高三文科數(shù)學 通用版二輪復習：第1部分 專題3 突破點6　古典概型與幾何概型 Word版含解析

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1、 專題三　概率與統(tǒng)計 建知識網(wǎng)絡　明內(nèi)在聯(lián)系 掃一掃，各專題近五年全國考點分布 高考點撥]　本專題涉及面廣，往往以生活中的熱點問題為依托，在高考中的考查方式十分靈活，考查內(nèi)容強化“用數(shù)據(jù)說話，用事實說話”，背景容易創(chuàng)新．基于上述分析，本專題按照“用樣本估計總體”“古典概型與幾何概型”“獨立性檢驗與回歸分析”三個方面分類進行引導，強化突破． 突破點6　古典概型與幾何概型 提煉1　古典概型問題的求解技巧　(1)直接列舉：涉及一些常見的古典概型問題時，往往把事件發(fā)生的所有結果逐一列舉出來，然后進行求解． (2)畫樹狀圖：涉及一些特殊古典概型問題時，直接列舉容易出錯，

2、通過畫樹狀圖，列舉過程更具有直觀性、條理性，使列舉結果不重、不漏． (3)逆向思維：對于較復雜的古典概型問題，若直接求解比較困難，可利用逆向思維，先求其對立事件的概率，進而可得所求事件的概率． (4)活用對稱：對于一些具有一定對稱性的古典概型問題，通過列舉基本事件個數(shù)結合古典概型的概率公式來處理反而比較復雜，利用對稱思維，可以快速解決． 提煉2　幾何度量法求解幾何概型　準確確定度量方式和度量公式是求解幾何概型的關鍵，常見的幾何度量涉及的測度主要包括長度、面積、體積、角度等． 提煉3　求概率的兩種常用方法　(1)將所求事件轉化成幾個彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率． (

3、2)若一個較復雜的事件的對立面的分類較少，可考慮利用對立事件的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事件的概率． 回訪1　古典概型 1．(20xx全國卷Ⅰ)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A.　　 B.　 C.　　 D. C　從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個花壇中，余下2種顏色的花種在另一個花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—黃紫、紅紫—白黃、黃白—紅紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有：紅黃—白紫、紅白—

4、黃紫、黃紫—紅白、白紫—紅黃，共4種，故所求概率為P＝＝，故選C.] 2.(20xx全國卷Ⅰ)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. C　從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)共有如下10個不同的結果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.故選C.] 3．(20xx全國卷Ⅰ)從1,

5、2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是(　　) A. B. C. D. B　從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12種情形，而滿足條件“2個數(shù)之差的絕對值為2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4種情形，所以取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率為＝.] 4．(20xx全國卷Ⅰ)將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為________． 　兩本不同的數(shù)

6、學書用a1，a2表示，語文書用b表示，則Ω＝{(a1，a2，b)，(a1，b，a2)，(a2，a1，b)，(a2，b，a1)，(b，a1，a2)，(b，a2，a1)}．于是兩本數(shù)學書相鄰的情況有4種，故所求概率為＝.] 回訪2　幾何概型 5．(20xx全國甲卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為(　　) A. B. C. D. B　如圖，若該行人在時間段AB的某一時刻來到該路口，則該行人至少等待15秒才出現(xiàn)綠燈．AB長度為40－15＝25，由幾何概型的概率公式知，至少需要等待15秒

7、才出現(xiàn)綠燈的概率為＝，故選B.] 熱點題型1　古典概型 題型分析：古典概型是高考考查概率的核心，問題背景大多是取球、選人、組數(shù)等，求解的關鍵是準確列舉基本事件，難度較小． (1)一個袋子中有5個大小相同的球，其中3個白球與2個黑球，先從袋中任意取出一個球，取出后不放回，然后從袋中任意取出一個球，則第一次為白球、第二次為黑球的概率為(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. (2)已知M＝{1,2,3,4}，若a∈M，b∈M，則函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)的概率是(　　) 【導學號：85952027】 A. B. C. D. (1)

8、B　(2)A　(1)設3個白球分別為a1，a2，a3,2個黑球分別為b1，b2，則先后從中取出2個球的所有可能結果為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20種． 其中滿足第一次為白球、第二次為黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6種，故所求概

9、率為＝.故選B. (2)記事件A為“函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋x－3在R上為增函數(shù)”． 因為f(x)＝ax3＋bx2＋x－3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx＋1. 因為函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，所以f′(x)≥0在R上恒成立． 又a>0，所以Δ＝(2b)2－43a＝4b2－12a≤0在R上恒成立，即a≥. 所以當b＝1時，有a≥，故a可取1,2,3,4，共4個數(shù)； 當b＝2時，有a≥，故a可取2,3,4，共3個數(shù)； 當b＝3時，有a≥3，故a可取3,4，共2個數(shù)； 當b＝4時，有a≥，故a無可取值． 綜上，事件A包含的基本事件有4＋3＋2＝9(種)． 又a，b∈{1

