高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)與解三角形課件 文（打包8套）.zip

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360 320 360 k Z k 1 或k 0 故 40 或 320 規(guī)律方法 在0 到360 范圍內(nèi)找與任意一個角終邊相同的角時 可根據(jù)實數(shù)的帶余除法進(jìn)行 因為任意一個角 均可寫成k 360 1 0 1 360 的形式 所以與 角終邊相同的角的集合也可寫成 k 360 1 k Z 如本題M k 360 320 k Z 由此確定 360 360 范圍內(nèi)的角時 只需令k 1和0即可 互動探究 1 給出下列四個命題 75 是第四象限角 225 是第三象限角 475 是第二象限角 315 是第一象限角 其中正確的命題有 D A 1個 B 2個 C 3個 D 4個 解析 90 75 0 180 225 270 360 90 475 360 180 360 315 270 這四個命題都是正確的 考點2 三角函數(shù)的概念 例2 已知角 終邊經(jīng)過點P 3t 4t t 0 求角 的正弦 余弦和正切 規(guī)律方法 任意角的三角函數(shù)值 只與角的終邊位置有關(guān) 而與角的終邊上點的位置無關(guān) 當(dāng)角 的終邊上的點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時 由于參數(shù)t的符號不確定 故用分類討論的思想 將t分為t 0和t 0兩種情況 這是解決本題的關(guān)鍵 互動探究 2 2014年大綱 已知角 的終邊經(jīng)過點 4 3 則cos D 考點3 三角函數(shù)的符號 圖3 1 1 答案 A 互動探究 3 下列各式中 計算結(jié)果為正數(shù)的是 答案 C 難點突破 函數(shù)與不等式思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例題 1 如圖3 1 2 一扇形的半徑為r 扇形的周長為4 當(dāng)圓心角 為多少弧度時 扇形的面積S取得最大值 2 若一扇形面積為4 則當(dāng)它的中心角為何值時 扇形周 長C最小 圖3 1 2 第2講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 tan 1 同角三角函數(shù)關(guān)系式 1 平方關(guān)系 sin2 cos2 1 2 商數(shù)關(guān)系 sin cos 2 六組誘導(dǎo)公式 sin cos tan 3 三角函數(shù)線 設(shè)角 的頂點在坐標(biāo)原點 始邊與x軸正半軸重合 終邊與單位圓相交于點P 過點P作PM垂直于x軸于點M 則點M是點P在x軸上的正射影 由三角函數(shù)的定義知 點P的坐標(biāo)為 cos sin 其中cos OM sin MP 單位圓與x軸的正半軸交于點A 單位圓在點A的切線與角 的終邊或其反向延長線相交于點T 則tan AT 我們把有向線段OM MP AT分別叫做 的余弦線 正弦線 正切線 三角函數(shù)線 有向線段OM 為余弦線 正弦線 有向線段MP為有向線段AT為正 切線 1 cos330 C 2 sin585 的值為 A C 4 考點1 求三角函數(shù)值 答案 A 規(guī)律方法 1 已知sin cos tan 三個三角函數(shù)值中的一個 就可以求另外兩個 但在利用平方關(guān)系實施開方時 符號的選擇是看 屬于哪個象限 這是易出錯的地方 應(yīng)引起重視 而當(dāng) 的象限不確定時 則需分象限討論 不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況 2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系 為三角函數(shù)式的性質(zhì) 變形提供了工具和方法 互動探究 C 考點2 三角函數(shù)的化簡 規(guī)律方法 化簡三角函數(shù)式應(yīng)看清式子的結(jié)構(gòu)特征并作有目的的變形 注意 1 的代換 乘法公式 切化弦等變形技巧 對于有平方根的式子 去掉根號的同時加絕對值號再化簡 本題出現(xiàn)了sin4 sin6 cos4 cos6 應(yīng)聯(lián)想到把它們轉(zhuǎn)化為sin2 cos2 的關(guān)系 從而利用1 sin2 cos2 進(jìn)行降冪解決 互動探究 B 解析 f x cos2x是周期為 的偶函數(shù) 故選B 考點3 