高三文科數(shù)學(xué) 通用版二輪復(fù)習(xí)：第1部分 專題5 突破點12　圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì) Word版含解析

突破點12圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)提煉1圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)雙曲線：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(3)拋物線：|PF|PM|，點F不在直線l上，PMl于M(l為拋物線的準(zhǔn)線)提煉2圓錐曲線的重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系在橢圓中：a2b2c2；離心率為e；在雙曲線中：c2a2b2；離心率為e.(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標(biāo)雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x；焦點坐標(biāo)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)；雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，焦點坐標(biāo)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)(3)拋物線的焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程拋物線y2±2px(p0)的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x；拋物線x2±2py(p0)的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.提煉3弦長問題(1)直線與圓錐曲線相交時的弦長斜率為k的直線與圓錐曲線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)時，|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)拋物線焦點弦的幾個常用結(jié)論設(shè)AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2；弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)；以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切回訪1圓錐曲線的定義與方程1(20xx·天津高考)已知雙曲線1(b0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1 D.1D由題意知雙曲線的漸近線方程為y±x，圓的方程為x2y24，聯(lián)立解得或即第一象限的交點為.由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長為，故2b，得b212.故雙曲線的方程為1.故選D.2(20xx·全國卷)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則|AB|()A. B.6C.12 D.7CF為拋物線C：y23x的焦點，F(xiàn)，AB的方程為y0tan 30°，即yx.聯(lián)立得x2x0.x1x2，即xAxB.由于|AB|xAxBp，|AB|12.回訪2圓錐曲線的重要性質(zhì)3(20xx·全國乙卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.B不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知×2b，解得，即e.故選B.4(20xx·北京高考)雙曲線1(a0，b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2，則a_.2不妨令B為雙曲線的右焦點，A在第一象限，則雙曲線如圖所示四邊形OABC為正方形，|OA|2，c|OB|2，AOB.直線OA是漸近線，方程為yx，tanAOB1，即ab.又a2b2c28，a2.回訪3弦長問題5(20xx·全國卷)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y28x的焦點重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|()A3 B.6C.9 D.12B拋物線y28x的焦點為(2,0)，橢圓中c2，又，a4，b2a2c212，從而橢圓方程為1.拋物線y28x的準(zhǔn)線為x2，xAxB2，將xA2代入橢圓方程可得|yA|3，由圖象可知|AB|2|yA|6.故選B.6(20xx·全國卷)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y24x的焦點，P為C上一點，若|PF|4，則POF的面積為()A2 B.2C.2 D.4C設(shè)P(x0，y0)，則|PF|x04，x03，y4x04×324，|y0|2.F(，0)，SPOF|OF|·|y0|××22.熱點題型1圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程題型分析：圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程是高考常考內(nèi)容，主要以選擇、填空的形式考查，解題時分兩步走：第一步，依定義定“型”，第二步，待定系數(shù)法求“值”(1)(20xx·全國乙卷)已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是()A(1,3)B.(1，)C.(0,3) D.(0，)(2)(20xx·通化一模)已知拋物線C：y28x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若4，則|QF|()A.B.3C.D.2(1)A(2)B(1)若雙曲線的焦點在x軸上，則又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若雙曲線的焦點在y軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，即即n>3m2且n<m2，此時n不存在故選A.(2)如圖所示，因為4，所以，過點Q作QMl垂足為M，則MQx軸，所以，所以|MQ|3，由拋物線定義知|QF|QM|3.求解圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是“先定型，后計算”1定型，就是指定類型，也就是確定圓錐曲線的焦點位置，從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程2計算，即利用待定系數(shù)法求出方程中的a2，b2或p.另外，當(dāng)焦點位置無法確定時，拋物線常設(shè)為y22ax或x22ay(a0)，橢圓常設(shè)mx2ny21(m0，n0)，雙曲線常設(shè)為mx2ny21(mn0)變式訓(xùn)練1(1)(20xx·鄭州二模)經(jīng)過點(2,1)，且漸近線與圓x2(y2)21相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()【導(dǎo)學(xué)號：85952050】A.1 B.y21C.1 D.1(2)(20xx·合肥二模)已知拋物線y22px(p0)上一點M到焦點F的距離等于2p，則直線MF的斜率為()A± B.±1C.± D.±(1)A(2)A(1)設(shè)雙曲線的漸近線方程為ykx，即kxy0，由題意知1，解得k±，則雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線方程為1，則有解得故選A.(2)設(shè)M(x0，y0)，由題意x02p，則x0，從而y3p2，則M或M，又F，則kMF±.熱點題型2圓錐曲線的幾何性質(zhì)題型分析：圓錐曲線的幾何性質(zhì)是高考考查的重點和熱點，其中求圓錐曲線的離心率是最熱門的考點之一，建立關(guān)于a，c的方程或不等式是求解的關(guān)鍵(1)(20xx·全國丙卷)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點P為C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為()A.B.C.D.(2)(20xx·西安三模)已知雙曲線1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作圓x2y2a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B，C，且|BC|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±3x B.y±2xC.y±(1)x D.y±(1)x(1)A(2)C(1)如圖所示，由題意得A(a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(c,0)由PFx軸得P.設(shè)E(0，m)，又PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，所以e.故選A.(2)由題意作出示意圖，易得直線BC的斜率為，cosCF1F2，又由雙曲線的定義及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a|BF2|4a，故cosCF1F2b22ab2a2022201，故雙曲線的漸近線方程為y±(1)x.1求橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的方法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值2雙曲線的漸近線的求法及用法(1)求法：把雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號右邊的1改為零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用漸近線方程設(shè)所求雙曲線的方程變式訓(xùn)練2(1)(20xx·全國甲卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A. B.C. D.2(2)(名師押題)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線與橢圓交于A，B兩點，若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為()【導(dǎo)學(xué)號：85952051】A. B.2C.2 D.(1)A(2)D(1)法一：如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以離心率e.法二：如圖，因為MF1x軸，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負(fù)值舍去)(2)設(shè)|F1F2|2c，|AF1|m，若F1AB是以A為直角頂點的等腰直角三角形，|AB|AF1|m，|BF1|m.由橢圓的定義可知F1AB的周長為4a，4a2mm，m2(2)a.|AF2|2am(22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，4(2)2a24(1)2a24c2，e296，e.