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1、
第16練 函數(shù)
訓(xùn)練目標(biāo)
(1)函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象知識的鞏固深化;(2)解題過程的嚴謹性、規(guī)范化訓(xùn)練.
訓(xùn)練題型
(1)函數(shù)中的易錯題;(2)函數(shù)中的創(chuàng)新題;(3)函數(shù)中的綜合題.
解題策略
(1)討論函數(shù)性質(zhì)要注意定義域;(2)函數(shù)性質(zhì)和圖象相結(jié)合;(3)條件轉(zhuǎn)化要等價.
一、選擇題
1.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=-3|x|的奇偶性相同,且在(-∞,0)上單調(diào)性也相同的是( )
A.y=- B.y=log2|x|
C.y=1-x2 D.y=x3-1
2.設(shè)函數(shù)f(x)=則f(f(3))等于( )
A.0 B.1
C.2 D.3
3.(20x
2、x·福建四地六校聯(lián)考)若f(x)對于任意實數(shù)x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,則f(1)等于( )
A.2 B.0
C.1 D.-1
4.(20xx·湖北襄陽棗陽二中期中)
已知函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的圖象大致為( )
5.已知函數(shù)f(x)=+滿足條件f(loga(+1))=1,其中a>1,則f(loga(-1))等于( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知f(x)=是(-∞,+∞)上的減函數(shù),那么a的取值范圍
3、是( )
A.(0,1) B.
C. D.
7.已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),設(shè)a=f(log47),b=f(3),c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.c<a<b B.c<b<a
C.b<c<a D.a(chǎn)<b<c
8.(20xx·南昌質(zhì)檢)對于定義域為R的函數(shù)f(x),若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均有零點,則稱函數(shù)f(x)為“含界點函數(shù)”,則下列四個函數(shù)中,不是“含界點函數(shù)”的是( )
A.f(x)=x2+bx-1(b∈R) B.
4、f(x)=2-|x-1|
C.f(x)=2x-x2 D.f(x)=x-sin x
二、填空題
9.(20xx·北京東城區(qū)二模)已知f是有序數(shù)對集合M={(x,y)|x∈N*,y∈N*}上的一個映射,正整數(shù)數(shù)對(x,y)在映射f下的像為實數(shù)z,記作f(x,y)=z.對于任意的正整數(shù)m,n(m>n),映射f由下表給出:
(x,y)
(n,n)
(m,n)
(n,m)
f(x,y)
n
m-n
m+n
則f(3,5)=________,使不等式f(2x,x)≤4成立的x的集合是__________.
10.某商品在最近100天內(nèi)的單價f(t)與時間t的函數(shù)關(guān)
5、系是f(t)=日銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)=-+(0≤t≤100,t∈N),則這種商品的日銷售額的最大值為________.
11.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)且f(x)在[-1,0]上是增函數(shù),給出下列四個命題:
①f(x)是周期函數(shù);②f(x)的圖象關(guān)于x=1對稱;③f(x)在[1,2]上是減函數(shù);④f(2)=f(0).
其中正確命題的序號是____________.(請把正確命題的序號全部寫出來)
12.(20xx·山東聊城一中期中)設(shè)定義域為[0,1]的函數(shù)f(x)同時滿足以下三個條件時稱f(x)為“友誼函數(shù)”:
(1)對任
6、意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;
(2)f(1)=1;
(3)若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
則下列判斷正確的序號為________.
①f(x)為“友誼函數(shù)”,則f(0)=0;
②函數(shù)g(x)=x在區(qū)間[0,1]上是“友誼函數(shù)”;
③若f(x)為“友誼函數(shù)”,且0≤x1<x2≤1,則f(x1)≤f(x2).
答案精析
1.C [函數(shù)y=-3|x|為偶函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù),選項A的函數(shù)為奇函數(shù),不符合要求;選項B的函數(shù)是偶函數(shù),但其單調(diào)性不符合;選項D的函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不符合要求;只有
7、選項C符合要求.]
2.C [f(f(3))=f(lg 10)=f(1)=2,故選C.]
3.A [令x=1,得2f(1)-f(-1)=4,①
令x=-1,得2f(-1)-f(1)=-2,②
聯(lián)立①②得f(1)=2.]
