高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用 第11節(jié) 第1課時 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學案 理 北師大版

第十一節(jié)導數(shù)的應(yīng)用考綱傳真(教師用書獨具)1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；3.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值，并會解決與之有關(guān)的方程(不等式)問題；4.會利用導數(shù)解決某些簡單的實際問題(對應(yīng)學生用書第34頁)基礎(chǔ)知識填充1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，則：(1)如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)是增加的；(2)如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)是減少的；(3)如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)2函數(shù)的極值與導數(shù)(1)極值點與極值設(shè)函數(shù)f(x)在點x0及附近有定義，且在x0兩側(cè)的單調(diào)性相反或?qū)?shù)值異號，則x0為函數(shù)f(x)的極值點，f(x0)為函數(shù)的極值(2)極大值點與極小值點若先增后減(導數(shù)值先正后負)，則x0為極大值點；若先減后增(導數(shù)值先負后正)，則x0為極小值點(3)可求導函數(shù)極值的步驟：求f(x)；解方程f(x)0；檢查f(x)在方程f(x)0的解x0的左右兩側(cè)的符號如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值如果f(x)在x0兩側(cè)的符號相同，則x0不是極值點3函數(shù)的最值與導數(shù)(1)函數(shù)f(x)在a，b上有最值的條件如果在區(qū)間a，b上函數(shù)yf(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值(2)設(shè)函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)且在(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值知識拓展1在某區(qū)間內(nèi)f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件2可導函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對任意x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零3對于可導函數(shù)f(x)，f(x0)0是函數(shù)f(x)在xx0處有極值的必要不充分條件基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么在區(qū)間(a，b)上一定有f(x)>0.()(2)如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0，則函數(shù)f(x)在此區(qū)間上沒有單調(diào)性()(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大()(4)對可導函數(shù)f(x)，f(x0)0是x0為極值點的充要條件()(5)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值()(6)若實際問題中函數(shù)定義域是開區(qū)間，則不存在最優(yōu)解()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2(教材改編)f(x)x36x2的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(0,4)B(0,2)C(4，)D(，0)Af(x)3x212x3x(x4)，由f(x)0，得0x4，所以單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4)3如圖2111所示是函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖像，則下列判斷中正確的是()圖2111A函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,0)上是減函數(shù)B函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)C函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)D函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,4)上是增函數(shù)A當x(3,0)時，f(x)0，則f(x)在(3,0)上是減函數(shù)其他判斷均不正確4函數(shù)y2x32x2在區(qū)間1,2上的最大值是_8y6x24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8，最大值為8.5函數(shù)f(x)xaln x(a0)的極小值為_aaln af(x)的定義域為(0，)，易知f(x)1.由f(x)0，解得xa(a0)又當x(0，a)時，f(x)0；當x(a，)時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a第1課時導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(對應(yīng)學生用書第35頁)利用用導數(shù)法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性(20xx全國卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)ex(exa)a2x.討論f(x)的單調(diào)性解函數(shù)f(x)的定義域為(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)若a0，則f(x)e2x在(，)上單調(diào)遞增若a0，則由f(x)0得xln a.當x(，ln a)時，f(x)0；當x(ln a，)時，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增若a<0，則由f(x)0得xln.當x時，f(x)0；當x時，f(x)0.故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增規(guī)律方法用導數(shù)證明函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性的步驟一求：求f(x)；二定：確定f(x)在(a，b)內(nèi)的符號；三結(jié)論：作出結(jié)論：f(x)0時為增函數(shù)；f(x)0時為減函數(shù).易錯警示：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論.