三角函數(shù)的證明 方法三 tan sin 0 tan sin 0 要證原等式成立 只要證tan2 sin2 tan2 sin2 成立 而tan2 sin2 tan2 1 cos2 tan2 tan cos 2 tan2 sin2 即tan2 sin2 tan2 sin2 成立 原等式成立 規(guī)律方法 證明三角恒等式 可以從左向右證 也可以從右向左證 證明兩端等于同一個結(jié)果 對于含有分式的還可以考慮應(yīng)用比例的性質(zhì) 互動探究 難點突破 三角齊次式問題例題 已知3sin 2cos 0 求下列各式的值 互動探究 4 已知tan 2 求下列各式的值 第3講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1 五點法 描圖 1 y sinx的圖象在 0 2 上的五個關(guān)鍵點的坐標(biāo)為 2 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1 1 續(xù)表 無對稱軸 對稱中心 k 0 k Z 對稱中心 續(xù)表 單調(diào)遞增區(qū)間 k Z 單調(diào)遞減區(qū)間 k Z 單調(diào)遞增區(qū)間 2k 2k k Z 單調(diào)遞減區(qū)間 2k 2k k Z 偶 2 使cosx 1 m有意義的m值為 C A m 0C 0 m 2 B m 0D 2 m 0 3 2013年上海 既是偶函數(shù)又在區(qū)間 0 上單調(diào)遞減的 函數(shù)是 B A y sinxC y sin2x B y cosxD y cos2x 4 函數(shù)y 5tan 2x 1 的最小正周期為 B A 4 B 2 C D 2 考點1 三角函數(shù)的奇偶性與周期性 答案 A 規(guī)律方法 求解三角函數(shù)的奇偶性和周期性時 一般要先進(jìn)行三角恒等變換 把三角函數(shù)式化為一個角的三角函數(shù) 再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念 三角函數(shù)奇偶性規(guī)律 三角函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解 互動探究 1 已知函數(shù)f x sinx cosx sinx x R 則f x 的最小正 周期是 考點2 三角函數(shù)的對稱性 答案 A 答案 B 規(guī)律方法 正 余弦函數(shù)的圖象既是中心對稱圖形 又是軸對稱圖形 正切函數(shù)的圖象只是中心對稱圖形 應(yīng)熟記它們的對稱軸和對稱中心 并注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 第 1 小題利用y cosx的對稱軸為x k 把 x 看作一個整體 即可求 也可利用代入法驗證 第 2 小題利用 x k k Z 求解x 互動探究 2 2013年廣東廣州二模 若函數(shù)y cos x N 的一個 B A 2C 6 B 3D 9 考點3 三角函數(shù)的單調(diào)性與最值 例3 2014年湖北 某實驗室一天的溫度 單位 隨時間 1 求實驗室這一天上午8 00的溫度 2 求實驗室這一天的最大溫差 規(guī)律方法 本題主要考查函數(shù)y Asin wx 的圖象特征 正弦函數(shù)的值域與最值 解題關(guān)鍵在于將已知的函數(shù)表達(dá)式化為三角函數(shù)模型 再根據(jù)此三角函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)進(jìn)行解題即可 互動探究 3 已知函數(shù)f x 2cos2x sin2x 4cosx 思想與方法 三角函數(shù)中的分類討論 規(guī)律方法 對于形如f x A Bsinx的函數(shù) 若B 0時 f x 的最大值是A B 若B 0時 f x 的最大值是A B 第4講 函數(shù)y Asin x 的圖象 1 五點法畫y Asin x 用五點法畫y Asin x 一個周期內(nèi)的簡圖時 要找五 個特征點 如下表 2 函數(shù)y sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng) Asin x 的圖象 的步驟 A 3 振幅 周期 頻率 相位 振幅 周期 A 2 2013年四川瀘州一模 為了得到函數(shù)y sin2x的圖象 D A A 的部分圖象如圖3 4 1 則 的值分別是 圖3 4 1 考點1 三角函數(shù)的圖象及變換 答案 B 規(guī)律方法 圖象變換的兩種方法的區(qū)別 由y sinx的圖象 