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第8章 平面解析幾何
第5節(jié) 橢圓
考點一 橢圓的定義、標準方程
1．（2013廣東，5分）已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質等知識，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、運算求解能力．依題意，設橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，所以解得a2＝4，b2＝3.
答案：D
2．（2013山東，14分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x
2、軸上，短軸長為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點，E為線段AB的中點，射線OE交橢圓C于點P.設＝t，求實數(shù)t的值．
解：本題綜合考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、平面向量的坐標運算等知識，考查方程思想、分類討論思想、推理論證能力和運算求解能力．
(1)設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，
由題意知
解得a＝，b＝1，
因此橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)(ⅰ)當A，B兩點關于x軸對稱時，
設直線AB的方程為x＝m，由題意得－<m<0或0<m<.
將x＝m代入橢圓方程＋y2
3、＝1，
得|y|＝ ，
所以S△AOB＝|m| ＝，
解得m2＝或m2＝.①
又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，
因為P為橢圓C上一點，
所以＝1.②
由①②得t2＝4或t2＝，
又t>0，所以t＝2或t＝.
(ⅱ)當A，B兩點關于x軸不對稱時，
設直線AB的方程為y＝kx＋h，
將其代入橢圓的方程＋y2＝1，
得(1＋2k2)x2＋4khx＋2h2－2＝0.
設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由判別式Δ>0可得1＋2k2>h2，
此時x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2h＝，
所以|AB|＝
4、＝2·· .
因為點O到直線AB的距離d＝，
所以S△AOB＝·|AB|·d＝×2··＝· ·|h|.
又S△AOB＝，
所以· ·|h|＝.③
令n＝1＋2k2，代入③整理得3n2－16h2n＋16h4＝0，
解得n＝4h2或n＝h2，
即1＋2k2＝4h2或1＋2k2＝h2.④
又＝t＝t(＋)＝t(x1＋x2，y1＋y2)＝，
因為P為橢圓C上一點，
所以t22＋2＝1，
即＝1.⑤
將④代入⑤得t2＝4或t2＝.
又t>0，所以t＝2或t＝.經(jīng)檢
5、驗，符合題意．
綜合(ⅰ)(ⅱ)得t＝2或t＝.
3．（2011浙江，5分）已知橢圓C1：＋＝1(a＞b＞0)與雙曲線C2：x2－＝1有公共的焦點，C2的一條漸近線與以C1的長軸為直徑的圓相交于A，B兩點．若C1恰好將線段AB三等分，則( )
A．a(chǎn)2＝ B．a(chǎn)2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析：對于直線與橢圓、圓的關系，如圖所示，設直線AB與橢圓C1的一個交點為C(靠近A的交點)，則|OC|＝，
因tan∠COx＝2，
∴sin∠COx＝，
cos∠COx＝，
則C的坐標為(，)，代入橢圓方程得＋＝1，∴a2＝11b2.∵5＝a2－b2，∴
6、b2＝.
答案：C
4.(2012安徽，13分)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60°.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值．
解：(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝.
(2)法一：a2＝4c2，b2＝3c2，
直線AB的方程可為y＝－(x－c)．
將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B(c，－c)．
所以|AB|＝·|c－0|＝c.
由S△AF1B＝|AF1|·
7、;|AB|sin ∠F1AB＝a·c·＝a2＝40，解得a＝10，b＝5.
法二：設|AB|＝t.
因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a.
由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t.
再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，
t＝a.
由S△AF1B＝a·a·＝a2＝40知，
a＝10，b＝5.
5．(2011陜西，12分)設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)過點(0,4)，離心率為.
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．
解：(
8、Ⅰ)將(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4，
又e＝＝得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程為＋＝1.
(Ⅱ)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)，
設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，
即x2－3x－8＝0，解得
x1＝，x2＝，
∴AB的中點坐標＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中點坐標為(，－)．
注：用韋達定理正確求得結果，同樣給分．
考點二 橢圓的簡單幾何性質
1．（2013新課標全國Ⅱ，5分）設橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)
9、2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：本題主要考查橢圓離心率的計算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質等知識，意在考查考生的運算求解能力．
法一：由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝＝＝＝＝.
法二：由PF2⊥F1F2可知P點的橫坐標為c，將x＝c代入橢圓方程可解得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，變形可得(a2－c2)＝2ac，等式兩邊同
10、除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去)．
答案：D
2．（2013遼寧，5分）已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率，解三角形等知識，意在考查考生對圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力．由余弦定理得，|AF|＝6，所以2a＝6＋8＝14，又2c＝10，所以e＝＝.
答案：B
3．（2013四川，5分）從橢圓＋＝1(a＞b＞0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點
11、F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心率是( )
A. B.
C. D.
解析：本題主要考查橢圓的簡單幾何性質，意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想．由已知，點P(－c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得P.∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，即－＝－，則b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2c2，則＝，即該橢圓的離心率是.
答案：C
4．（2013福建，4分）橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該
12、橢圓的離心率等于________．
解析：本題主要考查橢圓的定義、圖像和性質等基礎知識，意在考查考生的數(shù)形結合能力、轉化和化歸能力、運算求解能力．直線y＝(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1.
答案：－1
5．（2012新課標全國，5分）設F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，P為直線x＝上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為( )
A.
13、 B.
C. D.
解析：由題意可得|PF2|＝|F1F2|，所以2(a－c)＝2c，所以3a＝4c，所以e＝.
答案：C
6．（2012江西，5分）橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.－2
解析：依題意得
|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，所以e＝＝.
答案：B
7．（2011新課標全國，5分）橢圓＋＝1的離心率為
14、( )
A. B.
C. D.
解析：由＋＝1可得a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8.
∴e2＝＝.∴e＝.
答案：D
8．（2010福建，5分）若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為( )
A．2 B．3
C．6 D．8
解析：由橢圓＋＝1，可得點F(－1,0)，點O(0,0)，設P(x，y)，－2≤x≤2，則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，當且僅當x＝2時，·取得最大值6.
答案：C
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湘教版高考數(shù)學文一輪題庫 第8章第5節(jié)橢圓
