高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版理科： 第3章 三角函數、解三角形 第7節(jié) 正弦定理和余弦定理學案 理 北師大版

第七節(jié)正弦定理和余弦定理考綱傳真(教師用書獨具)掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題(對應學生用書第61頁)基礎知識填充1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容2R.(R為ABC外接圓半徑)a2b2c22bc·cos A；b2c2a22ca·cos B；c2a2b22ab·cos C變形形式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A，sin B，sin Ccos A；cos B；cos C2.在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin Aababab解的個數一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)Sa·ha(ha表示邊a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r為內切圓半徑)知識拓展1在ABC中，ABabsin Asin B2合比定理：2R.3在銳角三角形中AB；若A，則B，C.基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)在ABC中，若AB，則必有sin Asin B()(2)在ABC中，若b2c2a2，則ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，若A60°，a4，b4，則B45°或135°.()(4)在ABC中，.()解析(1)正確ABabsin Asin B(2)錯誤由cos A0知，A為銳角，但ABC不一定是銳角三角形(3)錯誤由ba知，BA(4)正確利用a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，可知結論正確答案(1)(2)×(3)×(4)2在ABC中，a3，b5，sin A，則sin B()ABCD1B根據，有，得sin B.故選B3(20xx·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，c2，cos A，則b()ABC2D3D由余弦定理得5b242×b×2×，解得b3或b(舍去)，故選D4在ABC中，a3，b2，cos C，則ABC的面積為_4cos C，0C，sin C，SABCabsin C×3×2×4.5(教材改編)在ABC中，acos Abcos B，則這個三角形的形狀為_等腰三角形或直角三角形由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以這個三角形為等腰三角形或直角三角形(對應學生用書第62頁)利用正、余弦定理解三角形(20xx·廣州綜合測試(二)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos Cbsin Ca.(1)求角B的大小；(2)若BC邊上的高等于a，求cos A的值解(1)因為bcos Cbsin Ca，由正弦定理得sin Bcos Csin Bsin Csin A因為ABC，所以sin Bcos Csin Bsin Csin(BC)即sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C因為sin C0，所以sin Bcos B因為cos B0，所以tan B1.因為B(0，)，所以B.(2)法一：設BC邊上的高線為AD，則ADa.因為B，則BDADa，CDa.所以ACa，ABa.由余弦定理得cosBAC.所以cosBAC的值為.法二：設BC邊上的高線為AD，則ADa.因為B，則BDADa，CDa.所以ACa，ABa.由正弦定理得，則sinBAC.在ABC中，由ABAC，得CB，所以BAC為鈍角所以cosBAC.所以cosBAC的值為.規(guī)律方法1.正弦定理是一個連比等式，只要知道其比值或等量關系就可以運用正弦定理通過約分達到解決問題的目的.2.(1)運用余弦定理時，要注意整體思想的運用.(2)在已知三角形兩邊及其中一邊的對角，求該三角形的其它邊角的問題時，首先必須判斷是否有解，如果有解，是一解還是兩解，注意“大邊對大角”在判定中的應用.(3)重視在余弦定理中用均值不等式，實現a2b2，ab，ab三者的互化.)跟蹤訓練(1)(20xx·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.(2)(20xx·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_.(1)(2)60°(1)在ABC中，cos A，cos C，sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C××.又，b.(2)法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A2sin Bcos Bsin(AC)又ABC，ACB2sin Bcos Bsin(B)sin B又sin B0，cos B.B.法二：在ABC中，acos Cccos Ab，條件等式變?yōu)?bcos Bb，cos B.又0B，B.判斷三角形的形狀(1)設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為() 【導學號：79140131】A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D不確定(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，則ABC的形狀為()A直角三角形B等腰非等邊三角形C等邊三角形D鈍角三角形(1)B(2)C(1)由已知及正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，又sin(BC)sin A，sin A1，A.故選B(2)，bc.又(bca)(bca)3bc，b2c2a2bc，cos A.A(0，)，A，ABC是等邊三角形(規(guī)律方法判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)化角為邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷.(2)化邊為角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷.易錯警示：無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式；要移項提取公因式，否則會有漏掉一種情況的可能.跟蹤訓練設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形B法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因為AB，所以AB法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2a·ca2b2ab.與三角形面積有關的問題(20xx·全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求b.解(1)由題設及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362××4.所以b2.規(guī)律方法三角形面積公式的應用方法(1)對于面積公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化，所以解決此類問題通常圍繞某個已知角，將余弦定理和面積公式都寫出來，尋求突破.跟蹤訓練(20xx·深圳二調)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，2basin Bbcos A，c4.(1)求A；(2)若D是BC的中點，AD，求ABC的面積. 【導學號：79140132】解(1)由2basin Bbcos A及正弦定理，又0B，可得2sin Acos A，即有sin1，0A，A，A，A.(2)設BDCDx，則BC2x，由余弦定理得cosBAC，得4x2b24b16.ADB180°ADC，cosADBcosADC0，由余弦定理得0，得2x2b22.聯立，得b24b120，解得b2(舍負)，SABCbcsinBAC×2×4×2.