利用圖象變換作函數(shù)y Asin x B A 0 0 x R 的圖象 要特別注意 當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時 原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別 先平移變換再周期變換 伸縮變換 平移的量是 個單位 而先周期變換 伸縮變換 再平 互動探究 B C 考點2 五點法 作函數(shù)y Asin x 的圖象 列表 并描點畫出圖象如圖D9 圖D9 互動探究 經(jīng)檢查 發(fā)現(xiàn)表格中恰有一組數(shù)據(jù)計算錯誤 請你根據(jù)上述信息推斷函數(shù)y Asin x 的解析式應(yīng)是 考點3 求函數(shù)y Asin x 的解析式 即令 最高點 最低點 互動探究 4 下列函數(shù)中 圖象的一部分如圖3 4 2所示的是 圖3 4 2 答案 D 難點突破 函數(shù)y Asin x 的圖象的應(yīng)用 圖3 4 3 規(guī)律方法 本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)同三角函數(shù)的關(guān)系 兩角和的正弦公式等基礎(chǔ)知識 考查運算能力 考查數(shù)形結(jié)合 轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想 互動探究 零點 則m的取值范圍是 1 2 第5講 兩角和與差及二倍角的三角函數(shù)公式 1 兩角和與差的三角函數(shù) cos cos sin sin C cos C cos cos cos sin sin S sin sin cos cos sin S sin sin cos cos sin T tan tan tan 1 tan tan 2 二倍角的三角函數(shù) S2 sin2 2sin cos 1 2sin2 C2 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 D 4 已知 為第二象限角 sin 則tan2 2 2014年上海 函數(shù)y 1 2cos2 2x 的最小正周期是 3 已知角 的終邊過點 3 4 則cos2 35 考點1 給角求值問題 例1 化簡求值 1 tan15 規(guī)律方法 三角函數(shù)的給角求值 關(guān)鍵是把待求角用已知角表示 已知角為兩個時 待求角一般表示為已知角的和或差 已知角為一個時 待求角一般與已知角成 倍的關(guān)系 或 互余 互補 的關(guān)系 互動探究 考點2 給值求值問題 互動探究 考點3 給值求角問題 cos 難點突破 三角函數(shù)公式的綜合應(yīng)用 第6講 簡單的三角恒等變換 1 轉(zhuǎn)化思想 轉(zhuǎn)化思想是三角變換的基本思想 包括角的變換 函數(shù)名 的變換 和積變換 次數(shù)變換等 三角函數(shù)公式中次數(shù)和角的關(guān)系 次降角升 次升角降 常用的升次公式有 1 sin2 sin cos 2 1 sin2 sin cos 2 1 cos2 2cos2 1 cos2 2sin2 2 三角函數(shù)公式的三大作用 1 三角函數(shù)式的化簡 2 三角函數(shù)式的求值 3 三角函數(shù)式的證明 3 求三角函數(shù)最值的常用方法 1 配方法 2 化為一個角的三角函數(shù) 3 數(shù)形結(jié)合法 4 換元法 5 基本不等式法 C B 3 sin17 cos47 sin73 cos43 12 4 2013年上海 函數(shù)y 4sinx 3cosx的最大值是 5 考點1 三角變換與圖象 思維點撥 由 的關(guān)系可求出 的正切值 再依據(jù)已知角 2 和2 構(gòu)造 從而可求出 的一個三角函數(shù)值 再據(jù) 的范圍 從而確定 的值 由3sin sin 得3sin cos 3cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4cos sin tan 2tan tan 1 互動探究 考點2 三角恒等式的證明 思維點撥 證明三角恒等式 一般要遵循 由繁到簡 的原則 另外 化弦為切 與 化切為弦 也是在三角變換中經(jīng)常使用的方法 規(guī)律方法 1 三角函數(shù)式的化簡要遵循 三看 原則 一看 角 這是最重要的一環(huán) 通過看角之間的差別與聯(lián)系 把角進(jìn)行合理的拆分 從而正確使用公式 二看 函數(shù)名稱 看函數(shù)名稱之間的差異 從而確定使用的公式 常見的有 切化弦 三看 結(jié)構(gòu)特征 