(1)討論分以下四個方面二次項系數(shù)討論，根的有無討論，根的大小討論，根在不在定義域內(nèi)討論.(2)討論時要根據(jù)上面四種情況，找準參數(shù)討論的分點.(3)討論完必須寫綜述.跟蹤訓練(20xx四川高考節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)ax2aln x，g(x)，其中aR，e2.718為自然對數(shù)的底數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當x>1時，g(x)>0.解(1)由題意得f(x)2ax(x>0)當a0時，f(x)<0，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞減當a>0時，由f(x)0有x，當x時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增(2)證明：令s(x)ex1x，則s(x)ex11.當x>1時，s(x)>0，又s(1)0，有s(x)0，所以ex1>x，從而g(x)>0.利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【導學號：79140076】解(1)因為f(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb.依題設(shè)，即解得(2)由(1)知f(x)xe2xex.由f(x)e2x(1xex1)及e2x0知，f(x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以，當x(，1)時，g(x)<0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當x(1，)時，g(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)>0，x(，)綜上可知，f(x)>0，x(，)，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)規(guī)律方法利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.(2)求f(x).(3)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得單調(diào)遞增區(qū)間.(4)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0，得單調(diào)遞減區(qū)間.易錯警示：解不等式f(x)0(0)時不加“”號.跟蹤訓練(20xx合肥第二次質(zhì)檢節(jié)選)已知f(x)ln(xm)mx.求f(x)的單調(diào)區(qū)間解由已知可得函數(shù)定義域為(m，)f(x)ln(xm)mx，f(x)m.當m0時，f(x)m0，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(m，)，無單調(diào)遞減區(qū)間；當m0時，f(x)m，由f(x)0，得xm(m，)，當x時，f(x)0，當x時，f(x)0，當m0時，易知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍解(1)h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2，由于h(x)在(0，)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以當x(0，)時，ax20有解，即a有解設(shè)G(x)，所以只要aG(x)min即可而G(x)1，所以G(x)min1.所以a1，即a的取值范圍為(1，)(2)由h(x)在1,4上單調(diào)遞減得，當x1,4時，h(x)ax20恒成立，即a恒成立所以aG(x)max，而G(x)21，因為x1,4，所以，所以G(x)max(此時x4)，所以a，即a的取值范圍是.1本例(2)中，若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞增，求a的取值范圍解由h(x)在1,4上單調(diào)遞增得，當x1,4時，h(x)0恒成立，當x1,4時，a恒成立，又當x1,4時，min1(此時x1)，a1，即a的取值范圍是(，12本例(2)中，若h(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍解h(x)在1,4上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h(x)0在1,4上有解，當x1,4時，a有解，又當x1,4時，min1，a1，即a的取值范圍是(1，)規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般方法(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f(x)0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f(x)0”來求解.易錯警示：f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x(a，b)都有f(x)0，且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)不恒為0.應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則漏解.跟蹤訓練(1)(20xx四川樂山一中期末)f(x)x2aln x在(1，)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為()Aa1Ba1Ca2Da2(2)函數(shù)f(x)x3x2ax5在區(qū)間1,2上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍是() 【導學號：79140077】A(，3B(3,1)C1，)D(，31，)(1)D(2)B(1)由f(x)x2aln x，得f(x)2x，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，2x0在(1，)上恒成立，即a2x2在(1，)上恒成立，x(1，)時，2x22，a2.故選D(2)因為f(x)x3x2ax5，所以f(x)x22xa(x1)2a1，如果函數(shù)f(x)x3x2ax5在區(qū)間1,2上單調(diào)，那么a10或解得a1或a3，于是滿足條件的a(3,1)函數(shù)不單調(diào)問題求參數(shù)的取值范圍f(x)x33ax23x1在(2,3)上不單調(diào)，求a的取值范圍解f(x)3x26ax3，f(x)在(2,3)上不單調(diào)3x26ax30在(2,3)上有解a，當2x3時，a. 規(guī)律方法f(x)在(a，b)上不單調(diào)f(x)在(a，b)上有極值f(x)0在(a，b)上有解且無重根.跟蹤訓練f(x)x3(1a)x2a(a2)xb在(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍解f(x)3x22(1a)xa(a2)(3xa2)(xa)，f(x)在(1,1)上不單調(diào)，f(x)0在(1,1)上有解a3x2或ax，有1x1得5a1，又4(1a)212a(a2)(2a1)20，a，a的取值范圍為5a或a1.