4.A [由二次方程的解法易得(x-a)(x-b)=0的兩根為a,b;根據(jù)函數(shù)零點與方程的根的關(guān)系,可得f(x)=(x-a)(x-b)的零點就是a,b,即函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo);觀察f(x)=(x-a)(x-b)的圖象,可得其與x軸的兩個交點分別在區(qū)間(-∞,-1)與(0,1)上,又由a>b,可得b<-1,0<a<1.對函數(shù)g(x)=ax+
8、b,由0<a<1可得其是減函數(shù),又由b<-1可得其與y軸交點的坐標(biāo)在x軸的下方;分析選項可得A符合這兩點,B,C,D均不滿足.故選A.]
5.B [由函數(shù)f(x)=+,得
f(-x)=+=+,
所以f(x)+f(-x)=+++=3,
由于loga(+1)+loga(-1)=0,
所以loga(-1)=-loga(+1),
所以由f(loga(+1))=1得
f(loga(-1))=2,故選B.]
6.C [當(dāng)x=1時,loga1=0,若f(x)為R上的減函數(shù),則(3a-1)x+4a>0在x<1時恒成立,令g(x)=(3a-1)x+4a,則必有即?≤
9、a<.
此時,logax是減函數(shù),符合題意.]
7.B [∵f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且在區(qū)間(-∞,0]上是增函數(shù),∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.∵a=f(log47)=f(log2),b=f(3)=f(-3)=f(log23).
又0<log2<log23<2,0.2-0.6=50.6>50.5>40.5=2,即0<log2<log23<0.2-0.6,∴a>b>c.]
8.D [因為f(x)=x2+bx-1(b∈R)的零點即為方程x2+bx-1=0的根,又Δ=b2+4>0,所以方程x2+
10、bx-1=0有一正一負兩個不同的根,f(x)=x2+bx-1是“含界點函數(shù)”;因為f(x)=2-|x-1|有兩個零點x=3和x=-1,故f(x)=2-|x-1|是“含界點函數(shù)”;f(x)=2x-x2的零點即為y=2x與y=x2的圖象的交點的橫坐標(biāo),作出函數(shù)y=2x與y=x2的圖象如圖所示,故f(x)=2x-x2為“含界點函數(shù)”;因為f(x)=x-sin x在R上是增函數(shù),且f(0)=0,所以f(x)=x-sin x不是“含界點函數(shù)”.故選D.]
9.8 {1,2}
解析 由表可知f(3,5)=5+3=8.
∵?x∈N*,都有2x>x,
∴f(2x,x)=2x-x,
則f(2
11、x,x)≤4?2x-x≤4(x∈N*)?2x≤x+4(x∈N*),
當(dāng)x=1時,2x=2,x+4=5,2x≤x+4成立;
當(dāng)x=2時,2x=4,x+4=6,2x≤x+4成立;
當(dāng)x≥3(x∈N*)時,2x>x+4.
故滿足條件的x的集合是{1,2}.
10.808.5
解析 由題意知日銷售額s(t)=f(t)g(t),
當(dāng)0≤t<40時,
s(t)==-++,
此函數(shù)的對稱軸為x=,
又t∈N*,所以最大值為s(10)=s(11)==808.5;
當(dāng)40≤t≤100時,
s(t)==-+,
此時函數(shù)的對稱軸為x=>100,
最大值為s(40)=73
12、6.
綜上,這種商品日銷售額s(t)的最大值為808.5
11.①②④
解析 由f(x+1)=-f(x)?f(x+2)=-f(x+1)=f(x),故函數(shù)f(x)是周期函數(shù),命題①正確;由于函數(shù)是偶函數(shù),故f(x+2)=f(-x),函數(shù)圖象關(guān)于直線x==1對稱,故命題②正確;由于函數(shù)是偶函數(shù),故函數(shù)在區(qū)間[0,1]上遞減,根據(jù)對稱性,函數(shù)在[1,2]上應(yīng)該是增函數(shù)(也可根據(jù)周期性判斷),故命題③不正確;根據(jù)周期性,f(2)=f(0),命題④正確.
12.①②③
解析 ①∵f(x)為“友誼函數(shù)”,則取x1=x2=0,得f(0)≥f(0)+f(0),即f(0)≤0,又由f(0)≥0,得f(0)=0,故①正確;
②g(x)=x在[0,1]上滿足:(1)g(x)≥0;(2)g(1)=1;若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,
則有g(shù)(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(x1+x2)-(x1+x2)=0,
即g(x1+x2)≥g(x1)+g(x2),滿足(3).故g(x)=x滿足條件(1)(2)(3),∴g(x)=x為友誼函數(shù),故②正確;
③∵0≤x1<x2≤1,∴0<x2-x1<1,
∴f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1),故有f(x1)≤f(x2),故③正確.
故答案為①②③.