10、,2,3,4}，所以(a，b)共有44＝16(種)． 故所求事件A的概率為P(A)＝.故選A.] 利用古典概型求事件概率的關鍵及注意點 1．關鍵：正確列舉出基本事件的總數(shù)和待求事件包括的基本事件數(shù)． 2．注意點：(1)對于較復雜的題目，列出事件數(shù)時要正確分類，分類時應不重不漏． (2)當直接求解有困難時，可考慮求其對立事件的概率． 變式訓練1]　(20xx廣州二模)從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個，組成一個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于30的概率是(　　) A. B. C. D. C　從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個，組成一個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)，共有20

11、種不同結果．其中這個兩位數(shù)大于30的共有12種不同結果，故所求事件的概率P＝＝.] 熱點題型2　幾何概型 題型分析：高考試題中幾何概型主要考查線段型和面積型．求解幾何概型的關鍵是計算線段的長度、平面圖形的面積等，難度較?。? 　(1)在區(qū)間0,2]上隨機地取一個數(shù)x，則事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為(　　) A.　　　　 B. C. D. (2)某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為__________．(用數(shù)字作答) (1)A　(2)　(1)由－1≤

12、log≤1，得≤x＋≤2，解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”發(fā)生的概率為＝，故選A. (2)設小張和小王到校的時間分別為x和y， 則則滿足條件的區(qū)域如圖中陰影部分所示． 故所求概率P＝＝.] 判斷幾何概型中的幾何度量形式的方法 1．當題干涉及兩個變量問題時，一般與面積有關． 2．當題干涉及一個變量問題時，要看變量可以等可能到達的區(qū)域：若變量在線段上移動，則幾何度量是長度；若變量在平面區(qū)域(空間區(qū)域)內(nèi)移動，則幾何度量是面積(體積)． 提醒：數(shù)形結合是解決幾何概型問題的常用方法，求解時，畫圖務必準確、直觀． 變式訓練2] 如圖61，圓C內(nèi)切于扇形AOB，∠AOB＝

13、，若向扇形AOB內(nèi)隨機投擲600個點，則落入圓內(nèi)的點的個數(shù)估計值為(　　) 圖61 A．100　　　　　　 B.200 C.400 D.450 C　如圖，設OA與圓C相切于點D，連接OC，CD，∠AOB＝，則∠COD＝， 設圓C的半徑為1，可得OC＝2，所以扇形的半徑為3， 由幾何概型可得點在圓C內(nèi)的概率為P＝＝＝，故向扇形AOB內(nèi)隨機投擲600個點，則落入圓內(nèi)的點的個數(shù)估計為600＝400個．] 熱點題型3　互斥事件與對立事件的概率 題型分析：互斥事件與對立事件的概率常與古典概型等交匯命題，主要考查學生的分析轉化能力，難度中等． 　(20xx南昌一模)現(xiàn)有甲、

14、乙、丙、丁4個學生課余參加學校社團文學社與街舞社的活動，每人參加且只能參加一個社團的活動，且參加每個社團是等可能的． (1)求文學社和街舞社都至少有1人參加的概率； (2)求甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的概率． 解]　甲、乙、丙、丁4個學生課余參加學校社團文學社與街舞社的情況如下： 文學社 街舞社 1 甲乙丙丁 2 甲乙丙 丁 3 甲乙丁 丙 4 甲丙丁 乙 5 乙丙丁 甲 6 甲乙 丙丁 7 甲丙 乙丁 8 乙丙 甲丁 9 甲丁 乙丙 10 乙丁 甲丙 11 丙丁 甲乙 12 甲 乙丙丁

15、13 乙 甲丙丁 14 丙 甲乙丁 15 丁 甲乙丙 16 甲乙丙丁 共有16種情形，即有16個基本事件.6分 (1)文學社或街舞社沒有人參加的基本事件有2個， 故所求概率為＝.9分 (2)甲、乙同在一個社團，且丙、丁不同在一個社團的基本事件有4個，故所求概率為＝.12分 1．直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算． 2．間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)＝1－P()求解，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法會較簡便． 提醒：應用互斥事件概率的加法公式的前提是確定

16、各個事件是否彼此互斥． 變式訓練3]　(名師押題)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3. (1)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率； (2)求該地1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率． 解]　記事件A為“該車主購買甲種保險”，事件B為“該車主購買乙種保險但不購買甲種保險”，事件C為“該車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種”，事件D為“該車主甲、乙兩種保險都不購買”.4分 (1)由題意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，6分 又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3 ＝0.8.8分 (2)因為D與C是對立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.12分