高考數學復習：第三章 ：第三節(jié)　三角函數的圖象與性質突破熱點題型

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1、△+△2019年數學高考教學資料△+△ 第三節(jié)　三角函數的圖象與性質 考點一 三角函數的定義域和值域 　 [例1]　(1)求函數y＝lg(sin 2x)＋的定義域； (2)求函數y＝cos2x＋sin x的最大值與最小值． [自主解答]　(1)由 得 ∴－3≤x＜－或0＜x＜. ∴函數y＝lg(sin 2x)＋的定義域為 . (2)令t＝sin x，∵|x|≤， ∴t∈. ∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋， ∴當t＝時，ymax＝，t＝－時，ymin＝. ∴函數y＝cos2x＋sin x的最大值為，最小值為. 【方法規(guī)律】 1．三角函數定

2、義域的求法 求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解． 2．三角函數值域(或最值)的求法 求解三角函數的值域(或最值)常見到以下幾種類型的題目：①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求值域(或最值)；②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數，可先設sin x＝t，化為關于t的二次函數求值域(或最值)；③形如y＝asin xcos x＋b(sin xcos x)＋c的三角函數，可先設t＝sin xcos x，化為關于t的二次函數求值域(或最值)． (2013陜西高考)已知向量

3、a＝，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，設函數f(x)＝ab. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在上的最大值和最小值． 解：f(x)＝(sin x，cos 2x) ＝cos xsin x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x ＝cossin 2x－sincos 2x ＝sin. (1)f(x)的最小正周期為T＝＝＝π， 即函數f(x)的最小正周期為π. (2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤. 由正弦函數的性質， 當2x－＝，即x＝時，f(x)取得最大值1.[來源:] 當2x－＝－，即x＝0時，f(0)＝－， 當2x－＝，即x＝時，f＝，

4、 故f(x)的最小值為－. 因此，f(x)在上的最大值為1，最小值為－. 考點二 三角函數的奇偶性、周期性和對稱性 　 [例2]　(1)(2013浙江高考)已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，φ∈R)，則“f(x)是奇函數”是“φ＝”的(　　) A．充分不必要條件　　　　B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2012福建高考)函數f(x)＝sin的圖象的一條對稱軸是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ (3)(2

5、013江西高考)函數y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T為________． [自主解答]　(1)f(x)是奇函數時，φ＝＋kπ(k∈Z)；φ＝時，f(x)＝Acos＝－Asin ωx，為奇函數．所以“f(x)是奇函數”是“φ＝”的必要不充分條件． (2)法一：(圖象特征)∵正弦函數圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，[來源:數理化網] 故令x－＝kπ＋，k∈Z，則x＝kπ＋，k∈Z.取k＝－1，則x＝－. 法二：(驗證法)x＝時，y＝sin＝0，不合題意，排除A；x＝時，y＝sin＝，不合題意，排除B；x＝－時，y＝sin＝－，不合題意，排除D；而x＝－時，y＝sin＝－1，

6、符合題意，C項正確，故選C. (3)∵y＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝2sin＋，[來源:] ∴最小正周期T＝＝π. [答案]　(1)B　(2)C　(3)π 【互動探究】 本例(2)中函數f(x)的對稱中心是什么？ 解：令x－＝kπ，k∈Z，則x＝＋kπ，k∈Z. 故函數f(x)＝sin的對稱中心為(k∈Z)．　　　　　 【方法規(guī)律】[來源:] 函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、周期性和對稱性 (1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數，則當x＝0時，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數，則當x＝0時，f(x)＝0.

7、(2)對于函數y＝Asin(ωx＋φ)，其對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數的零點，因此在判斷直線x＝x0或點(x0,0)是否是函數的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗f(x0)的值進行判斷． 1．函數y＝2sin(3x＋φ)的一條對稱軸為x＝，則φ＝________. 解析：由y＝sin x的對稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)，即3＋φ＝kπ＋(k∈Z)，得φ＝kπ＋(k∈Z)． 又|φ|＜，所以k＝0，故φ＝. 答案： 2．函數y＝cos(3x＋φ)的圖象關于原點成中心對稱圖形，則φ＝________. 解析：由題意，得y＝cos(3x＋φ)是奇函數，故φ

8、＝kπ＋(k∈Z)． 答案：kπ＋(k∈Z) 高頻考點 考點三 三角函數的單調性　　 [來源:] 1．三角函數的單調性是每年高考命題的熱點，題型既有選擇題也有填空題，難度適中，為中低檔題． 2．高考對三角函數單調性的考查有以下幾個命題角度： (1)求已知三角函數的單調區(qū)間； (2)已知三角函數的單調區(qū)間求參數； (3)利用三角函數的單調性求值域(或最值)． [例3]　(1)(2012新課標全國卷)已知ω>0，函數f(x)＝sin在上單調遞減，則ω的取值范圍是(　　) A.　　　　　　　　B. C. D．(0,2] (2)(

9、2013安徽高考)已知函數f(x)＝4cos ωxsin(ω>0)的最小正周期為π. ①求ω的值； ②討論f(x)在區(qū)間上的單調性． [自主解答]　(1)由＜x＜π，得ω＋＜ωx＋＜πω＋，由題意知?(k∈Z)且≥2， 則且0＜ω≤2， 故≤ω≤. (2)①f(x)＝4cos ωxsin＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin＋. 因為f(x)的最小正周期為π，且ω>0， 從而有＝π，故ω＝1. ②由①知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，則≤2x＋≤. 當≤2x＋≤，即0≤x≤時，f(x)單調遞增； 當≤2x＋≤，即≤

10、x≤時，f(x)單調遞減． 綜上可知，f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減． [答案]　(1)A 三角函數單調性問題的常見類型及解題策略 (1)已知三角函數解析式求單調區(qū)間．①求函數的單調區(qū)間應遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復合函數單調性規(guī)律“同增異減”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的單調區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯． (2)已知三角函數的單調區(qū)間求參數．先求出函數的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解． (3)利用三角函數的單調

11、性求值域(或最值)．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或可化為y＝Asin(ωx＋φ)＋b的三角函數的值域(或最值)問題常利用三角函數的單調性解決． 1．若函數f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則ω等于(　　) A．3 B．2 C. D. 解析：選C　∵y＝sin ωx(ω＞0)過原點， ∴當0≤ωx≤，即0≤x≤時，y＝sin ωx是增函數； 當≤ωx≤，即≤x≤時，y＝sin ωx是減函數． 由y＝sin ωx(ω＞0)在上單調遞增， 在上單調遞減知，＝，故ω＝. 2．求函數y＝tan的單調區(qū)間． 解

12、：把函數y＝tan變?yōu)閥＝－tan. 由kπ－<2x－

13、方法 　(1)利用sin x、cos x的有界性． (2)形式復雜的函數應化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域(或最值)． (3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體，可化為求函數在區(qū)間上的值域(或最值)問題． 4個注意點——研究三角函數性質應注意的問題 　(1)三角函數的圖象從形上完全反映了三角函數的性質，求三角函數的定義域、值域時應注意利用三角函數的圖象． (2)閉區(qū)間上值域(或最值)問題，首先要在定義域基礎上分析單調性，含參數的值域(或最值)問題，要討論參數對值域(或最值)的影響． (3)利用換元法求復合函數的單調性時，要注意x系數的正負． (4)利用換元法求三角函數值域(或最值)時要注意三角函數的有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x，則y＝(t－2)2＋1≥1，解法錯誤． 高考數學復習精品 高考數學復習精品