高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版文科: 第8章 平面解析幾何 第7節(jié) 雙曲線學(xué)案 文 北師大版
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1、 第七節(jié) 雙曲線 [考綱傳真] 1.了解雙曲線的實(shí)際背景,了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第125頁(yè)) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.雙曲線的定義 (1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2叫作雙曲線,兩焦點(diǎn)之間的距離叫作焦距. 其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0. (2)集合P={M|||MF1|-|MF2
2、||=2a},|F1F2|=2c, 其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0. ①當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),M點(diǎn)的軌跡是雙曲線; ②當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),M點(diǎn)的軌跡是兩條射線; ③當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),M點(diǎn)不存在. 2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 圖形 條件 2a<2c,c2=a2+b2,a>0,b>0,c>0 范圍 x≥a或x≤-a 且y∈R y≥a或y≤-a 且x∈R 對(duì)稱性 對(duì)稱軸坐標(biāo)軸、對(duì)稱中心原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2
3、(0,a) 焦點(diǎn) F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0) F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c) 漸近線 y=x y=x 實(shí)軸、 虛軸 線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸,它的長(zhǎng)度|A1A2|=2a;a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng). 線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長(zhǎng)度|B1B2|=2b;b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng). 焦距 |F1F2|=2c(c2=a2+b2) 離心率 e=∈(1,+∞),e越接近于+∞時(shí),雙曲線開(kāi)口越大;e越接近于1時(shí),雙曲線開(kāi)口越小 3. 等軸雙曲線 實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線,其漸近線方程為y=x,離心率為e=. [知識(shí)拓展] 1.巧設(shè)雙曲線方程
4、 (1)與雙曲線-=1(a>0,b>0)有共同漸近線的方程可設(shè)為-=λ(λ≠0) (2)等軸雙曲線可設(shè)為x2-y2=λ(λ≠0) (3)過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為+=1(mn<0) 2.焦點(diǎn)三角形的面積 雙曲線-=1(a>0,b>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的焦點(diǎn)三角形F1PF2中,若∠F1PF2=θ,則S△F1PF2=|PF1||PF2|sin θ=b2. 3.離心率與漸近線的斜率的關(guān)系 e2=1+,其中是漸近線的斜率. 4.過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng) 過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的半弦長(zhǎng)為. [基本能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”
5、,錯(cuò)誤的打“”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F(xiàn)2(0,-4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.( ) (2)方程-=1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.( ) (3)雙曲線-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的漸近線方程是-=0,即=0.( ) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率等于.( ) [答案] (1) (2) (3)√ (4)√ 2.(教材改編)已知雙曲線-=1(a>0)的離心率為2,則a=( ) A.2 B. C. D.1 D [依題意,e===2,∴=2a,則a2=1,a=1.] 3.(
6、20xx福州質(zhì)檢)若雙曲線E:-=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在雙曲線E上,且|PF1|=3,則|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 B [由題意知a=3,b=4,∴c=5.由雙曲線的定義||PF1|-|PF2||=|3-|PF2||=2a=6,∴|PF2|=9.] 4.(20xx全國(guó)卷Ⅰ)已知F是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),P是C上一點(diǎn),且PF與x軸垂直,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3),則△APF的面積為( ) A. B. C. D. D [因?yàn)镕是雙曲線C:x2-=1的右焦點(diǎn),所以F(2,0). 因?yàn)镻F⊥x軸,所以可設(shè)P的坐標(biāo)
7、為(2,yP). 因?yàn)镻是C上一點(diǎn),所以4-=1,解得yP=3, 所以P(2,3),|PF|=3. 又因?yàn)锳(1,3),所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1, 所以S△APF=|PF|1=31=. 故選D.] 5.(20xx北京高考改編)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線為2x+y=0,一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則雙曲線的方程為_(kāi)_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090297】 x2-=1 [由于2x+y=0是-=1的一條漸近線, ∴=2,即b=2a, ① 又∵雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(,0),則c=, 由a2+b2=c2,得a2+b2=5, ② 聯(lián)立①
8、②得a2=1,b2=4. ∴所求雙曲線的方程為x2-=1.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第126頁(yè)) 雙曲線的定義及應(yīng)用 (1)(20xx長(zhǎng)春模擬)已知雙曲線x2-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P為雙曲線右支上一點(diǎn).若|PF1|=|PF2|,則△F1PF2的面積為( ) A.48 B.24 C.12 D.6 (2)已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090298】 (1)B (2)x2-=1(x≤-1) [(1)由雙曲線的定義可得 |PF
9、1|-|PF2|=|PF2|=2a=2, 解得|PF2|=6,故|PF1|=8,又|F1F2|=10, 由勾股定理可知三角形PF1F2為直角三角形,因此S△PF1F2=|PF1||PF2|=24. (2)如圖所示,設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B,動(dòng)圓M的半徑為r,根據(jù)兩圓外切的條件得 |MC1|=1+r |MC2|=3+r 所以|MC2|-|MC1|=2 所以點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|=6. 又根據(jù)雙曲線的定義,得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大,與C1的距離小), 其中a=1,c=3,則b2=8.