分析結(jié)構(gòu)特征 可以幫助我們找到變形的方向 常見的有 遇到分式要通分 等 2cos 3 求證 sin sin sin 2 sin 互動探究 易錯 易混 易漏 利用三角函數(shù)的有界性求解 失誤與防范 解決這類題往往用換元法 但容易忽略換元后新元t的取值范圍 從而導(dǎo)致錯解 第7講 正弦定理和余弦定理 1 正弦定理 asinA bsinB 2R 其中R是三角形外接圓的半 徑 正弦定理可以變形為以下幾種形式 以解決不同的三角形 問題 1 a b c sinA sinB sinC 2 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC sinB sinC 3 sinA ac2R2R b2R 2 余弦定理 b2 c2 2bccosA a2 b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC 3 三角形的面積 4 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 1 在解三角形時 余弦定理可解決兩類問題 已知兩邊及夾角或已知兩邊及一邊對角 求其他邊或角 已知三邊 求三個角 2 正弦定理可解決兩類問題 已知兩角及任一邊 求其他邊或角 已知兩邊及一邊對角 求其他邊或角 其結(jié)果可能是一解 兩解 無解 應(yīng)注意區(qū)分 在 ABC中 已知a b和A時 解的情況如下表 B 7 4 2013年上海 已知 ABC的內(nèi)角A B C所對的邊分 別是a b c 若a2 ab b2 c2 0 則C 2 3 考點1 正弦定理 答案 D 規(guī)律方法 正弦定理可解決兩類問題 已知兩角及任一邊 求其他邊或角 已知兩邊及一邊對角 求其他邊或角 互動探究 B B 考點2 余弦定理 答案 4 規(guī)律方法 在解三角形時 余弦定理可解決兩類問題 已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角 求其他邊或角 已知三邊 求三個角 互動探究 1 考點3 正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用 規(guī)律方法 有關(guān)三角函數(shù)知識與解三角形的綜合題是高考題中的一種重要題型 解決這類題 首先要保證邊和角的統(tǒng)一 用正弦定理或余弦定理通過邊角互化達(dá)到統(tǒng)一 一般步驟為 先利用正弦定理或余弦定理 將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含有 角的關(guān)系 再利用三角函數(shù)的和差角公式 二倍角公式及二合一公 式將三角函數(shù)化簡及求值 互動探究 思想與方法 轉(zhuǎn)化與化歸思想在解三角形中的應(yīng)用例題 2013年陜西 設(shè)ABC的內(nèi)角A B C所對的邊分別為a b c 若bcosC ccosB asinA 則 ABC的形狀為 A 直角三角形B 銳角三角形C 鈍角三角形D 不確定 答案 A 規(guī)律方法 已知條件bcosC ccosB asinA中既有邊 又有角 解決此問題的一般思路有兩種 利用余弦定理將所有的角轉(zhuǎn)換成邊后求解 如方法一 利用正弦定理將所有的邊轉(zhuǎn)換成角后求解 如方法二 第8講 解三角形應(yīng)用舉例 1 解三角形的常見類型及解法 在三角形的6個元素中要已知三個 除三個角外 才能求解 常見類型及其解法如下表所示 續(xù)表 2 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型 測量距離問題 高度問題 角度問題 計算面積問題 航 海問題 物理問題等 3 實際問題中的常用角 1 仰角和俯角 與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角 目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角 目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角 如圖3 8 1 1 圖3 8 1 2 方向角 相對于某正方向的水平角 如南偏東30 北偏西45 等 3 方位角 指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角 如B點的 方位角為 如圖3 8 1 2 4 坡度 坡面與水平面所成的二面角的度數(shù) 1 在某次測量中 在A處測得同一方向的點B的仰角為 D 60 點C的俯角為70 則 BAC A 10 B 50 C 120 D 130 2 如圖3 