當(dāng)x從正方向趨近 圖象應(yīng)為 B. 9 / 17 從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化 趨勢(shì); 從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性. 從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù). 利用上述方法，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，篩選正確選項(xiàng). 解析：選 C 當(dāng)x= 0 時(shí)，y = 0,由此排除選項(xiàng) A;當(dāng)x= 2 n時(shí)，y= n 0,由此排除選項(xiàng) D. 解析：選 B 由函數(shù)圖象可得，函數(shù) f(x)為偶函數(shù)，且x0 時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)性為 先減后增，最小值為正，極小值點(diǎn)小于 1，分別對(duì)選項(xiàng)中各個(gè)函數(shù)求導(dǎo)，并求其導(dǎo)函數(shù)等于 0 的正根，可分別得 1, -彳，2,1，由此可得僅函數(shù)f(x) = x2 ln | x|符合條件. lx 1| 例 3 (2012 天津高考)已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù) y= kx 2 的圖象恰有兩 口注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型， 當(dāng)選項(xiàng)無(wú)法排除時(shí), 代特殊值，或從某些量上尋找突破 II x 2.函數(shù) y= 2 2sin 3. (2013 杭州模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所 示, 析式可能是( ) 2 f (x) = x 2ln | x| 2 f (x) = x ln | x| A. B. C. f(x) = |x| 2ln | x| D. f(x) = |x| In | x| x的圖象大致是( 函數(shù)圖象的應(yīng)用 10 / 17 x I 個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 11 / 17 自主解答先去掉絕對(duì)值符號(hào)，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象， 數(shù)形結(jié)合求解. 時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn). 答案(0,1) U (1,4) 若將“ y = kx 2”改為“ y = kx”，k的取值范圍是什么? X + 1, x1 或 x 1, 解：函數(shù)可表示為 y=弋 圖象為如圖所示的 x 1, K x1, 實(shí)線部分，數(shù)形結(jié)合可知，要使兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則 k (0,1) U (1,2). _ I I _ 1. 利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì) 從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶 性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等 2. 利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù) 有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)； 利用此法也可由解的個(gè) 數(shù)求參數(shù)值. C. ( s, 2) U (1,2 D. 2, 1 a, a b1, 2 函數(shù) f (x) = (x 2) ?(x 1) -2 x 2, 1w x2, x 1, x2. 根據(jù)絕對(duì)值的意義, X + 1 x1 或 x 1 X 1 X1 在直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)的圖象, 如圖中實(shí)線所示.根據(jù)圖象可知, 當(dāng) 0k1 或 1k0，且 1, f(x) = x2 ax，當(dāng) x ( 1,1)時(shí)，均有 f(x)，則實(shí)數(shù) a 的取 值范圍是 _ . 1 1 解析：由題知，當(dāng)x ( 1,1)時(shí)，f(x) = x2 ax2 即x2-ax.在同一坐標(biāo)系中分別作 2 1 x 出二次函數(shù)y = x22，指數(shù)函數(shù)y = ax的圖象, 要使指數(shù)函數(shù)的圖象均在二次函數(shù)圖象的上方，需 一 1 實(shí)數(shù)a的取值范圍是寸av 1 或 1 v aw 2. 答案：1 卩(1,2 y j 通法一 1 個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)圖象變換中的易錯(cuò)點(diǎn) 在解決函數(shù)圖象的變換問(wèn)題時(shí)，要遵循“只能對(duì)函數(shù)關(guān)系式中的 寫(xiě)出每一次的變換所得圖象對(duì)應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯(cuò). 