數(shù)學中考：專題提升(十三) 以圓為背景的相似三角形的計算與證明

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1、▼▼▼2019屆數(shù)學中考復習資料▼▼▼ 專題提升(十三)　以圓為背景的相似三角形的計算與 證明 【經(jīng)典母題】 如圖Z13－1，DB為半圓的直徑，A為BD延長線上的一點，AC切半圓于點E，BC⊥AC于點C，交半圓于點F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的長． 圖Z13－1　　 　　 　經(jīng)典母題答圖 解：如答圖，連結OE，設⊙O的半徑是R，則OE＝OB＝R. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB＝＝15. ∵AC切半圓O于點E，∴OE⊥AC， ∴∠OEA＝90＝∠C，∴OE∥BC， ∴△AEO∽△ACB， ∴＝，∴＝，解得R＝， ∴A

2、O＝AB－OB＝15－R＝. 【思想方法】　利用圓的切線垂直于過切點的半徑構造直角三角形，從而得到相似三角形，利用比例線段求AO的長． 【中考變形】 圖Z13－2 1．如圖Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90，O是AC邊上的一點，以O為圓心，OC為半徑的圓與AB相切于點D，連結OD. (1)求證：△ADO∽△ACB； (2)若⊙O的半徑為1，求證：AC＝ADBC. 證明：(1)∵AB是⊙O的切線，∴OD⊥AB， ∴∠C＝∠ADO＝90，∵∠A＝∠A， ∴△ADO∽△ACB； (2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴＝， ∴ADBC＝ACOD，∵OD＝1，∴AC＝A

3、DBC. 2．[2017德州]如圖Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90，D為BC的中點，以AC為直徑的⊙O交AB于點E. (1)求證：DE是⊙O的切線； (2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的長． 圖Z13－3 　　　中考變形2答圖 解：(1)證明：如答圖，連結OE，EC，∵AC是⊙O的直徑， ∴∠AEC＝∠BEC＝90，∵D為BC的中點， ∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2， ∵OE＝OC，∴∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB， ∵∠ACB＝90，∴∠OED＝90，∴DE是⊙O的切線； (

4、2)由(1)知∠BEC＝90， ∵在Rt△BEC與Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA， ∴△BEC∽△BCA，∴＝， ∴BC2＝BEBA，∵AE∶EB＝1∶2， 設AE＝x，則BE＝2x，BA＝3x， ∵BC＝6，∴62＝2x3x，解得x＝ ，即AE＝ . 3．如圖Z13－4，已知AB是⊙O的直徑，BC⊥AB，連結OC，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E. (1)求證：直線CD是⊙O的切線； (2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值． 圖Z13－4 中考變形3答圖 解：(1)證明：如答圖，連結DO. ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠C

5、OB，∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠COD＝∠COB. 又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)， ∴∠CDO＝∠CBO＝90，即OD⊥CD. 又∵點D在⊙O上，∴直線CD是⊙O的切線； (2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB. ∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC， ∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝. 4．[2016廣東]如圖Z13－5，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，∠ABC＝30.過點B作⊙O的切線BD，與CA的延長線交于點D，與半徑AO的延長線交于點E.過點A作⊙O的切線AF，與直徑BC的

6、延長線交于點F. (1)求證：△ACF∽△DAE； (2)若S△AOC＝，求DE的長； (3)連結EF，求證：EF是⊙O的切線． 圖Z13－5 中考變形4答圖 解：(1)證明：∵BC為⊙O的直徑，∴∠BAC＝90， 又∵∠ABC＝30，∴∠ACB＝60， 又∵OA＝OC， ∴△OAC為等邊三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60， ∵AF為⊙O的切線，∴∠OAF＝90， ∴∠CAF＝∠AFC＝30， ∵DE為⊙O的切線，∴∠DBC＝∠OBE＝90， ∴∠D＝∠DEA＝30，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC， ∴△ACF∽△DAE； (2)∵△AOC為等邊三角形，

7、∴S△AOC＝OA2＝， ∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30， ∴BD＝2，BE＝，∴DE＝3； (3)證明：如答圖，過點O作OM⊥EF于點M， ∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90，∠BOE＝∠AOF， ∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF， ∵∠EOF＝120，∴∠OEM＝∠OFM＝30， ∴∠OEB＝∠OEM＝30，即OE平分∠BEF， 又∵∠OBE＝∠OME＝90， ∴OM＝OB，∴EF為⊙O的切線． 5．[2017株洲]如圖Z13－6，AB為⊙O的一條弦，點C為劣弧AB的中點，E為優(yōu)弧AB上一點，點F在AE的延長線上，且BE＝EF，