8 2 某河段的兩岸可視為平行 在河段的一岸邊選取兩點A B 觀察對岸的點C 測得 CAB 75 CBA A 45 且AB 200m 則A C兩點的距離為 圖3 8 2 3 江岸邊有一炮臺高30m 江中有兩條船 由炮臺頂部測得俯角分別為45 和30 且兩條船與炮臺底部連線成30 角 則兩條船相距 D 圖D10 圖D11 4 一船向正北航行 看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上 繼續(xù)航行半小時后 看見一燈塔在船的南偏西60 另一燈塔在船的南偏西75 則這艘船的速 度是 C 考點1 測量距離問題 例1 2014年四川 如圖3 8 3 從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B C的俯角分別為75 30 此時氣球的高是60m 則河流的寬度BC 圖3 8 3 答案 C 規(guī)律方法 1 利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在 有關(guān)的三角形中 建立一個解三角形的模型 2 利用正弦 余弦定理解出所需要的邊和角 求得該數(shù)學(xué) 模型的解 互動探究 1 在相距2km的A B兩點處測量目標(biāo)C 若 CAB 75 CBA 60 則A C兩點之間的距離為 km 考點2 測量高度問題 例2 2014年新課標(biāo) 如圖3 8 4 為測量山高M(jìn)N 選擇點A和另一座山的山頂C為測量觀測點 從點A測得點M的仰角為 MAN 60 點C的仰角為 CAB 45 以及 MAC 75 從點C測得 MCA 60 已知山高BC 100m 則山高M(jìn)N m 圖3 8 4 答案 150 規(guī)律方法 1 測量高度時 要準(zhǔn)確理解仰 俯角的概念 2 分清已知和待求 分析 畫出 示意圖 明確在哪個三角 形內(nèi)運用正弦 余弦定理 互動探究 2 為測量某塔AB的高度 在一幢與塔AB相距20m的樓頂D處測得塔頂A的仰角為30 測得塔基B的俯角為45 那么塔AB的高度是 答案 A 圖D12 考點3 測量角度問題 例3 如圖3 8 5 漁船甲位于島嶼A的南偏西60 方向的B處 且與島嶼A相距12海里 漁船乙以10海里 時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行 若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東 的方向追趕漁船乙 剛好用2小時追上 1 求漁船甲的速度 2 求sin 的值 圖3 8 5 解 1 依題意 得 BAC 120 AB 12 AC 10 2 20 海里 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos120 784 解得BC 28 故漁船甲的速度為 BC2 14 海里 時 答 漁船甲的速度為14海里 時 2 在 ABC中 AB 12 BAC 120 BC 28 BCA 規(guī)律方法 關(guān)于角度的問題同樣需要在三角形中進(jìn)行 同時要理解實際問題中常用角的概念 仰角和俯角 方向角 方位角 坡度等 互動探究 3 兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等 燈塔A在觀察站北偏東40 燈塔B在觀察站南偏東60 則燈塔A在 燈塔B的 B A 北偏東10 B 北偏西10 C 南偏東10 D 南偏西10 難點突破 三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用 例題 2014年新課標(biāo) 四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補 AB 1 BC 3 CD DA 2 1 求角C和BD 2 求四邊形ABCD的面積 BD2 BC2 CD2 2BC CDcosC 13 12cosC BD2 AB2 DA2 2AB DAcosA 5 4cosC 解 1 由題設(shè)及余弦定理 得 規(guī)律方法 本題與某年北京高考題幾乎完全相同 請思考已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB 2 BC 6 CD DA 4 求四邊形ABCD的面積 解 如圖3 8 6 連接BD 則有四邊形ABCD的面積 由余弦定理 在ABD中 BD2 AB2 AD2 2AB ADcosA 22 42 2 2 4cosA 20 16cosA 在CDB中 BD2 CB2 CD2 2CB CDcosC 62 42 2 6 4cosC 52 48cosC 20 16cosA 52 48cosC