【冀教版】八年級數(shù)學(xué)上冊學(xué)案 角的平分線

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1、▼▼▼2019屆數(shù)學(xué)冀教版教輔資料▼▼▼ 角的平分線 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.理解并掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.（難點(diǎn)） 2.能利用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理證明相關(guān)結(jié)論并應(yīng)用.(重點(diǎn)） 3.能利用尺規(guī)作出一個已知角的角平分線. 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理. 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理的應(yīng)用. 自主學(xué)習(xí) 知識鏈接 角是軸對稱圖形嗎？你能確定角的對稱軸嗎？試著在下圖中畫出∠ABC的對稱軸. 二、新知預(yù)習(xí) 2.在一張半透明的紙上畫出一個角（∠AOB），將紙對折，使得這個角的兩邊重合，從中你能得什么結(jié)論？

2、答：________________________________________________________________________. 按照下圖所示的過程，將你畫出的∠AOB，依照上述方法對折后；設(shè)折痕為直線OC；再折紙，設(shè)折痕為直線n，直線n與邊OA，OB分別交于點(diǎn)D，E，與折線OC交于點(diǎn)P；將紙展開平鋪后，猜想線段PD與線段PE，線段OD與線段OE分別具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由. 猜想：_____________________________________________. 得出結(jié)論：____________________________________

3、______________. 下面我們就來證明折紙過程中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論： 已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E. 求證：PD=PE. 證明：在△______和△______中， ∵_(dá)_________________________________________________, ∴△______≌△______. ∴____________________________. 于是我們得到角平分線的性質(zhì)定理： 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離______. 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過線段垂直平分線的性質(zhì)的逆命題是一個真命題（定理

4、）.角平分線的性質(zhì)定理的逆命題呢？ （1）角平分線的性質(zhì)定理的逆命題： ________________________________________________________________. 根據(jù)這個逆命題的內(nèi)容，畫出圖形； 解題圖形，提出你對這個逆命題是否正確的猜想； 猜想：_____________________________________________. 設(shè)法驗證你的猜想； 已知：如圖，P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E且PD=PE. 求證：OC是∠AOB的平分線 證明：在△______和△______中， ∵_(dá)___

5、______________________________________________, ∴△______≌△______. ∴____________________________. 于是我們得到角平分線性質(zhì)定理的逆命題是一個_____命題. 即_____________________________________________________________________. 自學(xué)自測 1.如圖，已知△ABC的周長是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面積是________． 2.如圖，在△ABC中，∠B=45&

6、#176;，AD是∠BAC的角平分線，EF垂直平分AD，交BC的延長線于點(diǎn)F．則∠FAC=_______． 四、我的疑惑 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________

7、 _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 合作探究 要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)1：角平分線的性質(zhì)定理 問題1：如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF.證明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB. 【歸納總結(jié)】角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一

8、個重要依據(jù)，在運(yùn)用時一定要注意是兩條“垂線段”相等． 【針對訓(xùn)練】 如圖所示，D是△ABC外角∠ACG的平分線上的一點(diǎn)．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).求證：CE＝CF. 問題2：如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【歸納總結(jié)】利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法． 【針對訓(xùn)練】 如圖，OP是∠MON的角平分線，點(diǎn)A是ON上一點(diǎn)，作線段OA的垂直平分線交OM于點(diǎn)B，過點(diǎn)A作CA⊥ON交O

9、P于點(diǎn)C，連結(jié)BC，AB=10 cm，CA=4 cm，則△OBC的面積為 ________cm2． 探究點(diǎn)2：角平分線的性質(zhì)定理的逆定理 問題1： 如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線． 【歸納總結(jié)】證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上． 【針對訓(xùn)練】 如圖，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點(diǎn)D.求證：AD是∠BAC的平分線． （提示：作輔助線如圖所示） 問題2：如

10、圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，下面給出四個結(jié)論，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等；④到AE、AF距離相等的點(diǎn)，到DE、DF的距離也相等．其中正確的結(jié)論有(　　) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【歸納總結(jié)】運(yùn)用角平分線的性質(zhì)或判定時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等． 【針對訓(xùn)練】 如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC

11、=AB；⑤A，D兩點(diǎn)一定在線段EC的垂直平分線上，其中正確的有（　?。? A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 探究點(diǎn)3：用尺規(guī)作已知角的角平分線 問題：如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E、F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度數(shù)． 【歸納總結(jié)】通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據(jù)作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關(guān)鍵．

12、 【針對訓(xùn)練】 如圖，有一塊三角形的閑地，其三邊長分別為30 m，40 m，50 m，現(xiàn)要把它分成面積比為3:4:5的三部分，分別種植不同的花.請你設(shè)計一種方案，保留作圖痕跡. 二、課堂小結(jié) 內(nèi)容 角平分線的性質(zhì)定理 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等. 如果點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，且PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，那么PD＝________． 角平分線性質(zhì)定理的逆定理 角的內(nèi)部到角的兩邊距離________的點(diǎn)在角的平分線上． 如果點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，且PD＝PE，那么點(diǎn)P在∠AOB的平分

13、線上. 角平分線的作法 (1)作法：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；②分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧相交在∠AOB的內(nèi)部于點(diǎn)C；③畫射線OC，射線OC即為所求．(2)上述作角平分線的理論依據(jù)是________． 當(dāng)堂檢測 1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 60°，則 ∠EBF= _______度，BE=________ . 2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是______.

14、3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（ ） A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 4.如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點(diǎn)E，PF∥AC交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由． 5.如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，\ 求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上． 當(dāng)堂檢測參考答案： 1.60 BF 2.3 A 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距離與到PF的距離相等， ∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． 5.過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M. ∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD， FM⊥BC， ∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.　　　 . 精品數(shù)學(xué)資料整理 精品數(shù)學(xué)資料整理