3 個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)一一正確作出函數(shù)圖象的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點(diǎn): (1)正確求出函數(shù)的定義域； 熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、 1 冪函數(shù)、形如y = x+ -的函數(shù); x (3) 掌握平移變換、伸縮變換、對(duì)稱(chēng)變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來(lái) 幫助我們簡(jiǎn)化作圖過(guò)程. 3 種方法識(shí)圖的方法 對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢(shì)、 對(duì)稱(chēng)性等方面來(lái) 獲取圖中所提供的信息，解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法有： (1)定性分析法， 也就是通過(guò)對(duì)問(wèn)題 進(jìn)行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢(shì)，利用這一特征來(lái)分析解決問(wèn)題；(2) 定量計(jì)算法，也就是通過(guò)定量的計(jì)算來(lái)分析解決問(wèn)題； (3)函數(shù)模型法， 也就是由所提供的 圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來(lái)分析解決問(wèn)題 歸納領(lǐng)悟 x, y變換”的原則, 14 / 17 易誤警示一一作圖不準(zhǔn)確或數(shù)與形不吻合致誤 15 / 17 1已知函數(shù)f (x)= |2x 1| , x2 ；3 實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A. (1,3) 若方程f (x) a= 0 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 1 典例(2011 新課標(biāo)全國(guó)卷)函數(shù)y= 1x的圖象與函數(shù) y = 2sin n x( 2 x 4) I x 也關(guān)于點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng)；因此兩圖象的交點(diǎn)也一定關(guān)于點(diǎn) (1,0)成中心對(duì)稱(chēng)，再結(jié)合圖象(如圖所示)可知兩圖象在2,4 上有 8個(gè)交點(diǎn)，因此 8 個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 X1+ X2+ , + xs = 4X 2= 8. 答案D 易誤辨析 1 如果作出的函數(shù)圖象比較粗糙，極易造成區(qū)間 (1,2)上的兩個(gè)交點(diǎn)遺漏，從而誤選 B. 1 f3 、 2 如果作函數(shù) y= 的圖象不夠準(zhǔn)確，只注意到圖象過(guò)點(diǎn) ，1 ,極易忽視區(qū)間 1 x 2 ， 3 2 上的交點(diǎn)，從而誤選 C. 1 3. 如果不能正確地挖掘函數(shù) y = 及y = 2sin n x( 2 x 4)的圖象均關(guān)于點(diǎn)(1,0) 1 x 對(duì)稱(chēng)，從而無(wú)法求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和. 4 解決此類(lèi)問(wèn)題，避免在解題過(guò)程中出現(xiàn)失誤，應(yīng)關(guān)注以下幾點(diǎn)： (1)平時(shí)涉及函數(shù)圖象的問(wèn)題時(shí)，要規(guī)范準(zhǔn)確地畫(huà)出圖象，切忌不用尺規(guī)草草完成. (2) 加強(qiáng)通過(guò)解析式分析其圖象的對(duì)稱(chēng)性、周期性等性質(zhì)的訓(xùn)練以提高解決這類(lèi)問(wèn)題的 能力. (3) 訓(xùn)練由圖分析其函數(shù)性質(zhì)的解題技巧. 變式訓(xùn)練 4 y 1 3 八2 JV A/V -2 -1耳 V A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 解析由題意知 1 一 1 6A Kf/fe H W lib 且關(guān)于 y=1x= .的圖象是雙曲線， 點(diǎn)(1,0)成中心對(duì)稱(chēng)，又 y= 2si n n x 的周期為 T= 2n =2, 且 的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 (7t 16 / 17 解析：選 D 因?yàn)榉匠蘤（x） a = 0 的根，即是直線y = a與函數(shù)f（x）= x 12 1| , x2, 圍是（0,1） c的大小關(guān)系是 _ . 解析：由 2 + x= 0,得 2 = x, 分別作出y = 2x, y= x的圖象，如圖（1）, 兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為 a,可得a0. 同理，對(duì)于方程 log 2X = 2 x，可得圖（2）, 得 1b2； 1 對(duì)于方程 log 宕=x，可得圖（3），得 0c1, 所以acb. 一、選擇題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） x2 xo 的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖象進(jìn)行觀察可以得知, a的取值范 2.已知a, 筋血園匍餃謝禍嗚蔬囲恿迢陋廚曲 b, c依次是方程 a, b, 答案：acb ZHINHNG JIAHCB (1) 17 / 17 解析：選 B 當(dāng)x0時(shí)，只需把y = 2x的圖象在y軸 右側(cè)的部分向下平移 1 個(gè)單位即可，故大致圖象為 B.18 / 17 n n 2.函數(shù)y=啞1 x| x log 2 | x| 解析：選 C 由于 9 | 1 log 2 | x| d ，所以函數(shù)y = z. log 2 | x| x 是奇 曰*函數(shù)，其圖象關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)當(dāng)x0 時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可知函數(shù)圖象先增后減，結(jié)合選項(xiàng)可知選 C. 3. (2013 太原模擬)已知函數(shù) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x) = 3x + m(m 為常數(shù))，則函數(shù) 解析：選 B 由函數(shù)f (x)是定義在 R 上的奇函數(shù)知，函數(shù) f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)且關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故可排除 得 m= 1,即當(dāng) A C,由f(x)在0,+)上為增函數(shù)，可排除 D,由題意知，f(0) = 0, x 一 x x0 時(shí)，f (x) = 3 1;設(shè) x0, f (x) = f( x) = (3 1) =3x+ 1.