高考數(shù)學復習：第八章 ：第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系突破熱點題型

+2019年數(shù)學高考教學資料+第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系考點一直線與圓、圓與圓的位置關系 例1(1)(2013陜西高考)已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關系是()A相切 B相交 C相離 D不確定(2)(2014南昌模擬)若過點(1,2)總可以作兩條直線與圓x2y2kx2yk2150相切，則實數(shù)k的取值范圍是_自主解答(1)因為M(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b2>1，而圓心O到直線axby1的距離d<1，所以直線與圓相交(2)把圓的方程化為標準方程得2(y1)216k2，所以16k2>0，解得<k<，由題易知點(1,2)應在已知圓的外部，把點代入圓的方程得14k4k215>0，即(k2)(k3)>0，解得k>2或k<3，則實數(shù)k的取值范圍是.答案(1)B(2)【互動探究】在本例(2)中的條件“總可以作兩條直線”改為“至多能作一條直線”，結果如何？解：依題意知點(1,2)應在圓上或圓的內部，所以有解得3k2. 【方法規(guī)律】1判斷直線與圓的位置關系的方法(1)幾何法：明確圓心C的坐標(a，b)和半徑r，將直線方程化為一般式；利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d；比較d與r的大小，寫出結論(2)代數(shù)法：直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個變量；判斷二次方程根的個數(shù)(與0的關系)；得出結論2圓與圓的位置關系判斷圓與圓的位置關系時，一般用幾何法，其步驟是：(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長；(2)利用平面內兩點間的距離公式求出圓心距d，求r1r2，|r1r2|；(3)比較d，r1r2，|r1r2|的大小，寫出結論.1直線yx1與圓x2y21的位置關系是()A相切 B相交但直線不過圓心C直線過圓心 D相離解析：選B法一：由消去y，整理得x2x0，因為124101>0，所以直線與圓相交又圓x2y21的圓心坐標為(0,0)，且001，所以直線不過圓心法二：圓x2y21的圓心坐標為(0,0)，半徑長為1，則圓心到直線yx1的距離d.因為0<<1，所以直線yx1與圓x2y21相交但直線不過圓心2圓C1：x2y22x2y20與圓C2：x2y24x2y40的公切線有()A1條 B2條 C3條 D4條解析：選D圓C1：(x1)2(y1)24，圓心C1(1，1)，半徑長r12；圓C2：(x2)2(y1)21，圓心C2(2,1)，半徑長r21.d，r1r23，d>r1r2，兩圓外離，來源:兩圓有4條公切線考點二與圓有關的弦長問題 例2(1)(2013安徽高考)直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長為()A1 B2 C4 D4(2)(2013江西高考)過點(，0)引直線l與曲線y相交于A，B兩點，O為坐標原點，當AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于()A. B C D自主解答(1)因為圓心(1,2)到直線x2y50的距離d1，且圓的半徑r.所以所得弦長24.來源:(2)由于y，即x2y21(y0)，直線l與x2y21(y0)交于A，B兩點，如圖所示，SAOB11sinAOB，且當AOB90時，SAOB取得最大值，此時AB，點O到直線l的距離為，則OCB30，所以直線l的傾斜角為150，則斜率為.答案(1)C(2)B【方法規(guī)律】計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成的直角三角形計算(2)代數(shù)方法運用韋達定理及弦長公式|AB|xAxB|.1直線yx被圓x2(y2)24截得的弦長為_解析：法一：幾何法：圓心到直線的距離為d，圓的半徑r2，所以弦長l222.法二：代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程消去y可得x22x0，所以直線和圓的兩個交點坐標分別為(2,2)，(0,0)，弦長為2.答案：22(2014濟南模擬)已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：yx1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為_解析：由題意，設所求的直線方程為xym0，設圓心坐標為(a,0)，則由題意知22(a1)2，解得a3或a1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以a3，故圓心坐標為(3,0)因為圓心(3,0)在所求的直線上，所以有30m0，即m3，故所求的直線方程為xy30.來源:答案：xy30高頻考點來源:考點三 圓的切線問題1與圓有關的切線問題，是近年來高考在本節(jié)命題的一個熱點問題，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為中、低檔題目2高考對圓的切線問題的考查主要有以下幾個命題角度：(1)過圓上一點求圓的切線方程；(2)過圓外一點求圓的切線方程；(3)與切線長有關的問題；(4)與切線夾角有關的問題例3(1)(2012江西高考)過直線xy20上點P作圓x2y21的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標是_(2)(2013江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y2x4.設圓C的半徑為1，圓心在l上若圓心C也在直線yx1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；若圓C上存在點M，使MA2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍自主解答(1)如圖所示，|OP|2，設P(x，y)，則故P(，)(2)由題意知，圓心C是直線y2x4和yx1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在設過A(0,3)的圓C的切線方程為ykx3，依題意知，1，所以k0或，因此，切線方程為y3或yx3，即切線方程為y30或3x4y120.因為圓心在直線y2x4上，所以圓C的方程為(xa)2y2(a2)21.設點M(x，y)，因為MA2MO，所以2，化簡得x2y22y30，即x2(y1)24，所以點M在以D(0，1)為圓心，2為半徑的圓上由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|21|CD21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以點C的橫坐標a的取值范圍為0，.答案(1)(，)與圓的切線有關的問題的常見類型與解題策略(1)過圓上一點求圓的切線方程首先考慮切線斜率不存在時，是否符合要求，其次考慮斜率存在時，由直線與圓相切，求出斜率k，進而得出切線方程(2)過圓外一點求圓的切線方程方法同上(3)與切線長有關的問題解題時應注意圓心與切點的連線與切線垂直，從而得出一個直角三角形，然后求解(4)與切線有關的夾角問題與(3)相同，利用直角三角形解決問題1(2014大慶模擬)已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x4y40與圓C相切，則圓C的方程為()A. x2y22x30 B. x2y24x0來源:數(shù)理化網(wǎng)C. x2y22x30 D. x2y24x0解析：選D設圓心的坐標為(a,0)(a>0)，又因為直線3x4y40與圓C相切，所以2，解得a2或(舍)，因此圓的方程為(x2)2y222，即x2y24x0.2(2014豫東、豫北十校聯(lián)考)圓心在曲線y(x>0)上，且與直線3x4y30相切的面積最小的圓的方程為()A(x2)229B(x3)2(y1)22C(x1)2(y3)22D(x)2(y)29解析：選A設所求圓的圓心坐標是(a>0)，則點(a>0)到直線3x4y30的距離d3，當且僅當3a，即a2時取等號，因此所求圓的圓心坐標是，半徑是3，圓的方程為(x2)229.課堂歸納通法領悟2種方法解決直線與圓位置關系的兩種方法見本節(jié)考點一方法規(guī)律3個注意點直線與圓相切、相交的三個注意點(1)涉及圓的切線時，要注意過切點的半徑與切線垂直；(2)當直線與圓相交時，半弦、弦心距、半徑所構成的直角三角形在解題中起到關鍵的作用，解題時要注意把它與點到直線的距離公式結合起來使用；(3)判斷直線與圓相切，特別是過圓外一點求圓的切線時，應有兩條在解題中，若只求得一條，則說明另一條的斜率不存在，這一點經(jīng)常忽視，應注意檢驗、防止出錯高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品