10、 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2-=1(x≤-1).] [規(guī)律方法] 1.應(yīng)用雙曲線的定義需注意的問(wèn)題: 在雙曲線的定義中,要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾何條件,即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)間的距離”.若定義中的“絕對(duì)值”去掉,點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支.同時(shí)需注意定義的轉(zhuǎn)化應(yīng)用. 2.在焦點(diǎn)三角形中,注意定義、余弦定理的活用,常將||PF1|-|PF2||=2a平方,建立與|PF1||PF2|間的聯(lián)系. [變式訓(xùn)練1] (1)已知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cos∠AF2F1=( )
11、 A. B. C. D. (2)已知F1,F(xiàn)2為雙曲線-=1的左,右焦點(diǎn),P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)A在雙曲線上,則|AP|+|AF2|的最小值為( ) A.+4 B.-4 C.-2 D.+2 (1)A (2)C [(1)由e==2得c=2a,如圖,由雙曲線的定義得|F1A|-|F2A|=2A. 又|F1A|=2|F2A|,故|F1A|=4a, |F2A|=2a,∴cos∠AF2F1==. (2)由題意知,|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a, 要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1
12、|的最小值, 當(dāng)A,P,F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值, |AP|+|AF1|=|PF1|=, ∴|AP|+|AF2|的最小值為|AP|+|AF1|-2a=-2.故選C.] 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)(20xx天津高考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上,△OAF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(O為原點(diǎn)),則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-y2=1 D.x2-=1 (2)(20xx天津高考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦距為2,且雙曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,則雙曲線的方程為( ) A.
13、-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 (1)D (2)A [(1)根據(jù)題意畫出草圖如圖所示 . 由△AOF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形得到∠AOF=60,c=|OF|=2. 又點(diǎn)A在雙曲線的漸近線y=x上, ∴=tan 60=. 又a2+b2=4,∴a=1,b=, ∴雙曲線的方程為x2-=1. 故選D. (2)由焦距為2得c=.因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線2x+y=0垂直,所以=. 又c2=a2+b2,解得a=2,b=1, 所以雙曲線的方程為-y2=1.] [規(guī)律方法] 1.確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要一個(gè)“定位”條件,兩個(gè)“定量”
14、條件.“定位”是指確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上;“定量”是指確定a,b的值,常用待定系數(shù)法.若雙曲線的焦點(diǎn)位置不能確定時(shí),可設(shè)其方程為Ax2+By2=1(AB<0). 2.對(duì)于共焦點(diǎn)、共漸近線的雙曲線方程,可靈活設(shè)出恰當(dāng)?shù)男问角蠼猓粢阎獫u近線方程為mx+ny=0,則雙曲線方程可設(shè)為m2x2-n2y2=λ(λ≠0). [變式訓(xùn)練2] (1)(20xx全國(guó)卷Ⅱ)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,),且漸近線方程為y=x,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):00090299】 (2)設(shè)橢圓C1的離心率為,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等
15、于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________. (1)-y2=1 (2)-=1 [(1)∵雙曲線的漸近線方程為y=x,∴可設(shè)雙曲線的方程為x2-4y2=λ(λ≠0). ∵雙曲線過(guò)點(diǎn)(4,),∴λ=16-4()2=4, ∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-y2=1. (2)由題意知橢圓C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),設(shè)曲線C2上的一點(diǎn)P,則||PF1|-|PF2||=8. 由雙曲線的定義知:a=4,b=3. 故曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,即-=1.] 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (1)(20xx全國(guó)卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:-=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上
16、,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為( ) A. B. C. D.2 (2)(20xx石家莊調(diào)研)設(shè)雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)是F,左、右頂點(diǎn)分別是A1,A2,過(guò)F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn).若A1B⊥A2C,則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________. (1)A (2)xy=0 [(1)如圖,因?yàn)镸F1⊥x軸,所以|MF1|=. 在Rt△MF1F2中,由sin∠MF2F1=得 tan∠MF2F1=. 所以=,即=,即=, 整理得c2-ac-a2=0,兩邊同除以a2得e2-e-1=0.
17、 解得e=(負(fù)值舍去). (2)由題設(shè)易知A1(-a,0),A2(a,0),B,C. 因?yàn)锳1B⊥A2C,所以=-1,整理得a=B. 因此該雙曲線的漸近線方程為y=x,即xy=0.] [規(guī)律方法] 1.(1)求雙曲線的漸近線,要注意雙曲線焦點(diǎn)位置的影響;(2)求離心率的關(guān)鍵是確定含a,b,c的齊次方程,但一定注意e>1這一條件. 2.雙曲線中c2=a2+b2,可得雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系=.抓住雙曲線中“六點(diǎn)”“四線”“兩三角形”,研究a,b,c,e間相互關(guān)系及轉(zhuǎn)化,簡(jiǎn)化解題過(guò)程. [變式訓(xùn)練3] (1)(20xx全國(guó)卷Ⅱ)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點(diǎn),點(diǎn)M
18、在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120,則E的離心率為( ) A. B.2 C. D. (2)已知雙曲線x2-=1的左頂點(diǎn)為A1,右焦點(diǎn)為F2,P為雙曲線右支上一點(diǎn),則的最小值為( ) A.-2 B.- C.1 D.0 (1)D (2)A [ (1)不妨取點(diǎn)M在第一象限,如圖所示,設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),則|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180-120=60,∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為. ∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上,∴-=1,a=b,∴c=a,e==.故選D. (2)由已知可得A1(-1,0),F(xiàn)2(2,0),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)(x≥1),則=(-1-x,-y)(2-x,-y)=x2-x-2+y2,因?yàn)閤2-=1,即y2=3(x2-1),所以=4x2-x-5=42-,故當(dāng)x=1時(shí),有最小值-2.]
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