故 f(x)= 3x 1 x 0, I x . 4.已知函數(shù)y = f(x)與y= g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù) y = f(x) g(x)的圖象可能是 解析：選 A 觀察圖象可知，y = f(x)有兩個(gè)零點(diǎn) 的大致圖象是( 19 / 17 X1 = , X2=2,且 y= g(x)在 x = 0 時(shí)，函數(shù)值不存在，所以函數(shù) y= f(x) g(x)在x= 0 時(shí)，函數(shù)值也不存在，故可以排除選20 / 17 當(dāng) 4 三kX11 時(shí)，f(X2) f(x( X2 xi)ab B.少 ba C. acb D. bac 解析：選 D 由題意得f(x +1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則f (x)的圖象關(guān)于x= 1 對(duì)稱(chēng), 滿足 f (x) = f (2 x)，二 a= f 2 = f |2 .又由已知得 f(x)在(1 ,+s)上為減函數(shù)， f (2) f j| f(3)，即 bac. 6.設(shè)函數(shù)f(x)才 x x, x0, =2, 1.5 = 1，若直線 y= k(x + 1)( k0)與函數(shù)y = f (x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn), 的取值范圍是( A. B. 0, D. ， 解析: 選 D 依題意作出函數(shù)f(x) =x x， f x +1 x 0, x0 的圖象如圖所示，貝U a + b+ c= _ 21 / 17 將其坐標(biāo)代入可得 c=1, 1 13 所以 a+ b+ c= 2 + 2 + -=. 3 3 答案：亍 & (2013 鹽城模擬)若關(guān)于x的不等式 2 x2|x a|至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a的 取值范圍是 _ . 解析：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù) f (x) = 2 x2, g(x) = | xa| 的圖象，如圖所示.若 aw 0,則其臨界情況為折線 g(x) = |x a| 與拋物線 f (x) = 2 x2 相切，由 2 x2 = x a 可得 x2 + x a 2=0, 9 由 = 1 + 4(a+ 2) = 0,解得a=;若a0,則其臨界情況 4 為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為(0,2)，此時(shí)a = 2.結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù) a的取值范圍是 一 4, 2 . _ _ 2 9.已知函數(shù) y = f(x)( x R)滿足 f (x +1) = f (x-1)，且 x 1,1時(shí)，f (x) = x ,貝 U 函數(shù)y= f (x)與y = log 5X的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 _ . 解析：根據(jù)f(x+ 1) = f(x 1)，得f (x) = f(x+ 2)，則函數(shù)f(x)是以 2 為周期的函數(shù)， 分別作出函數(shù)y = f(x)與y = log 5X的圖象(如圖)，可知函數(shù)y=f(x)與y= log 5X的圖象的交 點(diǎn)個(gè)數(shù)為 4. 答案：4 三、解答題(本大題共 3 小題，每小題 12 分，共 36 分) 10 .已知函 數(shù) f (x) = x| m-x|( x R)，且 f (4) = 0. 求實(shí)數(shù)m的值; 作出函數(shù)f (x)的圖象;解析：由圖象可求得直線的方程為 又函數(shù)y = log c x+ 9 的圖象過(guò)點(diǎn) (0,2) 9 22 / 17 (3) 根據(jù)圖象指出f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間； 根據(jù)圖象寫(xiě)出不等式f(x)0 的解集; 求當(dāng) x 1,5)時(shí)函數(shù)的值域. 解：(1) f(4) = 0 , 4|mn 4| = 0, 即 m= 4. (2) f(x) = x|4 -x| x x 4 x 2 2 4, x4, x x 4 x 2 + 4, x0 的解集為x|0 x4. (5) T f(5) = 54, 由圖象知，函數(shù)在1,5)上的值域?yàn)?,5). 11當(dāng)x (1,2)時(shí)，不等式(x 1)2logax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 2 解：設(shè) f (x) = (x 1) , g(x) = log ax, 在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出 f (x)與g(x)的圖象， 要使x (1,2)時(shí)，不等式(x 1)2log ax恒成立，只需函數(shù)f (x)的圖象在g(x)的圖象下 方即可. 當(dāng) 0a1 時(shí)，如圖，使 x (1,2)時(shí)，不等式(x 1)2log ax恒成立，只需f(2) g(2), 即(2 1)2log a2,解得 1a2. 綜上可知，11 時(shí)，T2n,當(dāng) o|a|2n . 1 a| 經(jīng)觀察圖中的振幅 A與周期的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)， A 中 0a2n , B中，a1, T2 n , C 中, a= 0，故 D 不正確. 3.作出下列函數(shù)的圖象. 2 (1) y = |x 2|( x+ 1) ; (2)y= |x 2|x| 3|. O 2 * I) 2.已知a是實(shí)數(shù)，則函數(shù) 25 / 17 解：(1)函數(shù)化為禺 26 / 17 圖象如圖(1)所示. 2 2 (2) y= x 2x y= x 2|x 2x = f (x) . f (x)疋奇