8、線段CE交弦AB于點D. (1)求證：CE∥BF； (2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶，求△BCD的面積． 圖Z13－6 中考變形5答圖 解：(1)證明：如答圖，連結AC，BE，作直線OC， ∵BE＝EF， ∴∠F＝∠EBF， ∵∠AEB＝∠EBF＋∠F， ∴∠F＝ ∠AEB， ∵C是的中點，∴＝， ∴∠AEC＝∠BEC，∵∠AEB＝∠AEC＋∠BEC， ∴∠AEC＝∠AEB，∴∠AEC＝∠F，∴CE∥BF； (2)∵∠DAE＝∠DCB，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE，∴＝，即＝， ∵∠CBD＝∠CEB，∠BCD＝∠ECB， ∴△CB

9、E∽△CDB， ∴＝，即＝， ∴CB＝2，∴AD＝6，∴AB＝8， ∵點C為劣弧AB的中點， ∴OC⊥AB，設垂足為G，則AG＝BG＝AB＝4， ∴CG＝＝2， ∴S△BCD＝BDCG＝22＝2. 6．如圖Z13－7，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AE和過點C的切線互相垂直，垂足為E，AE交⊙O于點D，直線EC交AB的延長線于點P，連結AC，BC，PB∶PC＝1∶2. (1)求證：AC平分∠BAD； (2)探究線段PB，AB之間的數(shù)量關系，并說明理由． 圖Z13－7 　　中考變形6答圖 解：(1)證明：如答圖，連結OC. ∵PE是⊙

10、O的切線，∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC平分∠BAD； (2)線段PB，AB之間的數(shù)量關系為AB＝3PB.理由： ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90，∴∠BAC＋∠ABC＝90， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC， ∵∠PCB＋∠OCB＝90，∴∠PCB＝∠PAC， ∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC， ∴＝，∴PC2＝PBPA， ∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB， ∴PA＝4PB，∴AB＝3PB. 7．[2016棗莊]如圖Z13－8，AC是⊙O

11、的直徑，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一點，連結PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C. (1)求證：PB是⊙O的切線； (2)連結OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半徑為2，求BC的長． 圖Z13－8 　　　中考變形7答圖 解：(1)證明：如答圖，連結OB， ∵AC是⊙O的直徑， ∴∠ABC＝90，∠C＋∠BAC＝90. ∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA， ∵∠PBA＝∠C， ∴∠PBA＋∠OBA＝90，即PB⊥OB. ∴PB是⊙O的切線； (2)⊙O的半徑為2，∴OB＝2，AC＝4， ∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C， 又∵∠ABC＝∠PBO＝

12、90，∴△ABC∽△PBO， ∴＝，即＝，∴BC＝2. 8．[2017聊城]如圖Z13－9，⊙O是△ABC的外接圓，O點在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連結BD，CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P. (1)求證：PD是⊙O的切線； (2)求證：△PBD∽△DCA； (3)當AB＝6，AC＝8時，求線段PB的長． 圖Z13－9 　　　 中考變形8答圖 解：(1)證明：∵圓心O在BC上， ∴BC是⊙O的直徑， ∴∠BAC＝90，如答圖，連結OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠DAC， ∵∠DOC＝2∠DAC， ∴

13、∠DOC＝∠BAC＝90，即OD⊥BC， ∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD為⊙O的半徑， ∴PD是⊙O的切線； (2)證明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC， ∵∠PBD＋∠ABD＝180，∠ACD＋∠ABD＝180， ∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA； (3)∵△ABC為直角三角形， ∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10， ∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC， ∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90， 在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100， ∴DC＝DB＝5，∵△PB

14、D∽△DCA， ∴＝，即PB＝＝＝. 【中考預測】 [2017黃岡模擬]如圖Z13－10，AB為⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，且OD⊥BC，垂足為F，OD交⊙O于點E.證明： (1)∠D＝∠AEC； (2)OA2＝ODOF. 圖Z13－10 　　　中考預測答圖 證明：(1)如答圖，連結OC， ∵CD與⊙O相切于點C， ∴∠OCD＝90. ∴∠OCB＋∠DCF＝90. ∵∠D＋∠DCF＝90，∴∠OCB＝∠D， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B， ∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC； (2)∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠B， ∵OD⊥BC，∴∠BFO＝∠OCD＝90， ∴△BOF∽△DOC，∴＝，即＝， ∴OA2＝ODOF.