高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科： 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第11節(jié) 第3課時(shí) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題學(xué)案 理 北師大版

第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第40頁)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的有關(guān)問題角度1證明不等式(20xx·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xax2(2a1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<0時(shí)，證明f(x)2.解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax2a1.若a0，則當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a<0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)證明：由(1)知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為fln1.所以f(x)2等價(jià)于ln12，即ln10.設(shè)g(x)ln xx1，則g(x)1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減故當(dāng)x1時(shí)，g(x)取得最大值，最大值為g(1)0.所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)0.從而當(dāng)a<0時(shí)，ln10，即f(x)2.角度2解決不等式恒(能)成立問題(20xx·廣州綜合測試(二)已知函數(shù)f(x)axb在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程為yax2e.(1)求實(shí)數(shù)b的值；(2)若存在xe，e2，滿足f(x)e，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140086】解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，)因?yàn)閒(x)axb，所以f(x)a.所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程為y(eaeb)a(xe)，即yaxeb.已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程為yax2e，比較可得be.所以實(shí)數(shù)b的值為e.(2)f(x)e，即axee，所以問題轉(zhuǎn)化為a在e，e2上有解令h(x)(xe，e2)，則h(x).令p(x)ln x2，所以當(dāng)xe，e2時(shí)，有p(x)0.所以函數(shù)p(x)在區(qū)間e，e2上單調(diào)遞減所以p(x)p(e)ln e20.所以h(x)0，即h(x)在區(qū)間e，e2上單調(diào)遞減所以h(x)h(e2).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.規(guī)律方法1.利用導(dǎo)數(shù)證明含“x”不等式方法，證明：f(x)g(x).法一：移項(xiàng)，f(x)g(x)0，構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，轉(zhuǎn)化證明F(x)min0，利用導(dǎo)數(shù)研究F(x)單調(diào)性，用上定義域的端點(diǎn)值.法二：轉(zhuǎn)化證明：f(x)ming(x)max.法三：先對(duì)所求證不等式進(jìn)行變形，分組或整合，再用法一或法二.2.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略(1)首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(2)也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.3.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補(bǔ)”關(guān)系，即f(x)g(a)對(duì)于xD恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值.應(yīng)特別關(guān)注等號(hào)是否成立問題.跟蹤訓(xùn)練(20xx·東北三省三校二聯(lián))已知函數(shù)f(x)sin x.(1)當(dāng)x0時(shí)，證明：f(x)1；(2)若當(dāng)x時(shí)，f(x)ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)證明：設(shè)g(x)f(x)cos x(x0)，則g(x)sin xx(x0)令M(x)g(x)(x0)，則M(x)1cos x0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞增g(x)g(0)0.g(x)在(0，)上單調(diào)遞增g(x)g(0)0.f(x)1成立(2)當(dāng)x時(shí)，f(x)axsin xtan xax.設(shè)h(x)sin xtan xax，則h(x)cos xa.令tcos x，由0x，得0t1.設(shè)k(t)t(0t1)，則k(t)10.k(t)在(0,1)上單調(diào)遞減k(t)k(1)2.當(dāng)a2時(shí)，h(x)0，h(x)在上單調(diào)遞增h(x)h(0)0，即原不等式成立當(dāng)a2時(shí)，關(guān)于t的方程ta在(0,1)僅有一根，設(shè)根為t0，設(shè)cos mt0,0m，則存在唯一m，使得cos mt0.當(dāng)x(0，m)時(shí)，t0cos x1h(x)0，h(x)在(0，m)上單調(diào)遞減h(x)h(0)0，這與條件矛盾，a2時(shí)不成立綜上所述，a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、極值個(gè)數(shù)問題(20xx·北京高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc.(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.因?yàn)閒(0)c，f(0)b，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為ybxc.(2)當(dāng)ab4時(shí)，f(x)x34x24xc，所以f(x)3x28x4.令f(x)0，得3x28x40，解得x2或x.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，當(dāng)c0且c0，存在x1(4，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c時(shí)，函數(shù)f(x)x34x24xc有三個(gè)不同零點(diǎn)規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的方法(1)研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等.(2)根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖像的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置.(3)可以通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，使問題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).跟蹤訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個(gè)零點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140087】解(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(負(fù)值舍去)f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的變化情況如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)f(x)在x處取得極小值f()無極大值(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以0，從而ke，當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點(diǎn)當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f(1)0，f()0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個(gè)零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大解(1)因?yàn)閤5時(shí)，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y10(x6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)(x3)210(x3)(x6)2,3<x<6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，于是，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值，所以，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)，并確定其定義域.(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實(shí)際問題作答.(5)注意f(x)在開區(qū)間(a，b)與在閉區(qū)間a，b上求最值的區(qū)別，f(x)在開區(qū)間(a，b)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，則該點(diǎn)即為最值點(diǎn).跟蹤訓(xùn)練某品牌電動(dòng)汽車的耗電量y與速度x之間有關(guān)系yx3x240x(x0)，為使耗電量最小，則速度應(yīng)定為_40由yx239x400，得x1或x40，當(dāng)0x40時(shí)，y0；x40時(shí)，y0.所以當(dāng)x40時(shí)，y有最小值