高考復習方案大二輪全國新課標數(shù)學 文科高考備考方法策略：專題篇 10 簡解一類“恒成立”高考題 Word版含答案

簡解一類“恒成立”高考題定理 (1)若函數(shù)在處可導，且時恒成立，則；(2) 若函數(shù)在處可導，且時恒成立，則初步感知 若，所以函數(shù)在處右側(cè)附近的圖像是減函數(shù)又函數(shù)在處可導，所以同理，可得其他結(jié)論也成立嚴格證明 若，由函數(shù)在處可導及導數(shù)的定義，得同理，可證得其他結(jié)論也成立題1 (1)(高考全國卷II理科第20題)設函數(shù)若對所有的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍(2)(高考陜西卷理科第21(2)題)設函數(shù)，其中是的導函數(shù).若恒成立，求實數(shù)的取值范圍解 (1)設，得由定理(1)得，即由導數(shù)易證，所以所求實數(shù)的取值范圍是(2)可得題設即“恒成立”由(1)知，所求答案也為題2 (高考全國卷I理科第20(2)題)設函數(shù)，若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍解 同上可求得答案為題3 (高考全國卷II理科第22(2)題)設函數(shù)，若對所有的，都有，求實數(shù)的取值范圍解 設，得由定理(1)得，即下證當時，只需證： 當且時，欲證成立當且時，得還須證明時，欲證成立即證設，因為用導數(shù)易證，所以所以是增函數(shù)，得，即欲證成立所以所求實數(shù)的取值范圍是題4 (高考新課標全國卷文科第21(2)題)設函數(shù)，若當時，都有，求的取值范圍解 題設即，也即，還即用以上方法可求得答案為題5 (高考陜西卷理科第20(3)題)已知函數(shù)，其中.若的最小值為1，求的取值范圍解 設，得題設即.由定理(1)得，即當且時，還可證，即證設，得設，得，所以是增函數(shù)，得，即是增函數(shù)，所以，得欲證成立所以當時，得所求的取值范圍是題6 (高考遼寧卷文科第21題)(1)證明：當時，；(2)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍解 (1)略(2)設，得，所以由定理3(1)可得即當且時，還可得：得所求實數(shù)的取值范圍是題7 (高考遼寧卷理科第21題)已知函數(shù)當時：(1)求證：；(2)若求實數(shù)的取值范圍解 (1)欲證的左邊等價于.設，得得，所以當時，恒成立，所以是增函數(shù)，得，所以是增函數(shù)，得，即欲證成立可得欲證的右邊等價于，這用導數(shù)極易證得(2)設，得題設即由定理(1)可得即當且時，還可得：設，得用導數(shù)可證得在0,1上是減函數(shù)，所以，即在0,1上是減函數(shù)，所以，進而可得：當時，恒成立得所求實數(shù)的取值范圍是 題8 (高考北京卷理科第18題)已知函數(shù)(1)求證：；(2)若對恒成立，求的最大值與的最小值解 (1)略(2)設，得(由(1)得)，所以是減函數(shù)，得是減函數(shù)，所以所求的最大值是設，由題設得恒成立，即用導數(shù)易證，即所以所求的最小值是1練習 1.若恒成立，求實數(shù)的取值范圍2.設R).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.答案：1.2.(1)得.當時，可得恒成立,所以函數(shù)在上是增函數(shù).當時，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).(2)可得題設即恒成立.令,得題設即恒成立.可得函數(shù)在附近是減函數(shù)，由定理3(1)得.當時，是減函數(shù)，所以.所以是減函數(shù),得恒成立.所以所求實數(shù)a的取值范圍是.